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华二东校2024-2025学年第二学期高三年级数学冲刺卷5
2025.5
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1．已知集合，则 .
2．已知（其中为虚数单位），则 .
3．某圆锥底面半径为4，届为3，则此圆锥的侧面积为 .
4．已知知的终边过点，则 .
5．等差数列的前项和为，若，则 .
6．一个总体分为两层，其个体数之比为4：1，应分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本，已知层中甲、乙都被抽到的概率为，则总体中的个体个数为 .
7．已知实数满足，则的最小值是 .
8．设，若，
则 .
9．设函数，若对任意的实数都成立，则的最小取值等于 .
10．已知平面向量与满足，且，若向量满足，则的取值范围为 .
11．如图，公路一侧有一块空地，其中.市政府拟在中间开挖一个人工湖，其中都在边上（不与重合，在之间），且.为节省投入资金，人工湖的面积尽可能小，设，则的最小面积为 .
12．已知定义在正整数集上的严格增函数，对于任意的正整数，都有也是正整数，且恒成立，则 .
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，13-14每题4分，15-16每题5分）．
13．已知是空间中两条不同的直线，平面是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）.
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
14．下列说法不正确的是（ ）.
A．一组数据的第60百分位数为14
B．若随机变量服从正态分布，且，则
C．若线性相关系数越接近1，则两个变量的线性相关程度越越
D．对具有线性相关关系的变量，且回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是-4
15．设等比数列的前项和为，设甲：，甲：是严格增数列，则甲是甲的（ ）.
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
16．定义：如果曲线段可以一笔画出，那么称曲线段为单轨道曲线，比如圆、椭圆都是单轨道曲线；如果曲线段由两条单轨道曲线构成，那么称曲线段为双轨道曲线．
对于曲线有如下命题：
存在常数，使得曲线为单轨道曲线；：存在常数，使得曲线为双轨道曲线.则下列判断正确的是（ ）.
A．和均为真命题 B．和均为假命题
C．为真命题，为假命题 D．为假命题，为真命题
三、解答题（本大题共5题，满分78分）．
17．（本题满分14分，共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.）
设常数，函数．
（1）若函数是奇函数，求实数的值；
（2）若函数在时有零点，求实数的取值范围．
18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
如图，直角三角形和等边三角形所在平面互相垂直，是线段上一点．
（1）设为的中点，求证：；
（2）设，若直线和平面所成角的正弦值为，求的值．
19．（本题满分14分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分5分．
某人下午5：00下班，他记录了自己连续20天乘坐地铁和连续20天乘坐公交到家的时间，如下表所示：
以频率估计概率，每天乘坐地铁还是公交相互独立，到家时间也相互独立．
（1）某天下班，他乘坐公交回家，试估计他不迟于5：49到家的概率；
（2）他连续三天乘坐地铁回家，记这三天中他早于5：50回家的天数为，求的分布及数学期望；
（3）某天他抛一枚硬币决定乘地铁还是乘公交，结果他是5：48到家的，试求他是乘地铁回家的概率.
20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
已知双曲线的右顶点，离心率，且斜率为1的直线交于、两点．
（1）在双曲线的方程；
（2）证明：为直角三角形；
（3）若双曲线上一点若直线与两条渐近线相交，交点为，且分别在第一象限和第四象限，若，求面积的取值范围．
21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
对于定义在区间上，且图像为连续曲线的函数，当时，时表示函数在集合上的最小值，表示函数在集合上的最大值.若使得对任意成立，则称函数在区间上有＂－性质＂．
（1）若，直接写出的表达式；
（2）设，若函数在上有＂3－性质＂，求m的取值范围；
（3）已知，且对任意，函数在区间上具有＂－性质＂，在区间上具有＂－性质＂.证明：对任意，都有.
华二东校2024-2025学年第二学期高三年级数学冲刺卷5
2025.5
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1．已知集合，则 .
【答案】
【解析】．故答案为：．
2．已知（其中为虚数单位），则 .
【答案】-1
3．某圆锥底面半径为4，届为3，则此圆锥的侧面积为 .
【答案】
4．已知知的终边过点，则 .
【答案】
5．等差数列的前项和为，若，则 .
【答案】14
6．一个总体分为两层，其个体数之比为4：1，应分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本，已知层中甲、乙都被抽到的概率为，则总体中的个体个数为 .
【答案】40
7．已知实数满足，则的最小值是 .
【答案】9
8．设，若，
则 .
