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2024学年第二学期上大附中诊断测试
高一年级数学试卷
试卷满分100分，答题时间：90分钟
一、填空题（前6题每题3分，后6题每题4分，共42分）
1. 已知复数，则的虚部是________.
2. 不等式的解集为________.
3. 已知，，若，则________.
4. 若锐角，，则__________.
5. 已知正方体，则异面直线与所成角的余弦值为_________．
6. 已知分别为三个内角的对边，且，则________.
7. 若，则使在R上的解集为空集，常数a的取值范围为__________.
8. 已知、的夹角为，设，则在上的数量投影为___．
9. 已知幂函数的图象过点，若，则的取值范围是_____________.
10. 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”.类比赵爽弦图，由3个全等小三角形拼成如图所示的等边，若的边长为﹐且，则的面积为___________.
11. 在中，角所对的边分别为，如果对任意的实数，恒成立，则的取值范围是______
12. 已知函数若在区间D上的最大值存在，记该最大值为，则满足等式的实数a的取值集合是___________.
二、选择题（每题3分，共12分）
13. 已知集合，，则“”是“”的（ ）
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
14. 以下四个命题中，正确命题的个数是（ ）
①不共面四点中，其中任意三点不共线
②若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则点A、B、C、D、E共面
③若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面
④依次首尾相接的四条线段必共面.
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个．
15. 如图，四边形是正方形，延长至，使得.若动点从点出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到点，其中，下列判断正确的是（ ）
A. 满足的点必为的中点.
B. 满足的点有且只有一个.
C. 的最大值为3.
D. 的最小值不存在.
16. 已知,若,则一定有（ ）
A. B. C. D.
三、解答题（第17题6分，第18题8分，第19题10分，第20题10分，第21题12分，共46分）
17. 已知复数是实系数一元二次方程的一个根.
（1）求和的值；
（2）若，，为纯虚数，求的值.
18. 如图，在正方体中，、分别为、的中点.
（1）证明：平面；
（2）求与平面所成角的大小.
19. 设与均为单位向量.
（1）若，求向量与夹角；
（2）若与的夹角为，设（其中），若，求的最大值.
20. 已知函数为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为.
（1）求的解析式与单调递减区间；
（2）已知在时，求方程的所有根的和.
21. 定义：对于函数，若存在非零常数、，使对于定义域内任意实数都有，则称函数是广义周期函数，其中称为广义周期，为周距.
（1）证明函数是以2为广义周期的广义周期函数，并求出函数周距的值；
（2）试判断函数（、、、为常数，，，）是否为广义周期函数，若是，请求出广义周期和周距，若不是，请说明理由；
（3）设函数是周期周期函数，当函数在上的值域为时，求在上的最大值和最小值.
2024学年第二学期上大附中诊断测试
高一年级数学试卷
试卷满分100分，答题时间：90分钟
一、填空题（前6题每题3分，后6题每题4分，共42分）
【1题答案】
【答案】
【2题答案】
【答案】
【3题答案】
【答案】##
【4题答案】
【答案】
【5题答案】
【答案】##
【6题答案】
【答案】
【7题答案】
【答案】
【8题答案】
【答案】##1.5
【9题答案】
【答案】
【10题答案】
【答案】
【11题答案】
【答案】
【12题答案】
【答案】
二、选择题（每题3分，共12分）
【13题答案】
【答案】B
【14题答案】
【答案】A
【15题答案】
【答案】C
【16题答案】
【答案】A
三、解答题（第17题6分，第18题8分，第19题10分，第20题10分，第21题12分，共46分）
【17题答案】
【答案】（1）；
（2）4.
【18题答案】
【答案】（1）证明见解析；
（2）
【19题答案】
【答案】（1）
（2）
【20题答案】
【答案】（1）， ，
（2）
【21题答案】
【答案】（1）证明见解析；
（2）是；
（3）最大值为；最小值为

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