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华二2024-2025学年第二学期高三年级数学冲刺卷6
2025.5
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1．已知集合，若，则 ．
2．已知向量，则 ．
3．设等差数列的前项和为，若，则 ．
4．已知，则 ．
5．已知某椭圆中心在原点，离心率，一个焦点是，则其标准方程为 ．
6．已知复数z满足，则 ．
7．某几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示：上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边中点.已知最底层的正方体的棱长为8，最上层的正方体的棱长为1，则构成该几何体的正方体个数为 ．
8．已知随机事件满足，则 ．
9．在中，角所对边分别为，且，则的最大值为 ．
10．设，若数列严格减，则实数a的取值范围是 ．
11．如图，已知正方形ABCD边长10米，在其内部有一个小正方形PQRS，对角线PR长4米。两正方形的中心重合于点O，且.设分别是线段上的动点.若线段MN与PQRS有公共点，则称M与N＂双盲＂.现点M以1米／秒的速度从A出发向D移动，同时点N以v米／秒的速度从C出发向B移动.若在M从A移动到D的过程中，M与N始终双盲，则v的取值范围是 ．
12．已知，抛物线与直线有公共点，则的最小值为 ．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，13-14每题4分，15-16每题5分）．
13．已知，则＂＂是＂＂的（ ）.
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
14．某校组织全校学生参加＂反电信诈骗＂知识测试，测试结果整理为如图所示的频率分布直方图.现按测试成绩用分层抽样方法抽取100位同学进行访谈.则成绩为的组应抽取的人数为（ ）.
A．6 B．4
C．60 D．40
15．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为＂鳖臑＂.则在一个长方体中，鳖臑的个数为（ ）.
A．12 B．24 C．36 D．48
16．已知无穷实数列的前n项和为，且数列既有最大项，也有最小项.有下列两个命题：（1）存在，使得且数列严格减；
（2）存在，使得且数列严格增.则（ ）.
A．（1）真（2）假 B．（1）假（2）真
C．（1）真（2）真 D．（1）假（2）假
三、解答题（本大题共5题，满分78分）．
17．（本题满分14分，共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.）
如图，圆锥SO中，为底面的两条直径，AB交CD于点O，且.设P为BS中点.
（1）证明：；
（2）若是正三角形，求二面角的大小．
18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
设函数．
（1）求函数的单调增区间；
（2）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，求函数在区间上的值域.
19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分．
某地区为调查高中生数学建模能力的总体水平，随机抽取了100名高中生参加数学建模能力竞赛活动，其中男生40名，女生60名.根据竞赛成绩，将参赛学生数学建模能力分为＂优秀＂与＂合格＂两级.
（1）若男生和女生中分别有25名和35名被评为＂优秀＂，是否有的把握认为该地区高中生的数学建模能力优秀与否和性别有关？
（2）经统计，男生成绩的均值为80，方差为49；女生成绩的均值为75，方差为64。
（i）求全体参赛学生成绩的均值和方差；
（ii）若所有参赛学生的成绩服从正态分布，试估计成绩在范围内的学生人数（精确到个位）。
参考公式：；、、．
20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
已知双曲线的左、右焦点分别为.点在上，且存在，使得.
（1）若分别在的两支上，且，直接写出的值；
（2）若都在的右支上，且，求；
（3）设．若四边形是面积为的梯形，求此梯形的高．
21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
已知的子集和定义域同为的函数.若对任意，当时，总有，则称是的一个＂关联函数＂．
（1）求的所有关联函数；
（2）若是其自身的一个关联函数，求实数的取值范围；
（3）对定义在上的函数，证明：＂对一切成立＂是＂存在函数，使得对任意正整数都是的一个关联函数＂的一个充要条件．
华二2024-2025学年第二学期高三年级数学冲刺卷6
2025.5
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1．已知集合，若，则 ．
【答案】
2．已知向量，则 ．
【答案】5
3．设等差数列的前项和为，若，则 ．
【答案】
4．已知，则 ．
【答案】
5．已知某椭圆中心在原点，离心率，一个焦点是，则其标准方程为 ．
【答案】
6．已知复数z满足，则 ．
【答案】
7．某几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示：上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边中点.已知最底层的正方体的棱长为8，最上层的正方体的棱长为1，则构成该几何体的正方体个数为 ．
【答案】7
8．已知随机事件满足，则 ．
【答案】0.3
9．在中，角所对边分别为，且，则的最大值为 ．
【答案】
10．设，若数列严格减，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
11．如图，已知正方形ABCD边长10米，在其内部有一个小正方形PQRS，对角线PR长4米。两正方形的中心重合于点O，且.设分别是线段上的动点.若线段MN与PQRS有公共点，则称M与N＂双盲＂.现点M以1米／秒的速度从A出发向D移动，同时点N以v米／秒的速度从C出发向B移动.若在M从A移动到D的过程中，M与N始终双盲，则v的取值范围是 ．
【答案】
【解析】以O为原点，为x轴正方向，1米为单位长度建系．
则，
直线MN的方程为.
因此，M与N＂双盲＂当且仅当（＊）.
时（＊）显然恒成立.
时，因，故只需对恒成立，解得。时，由对称性，（＊）对成立当且仅当（＊）对成立，故.
综上，．
12．已知，抛物线与直线有公共点，则的最小值为 ．
【答案】
【解析】设方程的一个解为．则是直线上的一点，
因此到的距离不小于．
当时，该距离达到最小值．经检验，当时取得等号.