【答案】31
【解析】令，则，
令，可得，令，可得，
所以．故答案为：31
9．设函数，若对任意的实数都成立，则的最小取值等于 .
【答案】2
10．已知平面向量与满足，且，若向量满足，则的取值范围为 .
【答案】
【解析】易知的夹角为，则以为坐标原点，分别为轴建立如图所示的平面直角坐标系，，设.
由于，即，
化简得，即对应的点在以为圆心，半径为的圆上，而表示圆上的点到原点的距离．
圆心到原点的距离为，故的取值范围是．
11．如图，公路一侧有一块空地，其中.市政府拟在中间开挖一个人工湖，其中都在边上（不与重合，在之间），且.为节省投入资金，人工湖的面积尽可能小，设，则的最小面积为 .
【答案】
【解析】
在中，，
在中，，
,
因为，所以时面积最小，最小值为．
12．已知定义在正整数集上的严格增函数，对于任意的正整数，都有也是正整数，且恒成立，则 .
【答案】54
【解析】由题意，，意，
若，则，不合题意，舍．
若，则，符合题意.
若，则，由单调性可知，，
故，与已知矛盾.所以，，同理：.
则有，
由单调性及，可知，，
则应有，
下证：当时，，显然成立.假设，
则，
由归纳法可知，对都成立，
当时，，
而，
当时，，,
综上：,
∵.
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，13-14每题4分，15-16每题5分）．
13．已知是空间中两条不同的直线，平面是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）.
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】C
【解析】若，则或，故错误；
若，则或，故错误；
若，则，又，∴存在直线且，则，得，故正确；
若，则或与相交，故错误.
14．下列说法不正确的是（ ）.
A．一组数据的第60百分位数为14
B．若随机变量服从正态分布，且，则
C．若线性相关系数越接近1，则两个变量的线性相关程度越越
D．对具有线性相关关系的变量，且回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是-4
【答案】A
【解析】对A：因为，所以第60百分位数为，A错误；
对B：若随机变量服从正态分布，且，
则，则，B正确；
对C：若线性相关系数越接近1，则两个变量的线性相关性越强，C正确；
对于D，样本点的中心为，所以，
因为满足线性回归方程，所以，所以，D正确．故选：A
15．设等比数列的前项和为，设甲：，甲：是严格增数列，则甲是甲的（ ）.
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】不妨设，则，满足，但是严格减数列，充分性不成成，
当时，是严格增数列，但，必要性不成成，
故甲是乙的既不充分也不必要条件．故选：D
16．定义：如果曲线段可以一笔画出，那么称曲线段为单轨道曲线，比如圆、椭圆都是单轨道曲线；如果曲线段由两条单轨道曲线构成，那么称曲线段为双轨道曲线．
对于曲线有如下命题：
存在常数，使得曲线为单轨道曲线；：存在常数，使得曲线为双轨道曲线.则下列判断正确的是（ ）.
A．和均为真命题 B．和均为假命题
C．为真命题，为假命题 D．为假命题，为真命题
【答案】A
【解析】记，
易得，
因此曲线关于轴，轴成轴对称，关于原点成中心对称，
从几何上讲，曲线是到两定点和的距离乘积为的点的轨迹，
由可得，因此它在轴上方和下方分别是两个函数的图象，这两个函数图象在轴上有公共点（方程的解相同），
由得，
时，或，
所以曲线与轴有公共点，曲线是在轴两侧的两个曲线构成，是双轨道曲线，
当时，，结合对称性知，曲线是一个封闭曲线，是单轨道曲线，（实际上上述过程中只要对取一个特定值讨论即可）命题均正确，故选：A.
三、解答题（本大题共5题，满分78分）．
17．（本题满分14分，共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.）
17．设常数，函数．
（1）若函数是奇函数，求实数的值；
（2）若函数在时有零点，求实数的取值范围．
【答案】（1）的值为-1． （2）
【解析】（1）【法1】函数的定义域为．
因为函数是奇函数，所以．
设，则得，即，即，代入，
得，解得．此时．
又因为，即，
所以是奇函数．因此所求实数的值为-1．
【法2】函数的定义域为.
