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九年级中考模拟考试
数学
注意事项：
1.满分120分，答题时间为120分钟．
2.请将各题答案填写在答题卡上．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1.如图，这是由6个相同的小立方块搭成的几何体，则这个几何体的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
2.在实数 3， 5， ，1中，最小的数是（ ）
A. 3 B. 5 C. D.1
3.交通是经济发展的“开路先锋”，辽宁正全力建设交通重点项目．一季度，全省完成交通投资121.5亿元，同比增长13%；集装箱海铁联运量及占比保持全国前列，交通运输领域工作全面稳定向好．将数据“12 150 000 000”用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
4.如图，在ABCD中，∠ABC＝50°，BE平分∠ABC，则∠BED的度数为（ ）
A．25° B.130° C.145° D.155°
5.下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
6.书架上有社会科学类图书20本，教育类图书5本，自然科学类图书15本，文化艺术类图书10本，随机从该书架上取出一本书，则下列事件发生的可能性最大的是（ ）
A.取出的是社会科学类图书 B.取出的是教育类图书
C.取出的是自然科学类图书 D.取出的是文化艺术类图书
7.今年是乙巳年，生肖为蛇，则下列关于蛇的图片中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
8.我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有二马、一牛价过一万，如半马之价；一马、二牛价不满一万，如半牛之价，问牛、马价各几何？”其翻译成现代文为“现在两匹马和一头牛的价格超过一万，其超出的钱数相当于半匹马的价格，一匹马和两头牛的价格不足一万，所差的钱数相当于半头牛的价格．问每头牛、每匹马的价格各是多少？”若设每匹马的价格为，每头牛的价格为，则根据题意，可列方程组（ ）
A. B.
C. D.
9.如图，在中，，是的中点，过点，分别作，．若，，则四边形的面积为（ ）
A.15 B.30 C.45 D.60
10.如图，在矩形中，点，分别位于轴，轴的正半轴上，反比例函数的图象经过点，连接．将沿折叠，点的对称点为，与交于点，若，则点的坐标为（ ）
A.（1.2，2） B.（1.4，2）
C.（1.5，2） D.（1.9，2）
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11.分式方程的解为______．
12.因式分解：______．
13.如图，在中，是的中点，，且．若，则的长为______．
14.某足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，如果不考虑空气阻力，足球飞行的高度（单位：）与足球飞行的时间（单位：）之间具有二次函数关系，其部分图象如图所示，则足球从踢出到落地所需的时间是______．
15.如图，在四边形中，，，，，，为的中点，以点为圆心，任意长为半径画弧，交，于点，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于点；以点为圆心，任意长为半径画弧，交于点，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于点，则的长为______．（用含的代数式表示）
三、解答题（本大题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
16.（10分）（1）计算：．
（2）计算：．
17.（8分）某工厂有甲、乙两个车间，甲车间生产产品，乙车间生产产品．已知销售产品30件，产品20件，共收入680元；销售产品50件，产品40件，共收入1240元．
（1）求，两种产品的销售单价．
（2）若该工厂销售，两种产品共300件，总收入不超过4000元，则最少要销售产品多少件？
18.（8分）随着辽宁省人工智能创新发展大会暨青年AI创新大赛全面启动，某校为了了解全校学生对人工智能的了解情况，随机抽取该校部分学生进行测试，并对测试成绩进行收集、整理、描述和分析（测试满分为100分，学生测试成绩x均为不小于60的整数，分为四个等级：A：90≤x≤100；B：80≤x＜90；C：70≤x＜80；D：60≤x＜70），部分信息如下：
信息一：
信息二：学生成绩在C等级的数据：72，73，74，74，75，76，77，78，78．
请根据以上信息，解答下列问题．
（1）求所抽取的学生成绩为D等级的人数．
（2）求所抽取的学生成绩的中位数．
（3）已知该校共有1500名学生，若全校学生都参加本次测试，请估计成绩为A等级的人数．
19.（8分）某网店销售某种品牌的商品，经过一段时间的试销发现，日销售量y（件）与每件的售价x（元）之间满足一次函数关系，其函数图象如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）．
（2）若该商品的成本为35元，则商品日利润能否达到2750元？如果能，求出每件的售价；如果不能，请说明理由．
