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2024－2025学年九年级下学期第三次考试数学试卷
（考试时间：100分钟：满分：120分：闭卷考试）
一、选择题（每小题3分，共30分）
1.下列四个有理数中，绝对值最小的是（ ）
A.－2 B.0 C.3 D.
2.某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“化”所在面相对的面上的汉字是（ ）
A.传 B.承 C.非 D.遗
3.截至2025年2月26日，中国动画电影《哪吒之魔童闹海》累计票房超过139亿元人民币，跃居全球动画票房榜首.数据“139亿”用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
4.小林乘车进入车库时仔细观察了车库门口的“曲臂直杆道闸”，并抽象出如图所示的模型，已知垂于水平地面.当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的段绕点缓慢向上旋转，段则一直保持平状态上升（即与始终平行），在该过程中始终等于（ ）
A.180° B.250° C.270° D.360°
5.下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
6.若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则a的值为（ ）
A.1 B.－1或1 C.0 D.0或4
7.小英在商店买了一块漂亮的丝巾（四边形），为判断丝巾的形状，小英将丝巾沿一条对角线对折后摊开又沿另一条对角线对折，如图所示，两次对折后两组对角都能分别对齐，那么可以确定这块丝巾的形一定是（ ）
A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.等腰梯形
8.数学文化《孙子算经》中记载“今有出门望见九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢……”大意为：今天出门见9座堤坝，每座堤坝上有9棵树，每棵树上有9根树枝，每根树枝上有9个鸟巢……文中的鸟巢共有（ ）
A.个 B.个 C.个 D.个
9.如图，以点为圆心的扇形AOB中，，，再以点为圆心，为半径作弧，交弧于点，则阴影部分的面积是（ ）
A. B. C. D.
10如图1，点在正方形的边上，且点沿从点运动到点，设，两点间的距离为，，图2是点运动时随变化的关系图象，若图象的最低点的纵坐标为，则最高点的纵坐标的值为（ ）
图1 图2
A.6 B. C. D.
二、填空题（每小题3分，共15分）
11.请写出一个二次根式________，使它满足只含有一个字母，且当时有意义.
12.如图，在中，，，，，则的长为________
13.不等式组的解集为________
14.如图，在中，已知点，，点在第一象限内，，将沿折叠得到，此时点恰好落在轴上，则点的坐标为________
15.如图，在正方形中，，点在边上，，将线段绕点旋转，得到线段，连接，，当∠ABP最大时，的长为________.
三、解答题（本大题共8小题，满分75分）
16.（10分）（1）计算 （2）化简：
17.（9分）某校为了解学生的劳动教育情况，对九年级学生寒假期间“参加家务劳动的时间”进行了抽样调查，并将劳动时间分为如下四组（A：；B：；C：；D：，单位：分钟）进行统计，绘制了如下不完整的统计图
根据以上信息，解答下列问题：
（1）求出本次抽样的学生人数并补全条形统计图；
（2）已知该校九年级有600名学生，请估计该校九年级学生中参加家务劳动的时间在60到100分钟（含60分钟）的学生有多少人？
（3）若D组中有3名女生，其余均是男生，从中随机抽取两名同学交流劳动感受，请用列表法或树状图法，求抽取的两名同学中恰好是一名女生和一名男生的概率.
18.（9分）如图，在中，.
（1）尺规作图：作出经过，，三点的.（不写作法，保留作图痕迹）
（2）连接并延长，交于点，连接，.求证：.
19.（9分）如图，矩形的顶点，分别在轴、轴上，且，反比例函数的图象与边，分别交于点，.连接，.
（1）若，，求反比例函数的表达式.
（2）判断________（填“>”“<”或“＝”）.
（3）小颖说“若是边的中点，则是边的中点”，你认为小颖的说法正确吗？请说明理由.
