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2025年中考数学考前最后一卷
（考试时间：90分钟 试卷满分：100分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．三星堆遗址被称为20世纪人类最伟大的考古发现之一，下列四个图案是三星堆遗址出土文物图，其中是中心对称图形的是( )
A． B． C． D．
2．截至2025年2月，DeepSeek的日活跃用户数增长至万，突破万大关．这一数字约为ChatGPT日活跃用户数的，并成功超越了豆包的万．“万”用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．下列整式的计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，数轴上的点A、、、、分别表示数、、0、1、2，那么表示数的点应落在（ ）

A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上
5.．如图， 四边形内接于，连接． 若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．．几个同学包租一辆面包车去旅游，面包车的租价为180元，后来又增加了两名同学，租车价不变，结果每个同学比原来少分摊了3元车费．若设原计划参加旅游的同学共有人，则根据题可列方程（　　）
A． B．
C． D．
7．凸透镜成像的原理如图所示，．若焦点 到物体 的距离与到凸透镜的中心 的距离之比为 ，若物体 ，则其像 的长为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在菱形中，，，点、分别是边、上的动点，且，则的最小值是 ．
A.2 B. C.1 D.
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
9．分解因式： ．
10．如图，有一张平整的银杏叶平铺在的地面上，小惠同学为了了解该银杏叶的面积，进行了以下试验操作：先用一个边长为的正方形，将银杏叶围在其中；然后在正方形区域内随机投掷小针，记录小针投中银杏叶的次数（小针投在正方形区域外或投在边界上，则不计试验结果，重新投掷），随着试验次数增加，发现小针投中银杏叶的频率稳定在左右，根据以上试验结果，估计该银杏叶的面积为 ．
11．如图是小颖同学做仰卧起坐运动某一瞬间的动作及其示意图，，，则的度数为 ．

12．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，分别在y轴和x轴上，已知对角线，．F是边上一点，过点F的反比例函数（）的图象与边交于点E，若将沿翻折后，点C恰好落在上的点M处，则k的值为 ．

13．如图，在中，，，，是的中点，点在上，分别连接、交于点．若，则 ．
三、解答题（本大题共7个小题，共61分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
14．计算：．
15．先化简： 再从中选合适的数求值．
16．某校在课后服务中，成立了以下社团：A．计算机，B．围棋，C．篮球，D．书法每人只能加入一个社团，为了 学生参加社团的情况，从参加社团的学生中随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，其中图1中D所占扇形的圆心角为．请结合图中所给信息解答下列问题：

(1)这次被调查的学生共有______人；
(2)请你将条形统计图补充完整；
(3)若该校共有1800学生加入了社团，请你估计这1800名学生中有多少人参加了篮球社团；
(4)在书法社团活动中，由于甲、乙、丙、丁四人平时的表现优秀，恰好四位同学中有两名是男同学，两名是女同学．现决定从这四人中任选两名参加全市书法大赛，用画树状图求恰好选中一男一女的概率．
17．根据以下素材，完成任务．
背景 我国国产动画电影“哪吒2魔童闹海”票房突破了100亿，商家推出、两种类型的哪吒纪念娃娃．
素材1 某商店在无促销活动时，若买5个种娃娃、4个种娃娃，共需250元；若买3个种娃娃、3个种娃娃，共需165元．
素材2 该商店线下促销活动：用50元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的8折出售（已知小明在此之前不是该商店的会员）； 该商店线上淘宝店促销活动：购买商店内任何商品，一律按商品价格的9折出售且包邮．
问题解决
任务1 该商店在无促销活动时，求种娃娃和种娃娃的销售单价各是多少元？
任务2 小明计划在促销期间购买、两种娃娃共18个，其中款盲盒个，若在线下凭会员卡购买，共需要________元；若在线上淘宝店购买，共需要________元．（均用含的代数式表示）
任务3 请你帮小明算一算，在任务2的条件下，购买种娃娃的数量在什么范围内时，线下凭会员卡购买方式更合算？
18．如图，是的直径，点在上，，点在线段的延长线上，且．

