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2024-2025学年临沧地区中学
高二（下）期中数学试卷
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.我国新能源汽车产销量连续年居世界首位某客户欲购买一辆新能源汽车，已知品牌有种不同型号的汽车，品牌有种不同型号的汽车，品牌有种不同型号的汽车可供选择，则该客户不同的选择种数为( )
A. B. C. D.
2.已知函数，则( )
A. B. C. D.
3.已知某圆锥的轴截面是正三角形，从该圆锥高的一半处作平行于底面的平面截圆锥得一个小圆锥和一个小圆台，则该小圆台与原圆锥的表面积之比为( )
A. ： B. ： C. ： D. ：
4.中国体育代表团在年巴黎奥运会获得金银铜共枚奖牌，金牌数与美国队并列排名第一、创造了参加境外奥运会的最佳战绩巴黎奥运会中国内地奥运健儿代表团于月日至月日访问香港、澳门访问期间，甲、乙、丙名代表团团员与名青少年站成一排拍照留念，若甲、乙、丙互不相邻，则不同的排法有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
5.若函数存在零点，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
6.已知函数存在单调递增区间，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
7.已知正实数，满足，则( )
A. B. C. D.
8.数学上用“”表示连乘运算，例如：设函数，记，，则使成立的的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列结论正确的是( )
A. 为正整数且
B. 满足方程的值可能为或
C. 甲、乙、丙等人排成一列，若甲与丙不相邻，则共有种排法
D. 从男女中选人参加比赛，若人中必须有男有女，则共有种选法
10.已知，则( )
A. B.
C. D.
11.已知函数，为的导函数，则下列说法正确的是( )
A. 当时，若，则的取值范围为
B. 若是的一条切线，则实数的值有且只有个
C. 当时，的图象关于点对称
D. 当时，有个零点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某班组织一次认识大自然的活动，有名同学参加，其中有名男生，名女生，现要从这名同学中随机抽取名同学去采集自然标本，则抽取的名同学中既有男生又有女生的抽取方法共有______种
13.已知上可导函数的图象如图所示，则不等式的解集______．
14.中国南北朝时期的著作孙子算经中，对同余除法有较深的研究设，，为整数，若和被除得的余数相同，则称和对模同余，记为若，，则的值可以是______．
四、解答题：本题共5小题。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知的展开式的第项与第项的二项式系数之比是：．
求的值；
展开式中的整式项共有几项？
展开式中系数最大的项和最小的项分别是第几项？
16.本小题分
已知函数，．
讨论函数的单调性；
若恒成立，求的取值范围．
17.本小题分
已知等差数列满足，．
Ⅰ求数列的通项公式；
Ⅱ求数列的前项和的最大值；
Ⅲ若等比数列满足，，问：是否存在最大值与最小值？说明理由．
18.本小题分
已知椭圆的离心率为，且过点．
求椭圆的标准方程．
若，分别为椭圆的上、下顶点，直线与椭圆相交于，两点，且．
证明：直线过定点．
过点作的垂线，垂足为，求面积的最大值．
19.本小题分
如果数列满足：且，则称数列为“阶万物数列”．
若某“阶万物数列”是等比数列，求该数列的各项；
若某“阶万物数列”是等差数列，求该数列的通项公式；
若为“阶万物数列”，求证：．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：品牌有种不同型号的汽车，品牌有种不同型号的汽车，品牌有种不同型号的汽车可供选择，
则客户不同的选择种数为．
故选：．
2.【答案】
【解析】解：因为函数，
所以，
令，得，
解得．
故选：．
3.【答案】
【解析】解：如图：
根据题意，可得，
由于圆锥的轴截面为正三角形，设圆锥底面半径为，
则其母线，结合，
若圆锥底面半径为，则其母线，
故圆锥的表面积，
圆台的表面积，
故圆台与圆锥的表面积之比为．
故选：．
4.【答案】
【解析】解：甲、乙、丙名代表团团员与名青少年站成一排拍照留念，若甲、乙、丙互不相邻，不同的排法需要分两步进行，
