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进才中学2024-2025学年第二学期高三年级数学最后一考
2025.5
一、填空题（本大题共有12题，其中1～6题每题4分，7～12题每题5分）
1. 函数的定义域为 .
2．已知扇形的弧长为，面积为，则扇形所在圆的半径为 ．
3．若复数满足（是虚数单位），则的虚部是 .
4．样本数据24，8，35，23，7，10，11，30的60%分位数为 .
5．向量满足，且与夹角的余弦值为，则 ．
6．有3名男生与2名女生排成一队照相，2名女生互不相邻的概率为__________.
7．数列的通项公式是，的前项和为，则取得最小值时 .
8．如图所示为函数的图象，则不等式的解集为 ．
9. 随机变量，，若，则实数的值为 .
10．已知是椭圆的左焦点，过点的直线与圆交于，两点，与在轴右侧交于点，且，则的离心率为 ．
11. （教材）如图，要在和两地之间修一条笔直的隧道，
现从地和地测量得到：，，
，，为确定隧道的方向，
可求得 （精确到）
12. 已知向量与单位向量所成的角为60°，且满足对任意的，恒有，则（）的最小值为 .
二、选择题（本大题共有4题，其中13～14每题4分，15～16每题5分）
13.下列命题中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
14．下列各组向量中，能作为基底的是（ ）
A．， B．
C． D．
15. 已知函数在区间上的图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A. 在到之间的平均变化率大于在到之间的平均变化率
B. 在到之间的平均变化率小于在到之间的平均变化率
C. 对于任意，在处的瞬时变化率总大于在处的瞬时变化率
D. 存在，使得在处的瞬时变化率小于在处的瞬时变化率
16. 已知曲线，为曲线上任一点，
命题P: 曲线与直线恰有四个公共点；
命题Q:曲线与直线相切；下列说法正确的是（ ）
A. 命题P和命题Q都为真 B. 命题P为真，命题Q为假
C. 命题P为假，命题Q为真 D. 命题P和命题Q都为真
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）
17．（本题满分14分，本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分）
已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，P是AD1中点，Q是BD中点，E是DD1中点．
（1）求证：PQ∥平面D1DCC1；
（2）求异面直线CE和DP所成角的余弦值．
18．（本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分）
已知，.
（1）求函数在区间上的最大值和最小值；
（2）设的内角A、B、C的对边分别为a、b、c. 若，，，求.
19.（本题满分14分，本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分）
某市环保部门对该市市民进行了一次垃圾分类知识的网络调查问卷，每一位市民仅有一次参加机会，通过随机抽样，得到参加问卷调查的1000人的得分（满分为100分），统计结果如下：
组别
频数 25 150 200 250 225 100 50
（1）已知此次问卷调查的得分，的近似为这1000人得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表），求.
参考数据：若，则，
，
（2）在（1）的条件下，环保部门为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：
①得分不低于的可以获赠2次随机话费，得分低于的可以获赠1次随机话费；
②每次赠送的机制为“赠送20元话费的概率为，赠送40元话费的概率为”.
现市民甲要参加此次问卷调查，记该市民参加问卷调查获赠的话费为元，求的分布与期望.
20．（本题满分18分，本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分8分）
已知抛物线的焦点到准线的距离为2，点，过的直线交于，两点，过，分别作的垂线，垂足分别为，，直线，与直线分别交于点，.
(1)求的方程；
(2)记，的纵坐标分别为，，当时，求直线的斜率；
(3)设为轴上一点，记，分别为直线，的斜率.若为定值，求点的坐标.
21.（本题满分18分，本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分8分）
已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若，求的值；
(3)当时，证明：有2个零点．
进才中学2024-2025学年第二学期高三年级数学最后一考
2025.5
一、填空题（本大题共有12题，其中1～6题每题4分，7～12题每题5分）
1. 函数的定义域为 .
【答案】
2．已知扇形的弧长为，面积为，则扇形所在圆的半径为 ．
【答案】3
3．若复数满足（是虚数单位），则的虚部是 .
【答案】2
4．样本数据24，8，35，23，7，10，11，30的60%分位数为 .
【答案】
5．向量满足，且与夹角的余弦值为，则 ．
【答案】
6．有3名男生与2名女生排成一队照相，2名女生互不相邻的概率为__________.
【答案】
7．数列的通项公式是，的前项和为，则取得最小值时 .
【答案】
8．如图所示为函数的图象，则不等式的解集为 ．
【答案】
9. 随机变量，，若，则实数的值
为__________.
【答案】95.5
10．已知是椭圆的左焦点，过点的直线与圆交于，两点，与在轴右侧交于点，且，则的离心率为 ．
【答案】
11. （教材）如图，要在和两地之间修一条笔直的隧道，现从地和地测量得到：，，，，为确定隧道的方向，可求得 （精确到）
【答案】52.5°
【解析】设，由题意，在△ADC中，；
在△BDC中，；在△BDA中，；
将上述三式相乘，得，
从而有，得，
所以
12.已知向量与单位向量所成的角为60°，且满足对任意的，恒有，则（）的最小值为 .
