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2024-2025学年北师大版数学八年级下册单元试卷第1章三角形的证明
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.三角形中，到三边距离相等的点是( )
A. 三条高线所在直线的交点 B. 三条中线的交点
C. 三条角平分线的交点 D. 三边的垂直平分线的交点
2.已知；如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点，若的周长为，，则的周长为( )
A. B. C. D.
3.如图，的三边，，长分别是，，其三条角平分线交于点，将分为三个三角形，等于( )
A. B. C. D.
4.如图，在中，，，为中点，且交于点，，则的长为( )
A. B. C. D.
5.如图，已知点在的平分线上，于点，于点，若，则的长为 ( )
A. B. C. D.
6.等腰三角形的一个角是，则它的顶角是．
A. B. C. 或 D. 或
7.如图，是等边三角形的边上的高，以点为圆心，长为半径作弧交的延长线于点，则 ( )
A. B. C. D.
8.已知如图等腰，，，于点，点是延长线上一点，点是线段上一点，，下面的结论：；；是等边三角形；其中正确的是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.如图，已知，垂足为，若直接应用“”判定≌，则需要添加的一个条件是 ．
10.如图，在中，，平分，若，点是上一动点，的最小值为 ．
11.如图，在中，，延长至点，使，连接，过点作的垂线，交的平分线于点，则的度数为 ．
12.如图，在中，，，，为上一点．若是的平分线，则________．
13.如图，在等边三角形中，点，分别在和边上，以为边作等边三角形，连接若，，则的长是 ．
14.如图，在中，，，，的垂直平分线交于点，交于点，的垂直平分线交于点，交于点，则的长为 ．
15.如图，已知，点，，在射线上，点，，在射线上，，，均为等边三角形．若，则的边长为 ．
16.如图，在中，，，，线段，，两点分别在和过点且垂直于的射线上运动．当________时，和全等．
三、解答题：本题共7小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图，已知，是上一点，．
求证：．
18.本小题分
如图，已知等腰三角形的底边，是腰上一点，连接，且，．
求证：是直角三角形；求的长．
19.本小题分
如图，在中，，平分，于点，点在上，求证：．
20.本小题分
如图，在中，，，，动点，同时从，两点出发，分别在，边上匀速运动，点的运动速度为，点的运动速度为当点到达点时，，两点同时停止运动设点的运动时间为．
当为何值时，为等边三角形？
当为何值时，为直角三角形？
21.本小题分
如图，在中，的平分线与的垂直平分线相交于点，，求证：．
22.本小题分
如图，为等边三角形，，，相交于点，于点，，．
求证：；
求的长．
23.本小题分
已知，以为边在外作等腰，其中．
如图，以为边也在外作等腰，其中，连接与，交于点若，则 ；
如图，若，是等边三角形，，，求的长；
如图，若为锐角，作于，当时，试判断与的数量关系，并证明你的结论．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.或
17.证明：在和中，
≌
，，
在和中，
≌，
．
18.【小题】
证明：，，，
，
，
即，
为直角三角形；
【小题】
解：设，
是等腰三角形，
．
为直角三角形，
为直角三角形，
，
即，
解得：，
故AB的长为：

19.【解答】证明：平分，，，
，，
在和中，
≌，
，
即．

20.【小题】
解：在中，，，
，
，点的运动速度为，
，
点的运动时间为，
，，
，
当时，为等边三角形，
即，
解得：；
所以当时，为等边三角形；
【小题】
解：若为直角三角形，
当时，
，
，
，
即，
解得：；
当时，
，
，
，
即，
解得：；
综上所述，当或时，为直角三角形．

21.证明：如图，连接，．
是的垂直平分线，．
平分，，，
，．
在和中，
≌，．

22.【小题】
证明：为等边三角形，，在和中， ．．
【小题】
解：，．．，．．，在中，又，．

23.【小题】
【小题】
将绕点顺时针旋转得，连接，

由知，
．
，，
是等边三角形，
，．
，
．
在中，，
．
【小题】
．
证明：过点作于，使，连接，，
则．
，
．
过点作于，则四边形为长方形，
．
，
，
，
是的垂直平分线，
．
在和中，
，
，
，
即．
，为锐角，
．
，
，
，
，
．

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