(1)求证：EF与相切；
(2)若，求的长．
19．【问题提出】在数学兴趣小组的研讨中，小蒙提出了自己遇到的问题：解不等式
【问题探究】数学老师启发小蒙从函数的角度解决这个问题：
如图1，在平面直角坐标系中，分别画出函数．和函数 的图象，从函数角度看，解不等式 相当于求抛物线．在双曲线 下方的点的横坐标的取值范围．
（1）观察图1，可知两个图象的交点坐标为______ ，所以 的解为______．
【类比探究】受此启发，小蒙尝试解不等式 经过分析，小蒙发现需要借助函数 和函数 的图象来求解．
（2）请先完成上面的填空，再在图2中画出相应的函数图象，写出不等式 的解集并说明理由．
【拓展应用】小蒙想借助函数图象进一步研究不等式，于是尝试解不等式组 并进行了一些准备，如图3所示．
（3）请根据小蒙的思路分析，直接写出该不等式组的解集．
20．如图：
(1)问题发现：
如图①，点A为平面内一动点，且BC＝a，AB＝c（a＞c），则AC的最小值为 　 　，AC的最大值为 　 　；
(2)轻松尝试：
如图2，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝12，E为AB边的中点，F是BC边上的动点，将△EFB沿EF所在直线折叠得到△EFB'，连接B'D，则B'D的最小值为　 　．
(3)方法运用：
在四边形ABCD中，BC＝4，点D是BC上方的动点，且CD＝2，∠ABD＝90°，＝m．
①如图3，当m＝1时，求线段AC的最大值．
②如图4，当m≠1时，用含m式子表示线段AC的最大值．2025年中考考前最后一卷
数学·参考答案
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1 2 3 4 5 6 7 8
B A C B D A C B
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．
12．
13．
14．
15．/
三、解答题（本大题共7个小题，共61分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
14.【详解】解：原式
(4分）
（5分）
15.【详解】解：
(1分）
(2分）
(3分）
，(4分）
∵且，
且，(5分）
∴，(6分）
当时，原式(7分）
16.详解】（1）；(1分）
（2）解：由题意知，C组人数为：（人），
补充条形统计图如下：
(3分）
（3）解：（人），(4分）
答：这名学生中有人参加了篮球社团，(5分）
（4）解：设甲乙为男同学，丙丁为女同学，画树状图如下：
(7分）
∴一共有种可能的情况，恰好选择一男一女有种，(8分）
∴．(9分）
17.【详解】解：任务1：设A种娃娃销售单价为元，B种娃娃销售单价为元，
根据题意得，(2分）
解得，(3分）
答：该商店在无促销活动时，A种娃娃销售单价为30元，B种娃娃销售单价为25元；
任务2：由题意得，若在线下凭会员卡购买，共需要元；(4分）
若在线上淘宝店购买，共需要元；(5分）
任务3：由题意得，，(6分）
∴，(7分）
∴当，即购买A种娃娃数量大于10个且小于18个时，线下凭会员卡购买方式更合算．(9分）
18.【详解】（1）证明：连接，

∵，∴，
∵，
∴，(1分）
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，(2分）
∴，
∵为半径，
∴EF与相切；(3分）
（2）解：设半径为x，则，
∵，，
∴，(4分）
在中，，，
∴，即，(5分）
解得，
经检验，是所列方程的解，(6分）
∴半径为4，则，
在中，，，，(7分）
∴，(8分）
∴．(9分）
【详解】解：[问题探究]
，0＜x＜1；(2分）
[类比探究]
；(4分）
（2）如图所示，
该不等式组的解集是或；(6分）
从函数角度看，解不等式 相当于求双曲线，
在直线 上方的点的横坐标的取值范围．
由图象可知， 与的交点分别为和，因此解集为或；(8分）
（3）在图3中画出的图象，
由图象可知，该不等式组的解集是．(11分）
【详解】（1）a－c，a＋c；(2分）
（2）8；(5分）
（3）①如图3，以BC为直角边作等腰直角△BCM，则BC＝BM，
∵∠ABD＝∠CBM＝90°，＝m＝1，
∴∠ABC＝∠DBM，AB＝BD，
∴△ABC≌△DBM（SAS），(6分）
∴AC＝DM，
∴当DM取最大值时，AC最大，
即当D、C、M共线时，DM最大，如图，D′M为最大值，(7分）
∵，，
∴，
∴当m＝1时，线段AC的最大值为；(8分）
②如图4，作BN⊥BC，且BN＝4m，即，
∵∠ABD＝∠CBN＝90°，＝m，
∴∠ABC＝∠DBN，，
∴△ABC∽△DBN，(9分）
∴，
∴，
∴当DN取最大值时，AC最大，
即当D、C、N共线时，DN最大，如图，D′N为最大值，
∵BC＝4，，
∴，，(10分）
∴，
∴AC最大．(11分）

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