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，13-14每题4分，15-16每题5分）．
13．已知，则＂＂是＂＂的（ ）.
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
14．某校组织全校学生参加＂反电信诈骗＂知识测试，测试结果整理为如图所示的频率分布直方图.现按测试成绩用分层抽样方法抽取100位同学进行访谈.则成绩为的组应抽取的人数为（ ）.
A．6 B．4
C．60 D．40
【答案】D
15．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为＂鳖臑＂.则在一个长方体中，鳖臑的个数为（ ）.
A．12 B．24 C．36 D．48
【答案】B
16．已知无穷实数列的前n项和为，且数列既有最大项，也有最小项.有下列两个命题：（1）存在，使得且数列严格减；
（2）存在，使得且数列严格增.则（ ）.
A．（1）真（2）假 B．（1）假（2）真 C．（1）真（2）真 D．（1）假（2）假
【答案】C
【解析】对（1），取即可．
对（2），取，
当时，．则的最大、最小值分别为．
三、解答题（本大题共5题，满分78分）．
17．（本题满分14分，共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.）
如图，圆锥SO中，为底面的两条直径，AB交CD于点O，且.设P为BS中点.
（1）证明：；
（2）若是正三角形，求二面角的大小．
【答案】（1）证明见解析 （2）
【解析】（1）证明：设M为OB中点，联结PM、DM．则PM是的中位线，从而.
又因为SO是圆锥的高，所以SO垂直于底面.因此SO垂直于底面上所有直线，
从而由等角定理，PM也垂直于底面上所有直线，即PM垂直于底面.
此时，DM是PD在底面上的射影.因为，且半径，
故为等边三角形，从而.故由三垂线定理，即．
（2）在底面圆周上取一点H，使得且在AB的同侧．
此时两两垂直，分别以为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系.设，则．
于是．设是平面OPD的一个法向量．
则解得，而底面的法向量显然是．
故．如图得二面角是锐角，故其大小为.
18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
设函数．
（1）求函数的单调增区间；
（2）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，求函数在区间上的值域.
【答案】（1）单调增区间为． （2）
【解析】（1）
因为，
所以函数的单调增区间为．
（2）将函数的图象向右平移个单位长度得
因为，所以，所以，
因此，所以的值域为．
19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分．
某地区为调查高中生数学建模能力的总体水平，随机抽取了100名高中生参加数学建模能力竞赛活动，其中男生40名，女生60名.根据竞赛成绩，将参赛学生数学建模能力分为＂优秀＂与＂合格＂两级.
（1）若男生和女生中分别有25名和35名被评为＂优秀＂，是否有的把握认为该地区高中生的数学建模能力优秀与否和性别有关？
（2）经统计，男生成绩的均值为80，方差为49；女生成绩的均值为75，方差为64。
（i）求全体参赛学生成绩的均值和方差；
（ii）若所有参赛学生的成绩服从正态分布，试估计成绩在范围内的学生人数（精确到个位）。
参考公式：；、、．
【答案】（1）无关 （2）（i） （ii）82人
【解析】（1）假设该地区高中生的数学建模能力优秀与否和性别无关．
取显著性水平.经计算得．
因为，所以不能拒绝原假设，即：没有的把握认为该地区高中生的数学建模能力优秀与否和性别有关.
（2）（i）．
设所有学生得分的平方和为，则．
故．
（ii）由（i）得，．设，则，
故．而故成绩在范围内的学生约为82人．
20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
已知双曲线的左、右焦点分别为.点在上，且存在，使得.
（1）若分别在的两支上，且，直接写出的值；
（2）若都在的右支上，且，求；
（3）设．若四边形是面积为的梯形，求此梯形的高．
【答案】（1） （2） （3）
【解析】（1）．
（2）由知，是等腰梯形．
设，由双曲线的定义．
在和中，，而，
故由余弦定理，
代入得，
即，解得．
（3）由题意，分别在双曲线左、右两支上．
令分别为关于原点对称的点，则为平行四边形，且.
因直线不与轴垂直，故可设其方程为，
与双曲线方程联立，得是方程的两根．
由四边形是面积为知，
即，解得或．
由知，从而，即，故．
因此，直线的方程为，梯形的高等于到直线的距离．
21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
已知的子集和定义域同为的函数.若对任意，当时，总有，则称是的一个＂关联函数＂．
（1）求的所有关联函数；
（2）若是其自身的一个关联函数，求实数的取值范围；
（3）对定义在上的函数，证明：＂对一切成立＂是＂存在函数，使得对任意正整数都是的一个关联函数＂的一个充要条件．
【答案】（1） （2） （3）证明见解析
【解析】（1）由定义，若是的一个关联函数，
则对任意，成立，所以为所求．
（2）由定义，对任意，成立.
即：是增函数.因此对一切，所以．
对函数求导得，故当时严格减，
当时严格增，在时取得最小值．
经检验，当时，确为其自身的一个关联函数，
故为所求．
（3）证明：若，令，则对任意正整数和任意，
当时，都成立，得证．
反之，先证明此时只能有.对任意，注意,而因此对一切正整数成立，从而.
当时，显然成立.
当时，对任意，存在正整数，使得且．
此时，由是自身的一个关联函数得对恒成立．故．
而由知，且．
故对一切正整数成立，
从而对一切成立，
因此，即．
当时，同理可得．证毕．
注：得出之后也可用函数极限说明，
但是因为没有中值定理支持，所以扣1分．

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