20.（9分）我们知道当人的视线与物体表面互相垂直时的视觉效果较好.如图，一副展览画悬挂在墙上，展览画的宽，画框的下边缘紧贴在墙上，上边缘与墙壁的距离，为了使观赏者欣赏画作时的视觉效果最佳，视线需落在展览画中心位置处，且与垂直，已知观赏者眼睛与展览画底端在同一水平线上（即），求达到最佳视觉效果时，观赏者与墙壁的距离的长.
21.（10分）中央电视台《为您服务》节目曾播放过骗子骗小学生钱的事件，骗子打着“开发智力的速算法”招牌对学生进行口算演示：
学生觉得这种计算方法真简单，比用计算器、还要算的快.这时骗子开始推销一种《速算法》的小册子，高喊：“要得发不离八，每本二十一块八.”小学生纷纷购买，其中一位小学生向他的邻居、七年级学生小刚宣传他得到的速算法，小刚告诉他这种方法只适合两个两位数乘法，并没有宣传的那么神通广大.
（1）请你再举出两个类似上述运算式子的例子，并总结这些式子中左边两个两位数的特征.你知道小学生向小刚宣传他得到的速算法有怎样一种简便计算的规律？用自己的话叙述出来.
（2）初中学习了“字母表示数”，你能用字母表示数的方法，写出宜传的这种速算法？
22.（9分）甲、乙两名同学打羽毛球比赛.假设羽毛球的飞行路线可以看作是抛物线的一部分.如图，建立平面直角坐标系，羽毛球从点的正上方发出，飞行过程中羽毛球的竖直高度（单位：m）与点的水平距离（单位：m）之间近似满足函数关系.
比赛中，甲同学发球时，羽毛球的水平距离与竖直高度的五组对应数据如下：
水平距离x/m 0 3 6 9 12
竖直高度y/m 0.8 3.05 3.8 3.05 0.8
根据以上数据，回答下列问题：
（1）求出竖直高度与水平距离之间满足的函数关系；
（2）若乙同学原地起跳能使球拍达到最大高度为2.3m刚好能接住羽毛球，那他想保证这次能接到甲同学的球（两人之间的水平距离得保持在5m以上），离甲同学最近的水平距离是多少.（，结果保留整数）
23.（10分）综合与实践
【问题情境】
某数学兴趣小组开展数学活动，探索绳子垂下时形状的变化.如图1是一个伸缩扣，通过它可自由调节绳子的长度.如图2是一个单杠的示意图，，，单杠的高度，单杠的长为20dm，将一条带有伸缩扣的绳子两端系于单杠上的点，处，，绳子自然下垂时近似成抛物线形，此时绳子的最低点到地面的距离为20.5dm，抛物线记为.兴趣小组以点为原点建立如图3所示的平面直角坐标系.
图1 图2 图3
（1）求抛物线的函数表达式.
（2）小明站在单杠下竖直向上伸手，手到地面的距离为，此时刚好接触到绳子，求小明到立柱的距离.
【拓展探究】
兴趣小组将绳子两端，分别向，滑动，每次滑动距离均为，直至绳子两端分别到达点，处停止，滑动过程中通过调节绳子的长度保持抛物线的形状一致，依次得到抛物线，，……
（3）当滑动第次时，绳子的最低点与单杠的距离是多少？用含的代数式表示.
（4）兴趣小组探究，，之间的特殊位置关系时，发现直线与，，三条抛物线组成的图形只有三个交点，直接写出的值.
一、选择题
1.答案：B 解析：，，，，比较可得，所以绝对值最小的是0.
2.答案：D 解析：正方体的展开图中，相对面的特点是之间一定相隔一个正方形，所以与“化”所在面相对的面上的汉字是“遗”.
3.答案：C 解析：1亿，139亿.
4.答案：C 解析：过点作，因为，所以.又因为，所以，，则.
5.答案：B 解析：选项A：，所以A错误.选项B：，所以B正确.*选项C：，所以C错误.选项D：，所以D错误.
6.答案：D 解析：将化为一般式为，即.因为方程有两个相等的实数根，所以，即，.当时，；当时，，所以的值为0或4.
