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华东师大版数学七年级下册
第6章 一次方程组
汇报人：孙老师
汇报班级：X级X班
6.3 三元一次方程组及其解法
目录
壹
学习目标
贰
新课导入
叁
新知探究
肆
随堂练习
伍
课堂小结
第壹章节
学习目标
学习目标
1.理解三元一次方程组的概念．
2.能解简单的三元一次方程组．
第贰章节
新课导入
新课导入
1. 解二元一次方程组有哪几种方法？
消元法
代入消元法
加减消元法
2. 解二元一次方程组的基本思路是什么？
二元一次方程组
一元一次方程
代入
加减
问题 1 暑假里，某地组织了“我们的小世界杯”足球邀请赛. 比赛规定：胜一场得 3 分，平一场得 1 分，负一场得 0 分. 勇士队在第一轮中赛了 9 场，负了 2 场，共得 17 分. 那么这个队胜了几场？平了几场呢？
x + y = 7，
3x + y = 17.
x = 5，
y = 2.
在第二轮比赛中，勇士队参加了 10 场比赛，按同样的计分规则，共得 18 分. 已知勇士队在比赛中胜的场数正好等于平与负的场数之和，那么勇士队在第二轮比赛中胜、平、负的场数各是多少？
胜了 10 ÷ 2 = 5（场）
方法一
平了 18 － 5×3 = 3（场）
负了 10－5－3 = 2（场）
胜一场：3 分
平一场：1 分
负一场：0 分
方法二
设胜了 x 场，平了 y 场，则负了（x － y）场.
依题意，得
x + y +（x － y）= 10，
3x + y = 18.
解得
x = 5，
y = 3.
所以胜了 5 场，平了 3 场，负了 2 场.
如果设勇士队在第二轮比赛中胜、平、负的场数分别为 x、y、z，又将怎样呢？
在第二轮比赛中，勇士队参加了 10 场比赛，按同样的计分规则，共得 18 分. 已知勇士队在比赛中胜的场数正好等于平与负的场数之和，那么勇士队在第二轮比赛中胜、平、负的场数各是多少？
第叁章节
新知探究
新知探究
在 6.1 节中，我们应用二元一次方程组，求出了勇士队“我们的小世界杯”足球赛第一轮比赛中胜与负的场数。
在第二轮比赛中，勇士队参加了 10 场比赛，按同样的记分规则，共得 18 分.已知勇士队在比赛中胜的场数正好等于平与负的场数之和，那么勇士队在第二轮比赛中胜、平、负的场数各是多少？
三元一次方程组的概念
1
这个问题可以用多种方法（算术法、列一元一次方程或二元一次方程组）来解决.
小明同学提出了一个新的思路：问题中有三个未知数，如果设这个队在第二轮比赛中胜，平，负的场数分别为 x，y，z 又将怎样呢？
分别将已知条件直接“翻译”，列出方程，并将它们写成方程组的形式，得
这个方程组和前面学过的二元一次方程组有什么区别和联系？
在这个方程组中，x+y+z=10 和 x=y+z 都含有三个未知数，并且所含未知数的项的次数都是 1，像这样的方程叫做三元一次方程.
像这样，共含有三个未知数的三个一次方程所组成的一组方程，叫做三元一次方程组.
归纳总结
三元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个三元一次方程组的解.
怎样解三元一次方程组呢？
能不能像以前一样“消元”，把“三元”化成“二元”呢？
三元一次方程组的解
2
解方程组
解：将 ③ 分别代入 ①② 得
2y+2z = 10， ④
4y+3z = 18. ⑤
解由 ④⑤ 组成的二元一次方程组，得
y = 3， z = 2.
把 y = 3，z = 2 代入 ③，得 x = 5.
所以原方程组的解是
x=5,
y=3,
z=2.
例 1 解方程组：
2x – 3y + 4z = 3， ①
3x – 2y + z = 7. ②
x + 2y – 3z = 1. ③
解 由方程②，得 z = 7 – 3x + 2y . ④
将④分别代入①和③，得
– 2x + y = – 5，
5x – 2y = 11.
典例精析
解这个二元一次方程组，得
x = 1，
y = – 3.
代入④，得 z = – 2 .
所以原方程组的解是
x = 1，
y = – 3 ，
z = – 2 .
解方程组：
解：由方程 ②，得 x = y + 1， ④
x + y + z = 23， ①
x – y = 1， ②
2x + y – z = 20. ③
把 ④ 分别代入 ①③ ，得
2y+z+1 = 23， ⑤
3y+2-z = 20， ⑥
解由 ⑤⑥ 组成的二元一次方程组，得
y = 8，
z = 6.
把 y = 8 代入 ④，得 x = 9.
x=9,
y=8,
z=6.
所以原方程组的解是
练一练
例2 解方程组：
解：③－②， 得 3x+6z = －24，
即 x+2z =－8. ④
①×3+②×4，得
17x－17z = 17,
即 x-z = 1. ⑤
联合 ④⑤ 组成二元一次方程组，得
x+2z=－8,
x-z=1.
3x + 4y – 3z = 3， ①
2x – 3y – 2z = 2. ②
5x – 3y + 4z = –22. ③
典例精析
解得
x =－2，
z =－3.
将 x =－2，z =－3 代入方程 ②，得 y = 0.
所以原方程组的解是
x =－2,
y = 0,
z = －3.
解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”进行 ，把 转为 ，使解三元一次方程组转化为解 ，进而再转化为解 .
三元一次方程组
二元一次方程组
一元一次方程
消元
消元
消元
“三元”
“二元”
二元一次方程组
一元一次方程
归纳总结
第肆章节
随堂练习
随堂练习
所以原方程组的解是
1. 解下列方程组：
x + y － z = 2， ①
4x－2y + 3z + 8 = 0， ②
x + 3y－2z －6 = 0. ③
（1）
x = － ，
y = ，
z = －1 .
1
2
3
2
（2）
x 3
y 2
=
y 4
z 5
=
x + y + z = 60
③
②
①
解 ①×6 ，得 2x = 3y.
②×20 ，得 5y = 4z.
x = y
3
2
z = y
5
4
把 x = y，z = y 代入方程③，得 y = 16 .
32
5
4
（2）
x 3
y 2
=
y 4
z 5
=
x + y + z = 60
③
②
①
x = ×16 = 24
3
2
z = ×16 = 20
5
4
所以原方程组的解是
x = 24，
y = 16，
z = 20 .
2. 已知 y = ax2 + bx + c. 当 x =－2 时，y = 9；当 x = 0 时，y = 3；当 x = 2 时，y = 5. 求 a、b、c 的值.
解 当 x = －2 时，4a－2b + c = 9
当 x = 0 时，c = 3
当 x = 2 时，4a + 2b + c = 5
4a－2b = 6
4a + 2b = 2
a = 1
b = －1
解得
所以 a = 1，b = －1，c = 3.
第伍章节
课堂小结
课堂小结
三元一次
方程组
代入法
加减法
满足的条件
三个整式方程
含有三个未知数
含未知数的项的次数都是1
解法
消元
二元一次方程组
一元一次方程
华东师大版数学七年级下册
汇报人：孙老师
汇报班级：X级X班
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