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高二下学期第三次月考数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 ，则
A. B. C. D.
2. 已知随机变量服从正态分布，，则（ ）
A 0.2 B. 0.3 C. 0.5 D. 0.8
3. 已知函数，其中，则之间大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
4. 为了研究某产品的年研发费用 (单位: 万元) 对年利润 (单位: 万元) 的关系，该公司统计了最近 8 年每年投入该产品的年研发费用与年利润的数据，根据统计数据的散点图可以看出 与 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为 . 已知 . 若该公司对该产品预投入的年研发费用为 25 万元， 则预测年利润为（ ）
A. 55 万元 B. 57 万元 C. 60 万元 D. 62 万元
5. 已知正实数 ，则 “ ” 是 “ ” 的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6. 要安排4名学生（包括甲）到A，B两个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有1名志愿者，且甲不去A乡村，则不同的安排方法共有（ ）
A. 7种 B. 8种 C. 12种 D. 14种
7. 已知为偶函数，若函数与图象的交点为，，…，，则（ ）
A. 45 B. C. 90 D.
8. 存在三个实数，使其分别满足下述两个等式：
（1） （2）
其中M表示三个实数中的最小值，则（ ）
A. M的最大值是 B. M的最大值是
C. M的最小值是 D. M的最小值是
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 对于 的展开式，下列说法正确的是（ ）
A. 展开式共有 5 项 B. 展开式的各项系数之和为
C. 展开式中的常数项是 15 D. 展开式的各二项式系数之和为 32
10. 甲和乙两个箱子中各装有 10 个球， 其中甲箱中有 5 个白球、 5 个红球， 乙箱中有 8 个红球、 2 个白球. 掷一枚质地均匀的骰子， 若点数为 5 或 6 ， 则从甲箱中随机摸出 1 个球不放回; 若点数为 ，则从乙箱中随机摸出 1 个球不放回. 下列结论正确的是（ ）
A. 掷骰子一次，摸出的是红球的概率为
B. 掷骰子一次，若摸出的是红球，则该球来自甲箱的概率为
C. 掷骰子两次，摸出的 2 个球都来自甲箱的概率为
D. 掷骰子两次，摸出 2 个红球概率为
11. 已知函数，若有三个不等实根，，，且，则（ ）
A. 单调递增区间为
B. a的取值范围是
C. 的取值范围是
D. 函数有4个零点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上.
12. 已知随机变量X的所有可能取值为1，2，3，其分布列为
1 2 3
若，则_______.
13. 已知随机变量，且，则______．
14. 如图，一只蚂蚁从正四面体 的顶点 出发，每一步 (均为等可能性的)经过一条边到达另一顶点，设该蚂蚁经过 步回到点 的概率 ，则 __________， ____________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 某校为了解学生阅读文学名著的情况，随机抽取了校内200名学生，调查他们一年时间内的文学名著阅读的达标情况，所得数据如下表：
阅读达标 阅读不达标 合计
女生 70 30 100
男生 40 60 100
合计 110 90 200
（1）根据上述数据，依据小概率值的独立性检验，能否认为阅读达标情况与性别有关联
（2）从阅读不达标的学生中按男、女生人数比例用分层随机抽样的方法抽取6人进行座谈，再从这6人中任选2人，记这2人中女生的人数为，求的分布列和数学期望.
附：，其中.
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
16. 已知函数是奇函数.
（1）求；
（2）求不等式 的解集.
17. 某校为激发学生对天文、航天、数字科技三类知识的兴趣，举行了一次知识竞赛（三类题目知识题量占比分别为，，）.甲回答这三类问题中每道题的正确率分别为，，.
（1）若甲在该题库中任选一题作答，求他回答正确的概率.
（2）知识竞赛规则：随机从题库中抽取2n道题目，答对题目数不少于n道，即可以获得奖励.若以获得奖励的概率为依据，甲在和之中选其一，则应选择哪个？
18. 据统计，某城市居民年收入（所有居民在一年内收入的总和，单位：亿元）与某类商品销售额（单位：亿元）的10年数据如下表所示：
第年 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
居民年收入 32.2 31.1 32.9 35.7 37.1 38.0 39.0 43.0 44.6 46.0
商品销售额 25.0 300 34.0 37.0 39.0 41.0 42.0 44.0 48.0 51.0
依据表格数据，得到下面一些统计量的值.
379.6 391 247.624 568.9
（1）根据表中数据，得到样本相关系数.以此推断，与的线性相关程度是否很强？
（2）根据统计量的值与样本相关系数，建立关于的经验回归方程（系数精确到0.01）；
（3）根据（2）的经验回归方程，计算第1个样本点对应的残差（精确到0.01）；并判断若剔除这个样本点再进行回归分析，的值将变大还是变小？（不必说明理由，直接判断即可）.
附：样本的相关系数，
，，.
19. 一种特殊的单细胞生物在一个生命周期后有的概率分裂为两个新细胞，的概率分裂为一个新细胞，随后自身消亡. 新细胞按相同的方式分裂，并且每个细胞的分裂情况相互独立， 如此繁衍下去. 某实验人员开始观察一个该种单细胞生物经过个生命周期的分裂情况，将第个生命周期后的活细胞总数记为随机变量.
（1）若，
（i）求随机变量的分布列和期望;
（ii）求事件 “” 的概率;
（2）已知在的条件下，的期望称为条件期望，其定义为，试求条件期望和的期望.
高二下学期第三次月考数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
【1题答案】
【答案】D
【2题答案】
【答案】B
【3题答案】
【答案】B
【4题答案】
【答案】A
【5题答案】
【答案】B
【6题答案】
【答案】A
【7题答案】
【答案】A
【8题答案】
【答案】B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
【9题答案】
【答案】BD
【10题答案】
【答案】BCD
【11题答案】
【答案】CD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上.
【12题答案】
【答案】
【13题答案】
【答案】12
【14题答案】
【答案】 ①. ②.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
【15题答案】
【答案】（1）阅读达标情况与性别有关联
（2）分布列见解析，
【16题答案】
【答案】（1）
（2）
【17题答案】
【答案】（1）
（2）选
【18题答案】
【答案】（1）线性相关程度很强
（2）
（3），变小
【19题答案】
【答案】（1）（i）分布列见解析，期望为；（ii）；
（2）.

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