【答案】
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，其中13～14每题4分，15～16每题5分）
13.下列命题中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
14．下列各组向量中，能作为基底的是（ ）
A．， B．
C． D．
【答案】C
15. 已知函数在区间上的图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A. 在到之间的平均变化率大于在到之间的平均变化率
B. 在到之间的平均变化率小于在到之间的平均变化率
C. 对于任意，在处的瞬时变化率总大于在处的瞬时变化率
D. 存在，使得在处的瞬时变化率小于在处的瞬时变化率
【答案】D
16. 已知曲线，为曲线上任一点，
命题P: 曲线与直线恰有四个公共点；
命题Q:曲线与直线相切；下列说法正确的是（ ）.
A. 命题P和命题Q都为真 B. 命题P为真，命题Q为假
C. 命题P为假，命题Q为真 D. 命题P和命题Q都为真
【答案】C
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）
17．（本题满分14分，本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分）
已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，P是AD1中点，Q是BD中点，E是DD1中点．
（1）求证：PQ∥平面D1DCC1；
（2）求异面直线CE和DP所成角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析； （2）．
【解析】（1）证明：连接.∵底面正方形，是中点，
∴是中点，又是中点，
平面平面平面
取中点，连接，设正方体棱长为.
∴又是中点，
故四边形是平行四边形，∴
∴或其补角中的锐角或直角为异面直线和所成角.
在
∴异面直线和所成角的余弦值为．
18．（本题满分14分，本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分）
已知，.
（1）求函数在区间上的最大值和最小值；
（2）设的内角A、B、C的对边分别为a、b、c. 若，，，求.
【答案】（1）最小值为；最大值为. （2）
【解析】（1）由题.
，
当，即时，函数取最小值为；
当，即时，函数取最大值为.
（2）由题，即.
，.由正弦定理，，由余弦定理，.
， .
19.（本题满分14分，本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分）
某市环保部门对该市市民进行了一次垃圾分类知识的网络调查问卷，每一位市民仅有一次参加机会，通过随机抽样，得到参加问卷调查的1000人的得分（满分为100分），统计结果如下：
组别
频数 25 150 200 250 225 100 50
（1）已知此次问卷调查的得分，的近似为这1000人得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表），求.
参考数据：若，则，
，
（2）在（1）的条件下，环保部门为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：
①得分不低于的可以获赠2次随机话费，得分低于的可以获赠1次随机话费；
②每次赠送的机制为“赠送20元话费的概率为，赠送40元话费的概率为”.
现市民甲要参加此次问卷调查，记该市民参加问卷调查获赠的话费为元，求的分布与期望.
【答案】（1） （2）分布列见解析，
【解析】（1）
易知，所以
（2）由题，且，
.
所以.
所以数学期望.
20．（本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分8分）
已知抛物线的焦点到准线的距离为2，点，过的直线交于，两点，过，分别作的垂线，垂足分别为，，直线，与直线分别交于点，.
(1)求的方程；
(2)记，的纵坐标分别为，，当时，求直线的斜率；
(3)设为轴上一点，记，分别为直线，的斜率.若为定值，求点的坐标.
【答案】(1) (2) (3)
【解析】（1）由题意知，所以抛物线方程为.
（2）由题意可设直线的方程为，，，则，，.
所以，得，所以，.
所以直线的方程为：，与直线的方程联立消去，
解得，同理.
所以.
所以.所以直线的斜率为.
（3）设，
因为.
因为，.
所以，
当时，为定值.所以.
21.（本题满分18分，本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分8分）
已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若，求的值；
(3)当时，证明：有2个零点．
【答案】（1） （2） （3）证明见解析
【解析】（1）当时，，则，
所以，，所以曲线在点处的切线方程为，即．
（2）函数的定义域为，且，
① 当时，易得，在上单调递减，
又，所以当时，，不符合题意；
② 当时，由，得时，即在上单调递增；
由，得时，即在上单调递减，
所以，
因为，则其等价于，即．
令，则，
所以当时，，当时，，
则在上单调递增，在上单调递减，
所以，因恒成立，故．
（3）．
令，得，令，
则与有相同的零点，且．
令，则，
因为当时，，所以在区间上单调递增，
又，，所以，使得，
所以当时，，即；
当时，，即，
所以在单调递减，在单调递增，
所以的最小值为．
由，得，即，
令，，则，则在单调递增．
因为，所以，则，
所以，从而，，
所以的最小值．
因为，所以当趋近于0时，趋近于；
当趋近于时，趋近于，且，
所以有2个零点，故有2个零点．

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