20.（8分）某课外活动小组准备利用光的反射原理来测量居民楼的高度．如图，小组首先利用测角仪从点D处测得居民楼顶端A的仰角为27°，在测角仪和居民楼之间水平光滑的地面放置一个平面镜，当平面镜位于点E处时，观测的同学恰好能从点D处看到居民楼顶端A，此时测得CE＝2米．已知测角仪的高度CD＝1.5米，点A，B，C，D，E在同一竖直平面内，且点B，E，C在同一条水平直线上．
（1）求tan∠AEB．
（2）求居民楼AB的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：sin 27°≈0.45，cos 27°≈0.89，tan 27°≈0.51）
21.（8分）如图，以AB为直径的⊙O与△ABC的边BC交于点D，且∠CAD＝∠ABC，M是AB下方半圆上的一动点，连接AM，DM，DM与AB交于点N．
（1）如图1，若AC＝，BC＝，求tan M的值．
（2）如图2，若N是DM的中点，∠ABC的平分线交DM于点E，交AD于点F．求证：．
22.（12分）如图，在△ABC中，BA＝BC，点O在AC上，连接BO，并延长至点D，使得OB＝OD，BD⊥AC，连接AD，CD，E是CD上的一点，连接AE．
（1）如图1，求证：四边形ABCD是菱形．
（2）如图2，将△ADE沿AE折叠，使点D的对应点F落在BC上，若BF＝2FC，猜想CE与DE的数量关系，并加以证明．
（3）如图3，将△ADE沿AE折叠，点D的对应点F落在BC的延长线上，AF与CD交于点G．
①求证：GC＝GF．
②若AD＝5，CF＝1，求的值．
23.（13分）将函数在y轴一侧的部分沿y轴对折，对折后的图象与对折前的图象构成一个新的函数图象，我们将这样的函数图象称为“偶函数图象”，对应的函数称为“偶函数”，图象上关于y轴对称的点称为“对偶点”．求一个“偶函数图象”的表达式，一般情况我们可以先求y轴一侧部分的表达式，然后找出部分点，求出其“对偶点”，最后根据待定系数法求出y轴另一侧部分的表达式即可．例如：如图1，函数图象在左边经过点A（－2，0），B（－1，1），则点A，B的“对偶点”分别为A'（2，0），B'（1，1），设左边部分的表达式为，右边部分的表达式为．将点A（－2，0），B（－1，1），A'（2，0），B'（1，1）分别代入，解得．∴“偶函数图象”的表达式为y＝．
（1）如图2，当x＜0时，该图象为反比例函数图象的一部分，若函数图象经过点A（－2，2），求“偶函数图象”的表达式．
（2）若点A（，3）与点B（－2，n）是一个“偶函数”上的“对偶点”，求m＋n的值．
（3）如图3，若“偶函数”位于y轴左侧的表达式为．
①求该“偶函数”位于y轴右侧的表达式．
②记该“偶函数图象”的两个最高点分别为A，B，与y轴的交点为C，判定△ABC的形状．
③在②的条件下，在象限内（不含坐标轴上的点）是否存在一点D，使以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
九年级中考模拟考试
数学参考答案
1.C 2.B 3.C 4.D 5.B 6.A 7.A 8.D 9.B 10.C
11. 12. 13.3 14.4 15.
16.解：（1）原式………3分
．…………5分
（2）原式
．…………………10分
17.解：（1）设A产品的销售单价为元，B产品的销售单价为元．
依题意，得，…………2分
解得．
答：A产品的销售单价为12元，B产品的销售单价为16元．……4分
（2）设销售A产品件，则销售B产品件．
依题意，得，……6分
解得．
答：最少要销售A产品200件．………8分
18.解：（1）样本容量为，
（人），
即所抽取的学生成绩为D等级的人数为14.……3分
（2）所抽取的学生成绩的中位数为（分）．……5分
（3）（人）．
答：估计成绩为A等级的人数为150.………8分
19.解：（1）由题意，设与之间的函数关系式为．
根据图象，可得该函数图象经过点，，
∴，解得，
∴与之间的函数关系式为．……4分
（2）能．
由题意，可得，
整理，得，………6分
解得．
答：商品日利润能达到2 750元，此时每件的售价为60元或90元．……8分
20.解：（1）根据题意，可得．
在中，，
∴．…………3分
（2）如图，过点作，交于点．
根据题意，可得．
由（1），可得，设，
则．………5分
在中，，
解得，∴（米）．
答：该居民楼的高度约为7.9米．………8分
21.解：（1）∵是的直径，
∴，∴．
∵，
∴，∴．…………2分
∵，
∴．
∵，∴，
∴．……4分
（2）证明：如图，过点作于点．
∵是的中点，是的直径，
∴，∴，
∴，∴．………6分
∵平分，∴．
∵，∴，
，
．……8分
22.解：（1）证明：，
是的垂直平分线，
．
，
四边形是菱形．………3分
（2）．
证明：如图1，延长交于点．
由折叠的性质，可得．
四边形是菱形，
，，
．
设，则，
．
，，
，
．…………6分
（3）①证明：由折叠的性质，可得．
四边形是菱形，，
，
．………………9分
②如图2，延长，交的延长线于点．
．
，，
，
．
由折叠的性质，可得．
四边形是菱形，
，
，
．
∵，，
∴，∴，
∴，
∴．………………12分
23.解：（1）当时，设函数的表达式为．
∵函数图象经过点，∴，∴．
∵点的“对偶点”为，
∴当时，函数的表达式为，
∴“偶函数图象”的表达式为………3分
（2）∵点与点是一个“偶函数”上的“对偶点”，
∴，，解得，，
∴或．…………6分
（3）①∵，
∴的顶点坐标为，
根据“偶函数图象”的定义，可得当时，函数的顶点坐标为，图象的形状与开口方向不变，
∴当时，．……9分
②如图，由①，可得点，，，
∴，．
∵，
∴△ABC是以C为直角顶点的等腰直角三角形．………11分
③存在．点D的坐标为或．……………13分

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