7.答案：B 解析：两次对折后两组对角都能分别对齐，说明四边形的对角线互相垂直且平分，所以这个四边形一定是菱形.
8.答案：D 解析：由题意可知，鸟巢共有个.
9.答案：D 解析：连接，，因为，所以是等边三角形，.扇形的面积为，扇形的面积为，的面积为，则阴影部分的面积为.
10.答案：C 解析：作点关于的对称点，连接，，则，.当，，三点共线时，的值最小，即.设正方形的边长为，则，，.在中，根据勾股定理可得，解得（舍去）.当与重合时，；当与重合时，，所以最高点的纵坐标的值为.
二、填空题
11.答案：（答案不唯一） 解析：要使二次根式只含有一个字母，且当时有意义，那么被开方数为即可，所以二次根式可以是.
12.答案：4 解析：因为，，所以四边形是平行四边形，.又因为，所以.因为，所以.因为，，所以，即，解得，则.
13.答案 解析：解不等式，移项得，即，解得；解不等式，两边同时乘以2得，移项得，即.所以不等式组的解集为.
14.答案 解析：设，因为，，所以.因为沿折叠得到，所以，，则，即.设，因为，所以，又因为，所以，联立方程组，解得，所以点的坐标为.
15.答案：
三、解答题
16.（1）答案：1 解析：原式.
（2）答案： 解析：.
17.（1）答案：本次抽样的学生人数为50人；补全条形统计图略.
解析：由扇形统计图可知组占，组人数为5人，所以本次抽样的学生人数为人.组人数为人，据此可补全条形统计图.
（2）答案：该校九年级学生中参加家务劳动的时间在60到100分钟（含60分钟）的学生约有360人.
解析：参加家务劳动的时间在60到100分钟（含60分钟）的学生所占的百分比为，所以该校九年级600名学生中参加家务劳动的时间在60到100分钟（含60分钟）
的学生约有人.
（3）答案：抽取的两名同学中恰好是一名女生和一名男生的概率为.
18.（1）答案：略 解析：作，的垂直平分线，交点即为圆心，以为圆心，为半径作圆，即为经过，，三点的.
（2）答案：略 解析：因为是的直径，所以.又因为，所以.在和中，，（同弧所对的圆周角相等），，所以.
19.（1）答案： 解析：因为，，，所以，，则.把代入得，所以反比例函数的表达式为.
（2）答案：＝ 解析：设，，因为点，都在反比例函数上，所以，，则.
（3）答案：小颖的说法正确. 解析：设，因为是边的中点，所以.把代入得，则反比例函数的表达式为.当时，，所以是边的中点.
20.答案：观赏者与墙壁的距离的长为.
解析：因为视线需落在展览画中心位置处，且与垂直，，所以.又因为，，所以，则，即，解得.
21.（1）答案：例子，；特征：两个两位数的十位数字相同，个位数字之和为10；规律：十位数字乘以比它大1的数作为积的前两位，两个个位数字相乘的积作为积的后两位.
解析：通过观察所给式子可总结出上述规律.
（2）答案：设这两个两位数分别为和（为十位数字，），则.
解析：.
22.（1）答案 解析：把，，代入得，解方程组得，所以.
（2）答案：离甲同学最近的水平距离是.
解析：当时，，即，解得.因为两人之间的水平距离得保持在以上，（舍去），，所以离甲同学最近的水平距离是7m.
23.（1）答案
解析：由题意可知抛物线的顶点坐标为，设抛物线的函数表达式为.把代入得，解得，所以抛物线的函数表达式为.
（2）答案：小明到立柱的距离为或.
解析：当时，，即，解得，所以小明到立柱的距离为或.
（3）答案 解析：每次滑动距离均为1dm，则顶点的横坐标为，设此时抛物线的函数表达式为.把代入得，解得，所以绳子的最低点与单杠的距离是.
（4）答案 解析：因为直线与，，三条抛物线组成的图形只有三个交点，而三条抛物线的顶点纵坐标都为20.5，所以.

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