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宜川中学2024-2025学年第二学期高三年级数学三模
2025.5
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1．函数的定义域为 ．
2．二项式的展开式中的常数项为 ．
3．若是直线的一个法向量，则的倾斜角的大小为 ．（用反三角函数表示）
4．双曲线的焦距为 ．
5．正四面体中，相邻两个面所成的锐二面解的大小为 ．
6．抛物线中，以为切点的切线方程为 ．
7．已知复数满足（其中为虚数单位），则 ．
8．已知是公差不为0的等差数列．现从，这组数据中随机删除2个数，得到一组新的数据．这两组数据的极差相同的概率为 ．
9．函数的零点个数为 ．
10．北斗七星是夜空中的七颗亮星，它们组成的图形象我国古代舀酒的斗，故命名为北斗七星北斗七星不仅是天上的星象，也是古人判断季节的依据之一，如图，用点表示某季节的北斗七星，其中看作共线．其他任何三点均不共线．若过这七个点中任意三点作三角形，则所作的不同三盾形的个数为 ．
11．研究发现：汽车在高速公路上行驶，发现紧急情况需要刹车时，刹车距离反应距离制动距离，其中反应距离与洗车行驶速度成正比，比例系数为制动距离为与汽车行驶速度的平方成正比，比例系数为，下表是通过实验观测得到的的对应关系：
0 11.9 0.213 16.0 0.00510
64 13.4 0.209 21.9 0.00535
72 15.2 0.211 28.2 0.00544
80 16.7 0.209 36.0 0.00563
89 18.6 0.209 45.3 0.00572
97 20.1 0.207 55.5 0.00590
105 21.9 0.209 67.2 0.00610
用表中比例系数与的平均数作为比例系数的估计值，那么根据上述数据，估计时，刹车距离约为 ．（结果精确0.1）
12．已知中，，且，则的最大值为 ．
二、选择题（本大题共4道小题，13,-14题每题4分，15-16题每题5分，满分18分）
13．下列函数中是奇函数的为（ ）.
A. B. C. D.
14．已知为不同的直线，为不同的平面，则下列命题正确的（ ）.
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
15．已知数列的通项公式为．则关于数列的最值叙述正确的是（ ）.
A.既存最大项也有最小项 B.只有最大项没有最小项
C.没有最大项只有最小项 D.没有最大项也没有最小项
16．某班同学身高的平均数为，方差为，其中女生身高的平均数为，方差为，男生身高的平均数为，方差为，下列说法错误的是（ ）.
A.若，则 B.若，则；
C.若，则 D.若，则
三、解答题（本大题共5道，鼻一问均需写出必要步骤，满分共78分）
17．（本题满分14分，第1问7分，第2问7分）
如图，是圆柱体的一条母线，已知过底面圆的圆心的一条直径，在任上与点不重合，．
（1）求直线与平面所成角的大小：
（2）将四面体绕母线旋转一周，求的三边在旋转过程中所围成的几何体的体积．
18．（本题满分14分，第1题7分，第2题7分）
设函数，其中向量，.
（1）求函数的最大值及相应的值；
（2）将函数的图像按向量平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的.
19．（本题满分14分，第1问6分，第2问8分）
义务教有阶段＂双减＂政策出台，某初中在课后延时服务开设奥数、科技、体有等特色课程．为进一步了解学生选课的情况，选取了400人进行调查问卷，整理后获得如下统计表：
喜欢奥数 不喜欢奥数 总计
已选奥数课（A组） 150 50 200
已选奥数课（B组） 90 110 200
240 160 400
（1）若从样本中喜欢奥数的240人中用分层抽样方法随机抽取32人，则应在A组、B组各抽取多少人？
（2）能否有的把握认为选报奥数延时课与喜欢奥数有关？附：
参考公式：，其中。
20．（本题满分18分，第1问4分，第2问6分，第3问8分）
如图，椭圆为其右焦点，过点的动直线与椭圆相交于两点．
（1）若直线经过焦点，求此时线段的长度；
（2）若焦点不在直线上，求周长的最大值及相应直线的方程；
（3）在平面直角坐标系中，是否存在与点不同的定点，使得成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，清说明理由．
21．（本题满分18分，第1问4分，第2问6分，第3问8分）
己知函数
（1）求函数的极值：
（2）当时，证明：恒成立．
（3）函数图像上存在多少组关于点对称的点对？说明你的结论和理由．
宜川中学2024-2025学年第二学期高三年级数学三模
2025.5
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1．函数的定义域为 ．
【答案】
2．二项式的展开式中的常数项为 ．
【答案】20
3．若是直线的一个法向量，则的倾斜角的大小为 ．（用反三角函数表示）
【答案】
4．双曲线的焦距为 ．
【答案】
5．正四面体中，相邻两个面所成的锐二面解的大小为 ．
【答案】
6．抛物线中，以为切点的切线方程为 ．
【答案】
7．已知复数满足（其中为虚数单位），则 ．
【答案】
8．已知是公差不为0的等差数列．现从，这组数据中随机删除2个数，得到一组新的数据．这两组数据的极差相同的概率为 ．
【答案】
9．函数的零点个数为 ．
【答案】3
10．北斗七星是夜空中的七颗亮星，它们组成的图形象我国古代舀酒的斗，故命名为北斗七星北斗七星不仅是天上的星象，也是古人判断季节的依据之一，如图，用点表示某季节的北斗七星，其中看作共线．其他任何三点均不共线．若过这七个点中任意三点作三角形，则所作的不同三盾形的个数为 ．
【答案】31
11．研究发现：汽车在高速公路上行驶，发现紧急情况需要刹车时，刹车距离反应距离制动距离，其中反应距离与洗车行驶速度成正比，比例系数为制动距离为与汽车行驶速度的平方成正比，比例系数为，下表是通过实验观测得到的的对应关系：
0 11.9 0.213 16.0 0.00510
64 13.4 0.209 21.9 0.00535
72 15.2 0.211 28.2 0.00544
80 16.7 0.209 36.0 0.00563
89 18.6 0.209 45.3 0.00572
97 20.1 0.207 55.5 0.00590
105 21.9 0.209 67.2 0.00610
用表中比例系数与的平均数作为比例系数的估计值，那么根据上述数据，估计时，刹车距离约为 ．（结果精确0.1）
【答案】105.9
12．已知中，，且，则的最大值为 ．
【答案】
二、选择题（本大题共4道小题，13,-14题每题4分，15-16题每题5分，满分18分）
13．下列函数中是奇函数的为（ ）.