因为函数是奇函数，所以．即，
即，即，即对任意都成数，所以，解得．因此所求实数的值为-1．
（2）设，即关于的方程在区间上有实数解．
设，因为，所以，
于是原问题等价于关于的方程在区间上有实数解．
当时，方程不成数，所以，于是方程可化为，
即函数与函数的图像有公共点．
因为函数为增函数，则得该函数的值域为，
所以，解得，即所求的实数的取值范围是．
18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
如图，直角三角形和等边三角形所在平面互相垂直，是线段上一点．
（1）设为的中点，求证：；
（2）设，若直线和平面所成角的正弦值为，求的值．
【答案】（1）证明见解析 （2）
【解析】（1）由题设知．
因为平面平面，平面平面，所以平面．
因为平面，所以.
因为为等边三角形，是的中点，所以.
因为平面，所以平面．所以．
（2）取的中点的中点，连接，则．
由（1）知平面，所以平面，所以．
如图建立空间直角坐标系，则
所以，
设平面的法向量为，则即
令，则．于是．
因为直线和平面所成角的正弦值为，
所以，
整理得，解得或．因为，所以．
19．（本题满分14分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分5分．
某人下午5：00下班，他记录了自己连续20天乘坐地铁和连续20天乘坐公交到家的时间，如下表所示：
以频率估计概率，每天乘坐地铁还是公交相互独立，到家时间也相互独立．
（1）某天下班，他乘坐公交回家，试估计他不迟于5：49到家的概率；
（2）他连续三天乘坐地铁回家，记这三天中他早于5：50回家的天数为，求的分布及数学期望；
（3）某天他抛一枚硬币决定乘地铁还是乘公交，结果他是5：48到家的，试求他是乘地铁回家的概率.
【答案】（1） （2）分布列列解析，期望 （3）
【解析】（1）由表中数据可知，他乘坐公共汽车回家的20天内，
不迟于到家的天数有，
所以估计他乘坐公共汽车回家，不迟于5：49到家的概率为
（2）根据题意，他乘坐地铁回家，每天早于5：50回家的概率为
则随机变量可取值为，
可得；,则随机变量的分布如下：
所以．
（3）设事件：乘地铁回家，则：乘汽车回家，到家时间在5：45-5：49之间，则，
又由他是抛硬币决定乘地铁还是乘汽车，所以，
所以，
即他是乘地铁回家的概率为.
20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
已知双曲线的右顶点，离心率，且斜率为1的直线交于、两点．
（1）在双曲线的方程；
（2）证明：为直角三角形；
（3）若双曲线上一点若直线与两条渐近线相交，交点为，且分别在第一象限和第四象限，若，求面积的取值范围．
【答案】（1）； （2）证明见解析； （3）．
【解析】（1）∵，∴双曲线的方程为：；
（2）由已知可得，直线的方程为：，即，
联立，
设点设，则，
∵
，
∴为直角三角形；
（3）由题意可知，若直线有斜率则斜率不为0，故设直线方程为：，
设，∵，
∴,∵点在双曲线上，
∴，∴，
∴③，
又∵，
∴④，3分
联立⑤，⑥
∵分别在第一象限和第四象限，∴，
由④式得：，⑦，
将⑤⑥代入⑦得：，,
.6分
令，
由对勾函数性质可得在上单调递减，在上单调递增，
∴．8分
【解2】由题意可知，若直线有斜率则斜率不为0，故设直线方程为：，设，∵，
∴,∵点在双曲线上，
∴，∴
③，3分
又∵
④，
又，所以可以得到，即
所以.6分.
由对勾函数性质可得在上单调递减，在上单调递增，
∴．8分.
21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
对于定义在区间上，且图像为连续曲线的函数，当时，时表示函数在集合上的最小值，表示函数在集合上的最大值.若使得对任意成立，则称函数在区间上有＂－性质＂．
（1）若，直接写出的表达式；
（2）设，若函数在上有＂3－性质＂，求m的取值范围；
（3）已知，且对任意，函数在区间上具有＂－性质＂，在区间上具有＂－性质＂.证明：对任意，都有.
【答案】（1）， （2） （3）见解析．
【解析】（2）因为，所以函数在上严格减，
在上严格增，从而当时，．
由题意，当时，，且当时，．
由此解得且，解因为，所以为所求．
（3）首先证明是上的增函数．因为在上具有－性质，所以．但是，
于是，即对任意，得证．
由单调性知，在区间上具有＂－性质＂等价于①对一切成立；
在区间上具有＂－性质＂等价于②对一切成立；
对任意，取，代入①，得．
由不等式的合比性质，得．
取，代入②，得．
由不等式的合比性质，得．
因此，．移项化简得．证毕．
【注：满满第3问条件的函数未必是凸函数．如使用求导或函数凹凸性证明本题，一律0分．】

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