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2025年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题（三）
数学
本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则真子集的个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2. 命题：“，”的否定是（ ）
A. ， B. ，
C ， D. ，
3. 已知，且，则（ ）
A. B.
C. D.
4. 记为等比数列的前项和，若，则（ ）
A. 81 B. 71 C. 61 D. 51
5. 建设“书香校园”成为越来越多学校的办学追求.在对某高中1000名高一年级学生的图书馆借阅量的调查中，已知这1000名高一年级学生中男生有600人，采用分层随机抽样的方法抽取100人，抽取的样本中男生借阅量的平均数和方差分别为5和6，女生借阅量的平均数和方差分别为10和6，则估计该校学生借阅量的总体方差是（ ）
A. 7 B. 8 C. 12 D. 13
6. 已知(其中)的展开式中的第7项为7，则展开式中的有理项的系数和为（ ）
A. 43 B. C. 27 D.
7. 小明在某不透明的盒子中放入4红4黑八个球，随机摇晃后，小明从中取出一个小球丢掉（未看被丢掉小球的颜色）.现从剩下7个小球中取出两个小球，结果都是红球，则丢掉的小球也是红球的概率为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知，函数，若，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知为虚数单位，以下选项正确的是（ ）
A. 若复数满足，则的虚部为
B.
C. 若复数，，满足，则
D. 若复数满足，则最大值为6
10. 若双曲线：的左，右焦点分别为，，过C的右支上一点P作圆的切线，切点为A，B，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则的面积为8
B. 若Q为圆上的一动点，则的最小值为3
C. 的最小值为
D. 四边形面积的最小值为
11. 在棱长为2正方体中，为中点，是侧面内的一点（包含边界），则以下结论正确的是（ ）
A. 若，则点的轨迹长度为
B. 与所成角的最大值为
C. 若三棱锥的体积为，则点的轨迹长度为
D. 若在线段上，则三棱锥的外接球表面积的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 如图为函数的图象的一段，则_______.
13. 已知抛物线：的焦点为，过点作斜率为的直线在第一象限与交于、两点，且为的平分线，则的值为_________.
14. 设函数的零点为，若表示不超过的最大整数，则称为函数的“和谐整点”.现已知函数的“和谐整点”为，若，为的前项和，则_______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知等差数列的首项，等比数列的公比，且，.
（1）求数列和数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
16. 已知函数．
（1）若曲线在点处的切线的斜率为，求a的值；
（2）讨论的零点个数．
17. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，平面平面，，，，点E，F分别为棱PD，BC的中点，点G在线段AF上．
（1）证明：平面；
（2）求点到平面的距离；
（3）设直线与平面，平面，平面所成的角分别为，，，求的最大值．
18. 已知椭圆：，左右焦点分别为，，上下顶点分别为A，B，左右顶点分别为C，D，又P，Q是上异于椭圆顶点的两点.
（1）若点Q在第一象限且满足面积比的面积大，求点Q的横坐标的取值范围；
（2）若线段的中点坐标为，求直线的方程；
（3）记点A在直线上的射影为点H，且直线的斜率是直线的斜率的3倍，试判断：过点A、H、O（为坐标原点）三点的圆是否为定圆 若是，求出该圆的方程；若不是，请说明理由.
19. 已知甲、乙两人进行乒乓球比赛，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，每局比赛的结果互不影响．规定：净胜局指的是一方比另一方多胜局．
（1）如果约定先净胜两局者获胜，求恰好4局结束比赛的概率；
（2）如果约定先净胜三局者获胜，那么在比赛过程中，甲可能净胜局．设甲在净胜局时，继续比赛甲获胜的概率为，比赛结束（甲、乙有一方先净胜三局）时需进行的局数为，期望为．
①求甲获胜的概率；
②求．
2025年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题（三）
数学
本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
【1题答案】
【答案】C
【2题答案】
【答案】C
【3题答案】
【答案】D
【4题答案】
【答案】C
【5题答案】
【答案】C
【6题答案】
【答案】D
【7题答案】
【答案】B
【8题答案】
【答案】C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
【9题答案】
【答案】ABD
【10题答案】
【答案】ABD
【11题答案】
【答案】ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
【12题答案】
【答案】
【13题答案】
【答案】
【14题答案】
【答案】507
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
【15题答案】
【答案】（1），
（2）
【16题答案】
【答案】（1）
（2）答案见解析
【17题答案】
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【18题答案】
【答案】（1）
（2）
（3）定圆，
【19题答案】
【答案】（1）
（2）①；②．

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