A. B. C. D.
【答案】D
14．已知为不同的直线，为不同的平面，则下列命题正确的（ ）.
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
【答案】C
15．已知数列的通项公式为．则关于数列的最值叙述正确的是（ ）.
A.既存最大项也有最小项 B.只有最大项没有最小项
C.没有最大项只有最小项 D.没有最大项也没有最小项
【答案】A
16．某班同学身高的平均数为，方差为，其中女生身高的平均数为，方差为，男生身高的平均数为，方差为，下列说法错误的是（ ）.
A.若，则 B.若，则；
C.若，则 D.若，则
【答案】B
【解析】因为，且，故不同的值为3个，分别是
三、解答题（本大题共5道，鼻一问均需写出必要步骤，满分共78分）
17．（本题满分14分，第1问7分，第2问7分）
如图，是圆柱体的一条母线，已知过底面圆的圆心的一条直径，在任上与点不重合，．
（1）求直线与平面所成角的大小：
（2）将四面体绕母线旋转一周，求的三边在旋转过程中所围成的几何体的体积．
【答案】（1） （2）
【解析】（1）平面，即为直线AC与平面ABD所成角．．．．．．4分
其大小为．．．．．．7分
（2）旋转所得几何体为一个大圆锥去掉一个小圆锥
大圆锥底面半径为5，高为5，小圆锥底面半径为4，高为5……10分
故所得几何体的体积为，……14分
18．（本题满分14分，第1题7分，第2题7分）
设函数，其中向量，.
（1）求函数的最大值及相应的值；
（2）将函数的图像按向量平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的.
【答案】（1）最大值为；相应的值为 （2）
【解析】（1）分故函数的最大值为.........5分；相应的值为.........7分
（2）设，则平移后的函数为
为奇函数，故得……12分
于是，当时，最小，此时……14分
19．（本题满分14分，第1问6分，第2问8分）
义务教有阶段＂双减＂政策出台，某初中在课后延时服务开设奥数、科技、体有等特色课程．为进一步了解学生选课的情况，选取了400人进行调查问卷，整理后获得如下统计表：
喜欢奥数 不喜欢奥数 总计
已选奥数课（A组） 150 50 200
已选奥数课（B组） 90 110 200
240 160 400
（1）若从样本中喜欢奥数的240人中用分层抽样方法随机抽取32人，则应在A组、B组各抽取多少人？
（2）能否有的把握认为选报奥数延时课与喜欢奥数有关？附：
参考公式：，其中。
【答案】（1）A组抽取，B组抽取． （2）有关
【解析】（1）应在A组损取，应在B组抽取．．．．．．．6分
（2）零假设为：选报奥数延时课与喜欢奥数无关．
根据列联表中的数据，经计算得到
因此依据的独立性检验，可以推断不成立，
所以有的把握认为选报奥数延时课与喜欢奥数有关．……14分
20．（本题满分18分，第1问4分，第2问6分，第3问8分）
如图，椭圆为其右焦点，过点的动直线与椭圆相交于两点．
（1）若直线经过焦点，求此时线段的长度；
（2）若焦点不在直线上，求周长的最大值及相应直线的方程；
（3）在平面直角坐标系中，是否存在与点不同的定点，使得成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，清说明理由．
【答案】（1） （2）三角形周长的最大值为8，直线的方程 （3）存在点
【解析】（1），此时直线……2分
直线与椭圆方程联立化简得
于是．．．．．．4分
（2）设椭圆的左焦点为，则
于是，等号成立时，直线过左焦点．
所以三角形周长的最大值为8，此时直线．……10分
（3）存在点满足题意．12分
假设存在满足题意的定点，当直线平行于轴时，则
两点关于轴对称，所以点在轴上，不妨设
当直线垂直于轴时，．
解得或（舍去，否则点就是点），即点的坐标为．14分
下面我们证明对于一般的直线也满足题意．
因为，由角平分线定理可知，轴为的角平分线，故只需．
设，则，联立：，
消去可得，，由韦达定理可得，，
于是，两式相加得，
，即从而，假设成立.
即存在与点不同的定点，使得恒成立．18分
21．（本题满分18分，第1问4分，第2问6分，第3问8分）
己知函数
（1）求函数的极值：
（2）当时，证明：恒成立．
（3）函数图像上存在多少组关于点对称的点对？说明你的结论和理由．
【答案】（1）当时取得极大值 （2）证明见解析 （3）存在唯一的点
【解析】（1），得唯一的驻点1分
时，单调递增；时，单调递减3分
故函数得唯一的极值点，当时取得极大值．4分
（2）当时，，令…6分
则，当时，．于是严格递增，
故于是严格递增，故，即，
所以，原不等式成立.……10分
（3）存在唯一的点对关于对称.……11分
假设存在，设
于是，即
设，则，即，
即存在，其中，且，即单调递减，
于是时，单调递增：时，单调递减.
且于是，存在唯一的使得，
即存在唯一的点对满足题意分（注：）

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