第一步先排名青少年共有种排法，第二步把甲、乙、丙插在名青少年中间有种排法，
所以根据分步乘法计数原理共有种排法，
故选：．
先排名青少年产生个空位，再把甲、乙、丙插在个空位即可．
本题考查排列组合的实际应用，是基础题．
5.【答案】
【解析】解：由题意得，令，则，
令，
因为函数，均在上单调递增，所以在上单调递增，
所以由，得，即，
令，，则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以，当时，，
所以，解得，即的取值范围为
故选：．
6.【答案】
【解析】解：易知函数的定义域为，那么求导可得导函数，
可知不等式在上有解，因此不等式在上有解，
那么，，所以．
故选：．
对函数求导，根据有单调递增区间，转化为不等式能成立即可求得结果．
7.【答案】
【解析】解：由可得，
由得，
设，，则，，
因此，分别是，与直线的交点的横坐标，
由于，互为反函数，图象关于直线对称，
联立，可得，因此，
故，结合，所以，
所以．
故选：．
8.【答案】
【解析】解：，
，
，
，即，解得或，
又，所以使成立的的最小值为．
故选：．
9.【答案】
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，，A正确；
对于，时，方程不成立，B错误，
对于，甲、乙、丙等人排成一列，若甲与丙不相邻，
先排好除甲乙之外的三人，再将甲乙安排在空位中即可，有种排法，C错误；
对于，从男女中选人参加比赛，若人中必须有男有女，先计算全部的排法数目，排除只有男生和只有女生的数目即可，
有种选法，D正确．
故选：．
10.【答案】
【解析】解：，
对于选项，令，得，故A正确；
对于选项，令，得，故B错误；
对于选项，令，得，故C错误；
对于选项，将，两式相加，
得，即，故D正确．
故选：．
11.【答案】
【解析】解：对于：当时，函数，导函数．
根据，可得，即，
要使得不等式恒成立，那么根的判别式，解得，因此选项A正确；
对于：导函数，由于是函数的一条切线，
因此有解，又由于根的判别式，
因此方程有两个不相等的实根，此时满足条件的的值有无数个，所以选项B错误；
对于：当时，函数，
，
因此当时，函数的图象关于点对称，因此选项C正确；
对于：导函数．
当时，根据，得或，此时函数单调递增；
根据，得，此时函数单调递减，
，，
因为当时，，所以单调递减，即，
又，，所以有个零点，故D正确．
故选：．
12.【答案】
【解析】解：有名同学参加，其中有名男生，名女生，现要从这名同学中随机抽取名同学去采集自然标本，
抽取的名同学中既有男生又有女生包含种情况：名男生，名女生；名男生，名女生．
所以满足要求的抽取方法共有种．
故答案为：．
13.【答案】
【解析】解：由的图象可知：当或时，函数单调递增，；当时，函数单调递减，．
不等式可化为或
化为或，
解得或．
不等式的解集是．
故答案为．
由的图象可知：当或时，函数单调递增，；当时，函数单调递减，．
不等式可化为或解出即可．
熟练掌握函数的单调性与当时的关系、不等式的解法、数形结合的思想方法是解题的关键．
14.【答案】答案不唯一
【解析】解：由题意，
因为一定能被整除，则整除的余数为，
所以整除的余数为，
而与整除的余数都为，则可以为答案不唯一
故答案为：答案不唯一
15.【答案】；
项；
展开式中系数最大的项为第项，系数最小的项为第项．
【解析】的展开式的第项与第项的二项式系数之比是：，
，
整理得，解得或舍，
；
设展开式的通项为，
则，，，，，．
当，，，，时，为整式项，故展开式中的整式项共有项；
设第项的系数最大，则，解得，又，
，即展开式中系数最大的项为第项；
又展开式中系数最小的项为最后一项，即第项，其系数为．
16.【答案】当时，在上单调递减，当时，在上单调递增，在上单调递减．
．
【解析】导函数，
当时，导函数，在上单调递减；
当时，根据，得，根据，得，
因此在上单调递增，在上单调递减，
综上所述，当时，在上单调递减，当时，在上单调递增，在上单调递减．
恒成立等价于，所以．
令函数，当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以，即．
所以的取值范围为．
17.【答案】Ⅰ；Ⅱ；Ⅲ存在最大值与最小值．
【解析】解：Ⅰ等差数列满足，，
设公差为，则，，
解得，，
即有；
Ⅱ数列的前项和，
可得时，取得最大值；
Ⅲ若等比数列满足，，设公比为，
可得，，即有，
，
当为奇数时，，且递增，可得最小；
当为偶数时，，且递减，可得最大，
则存在最大值与最小值．
18.【答案】；
证明过程见解析；
．
【解析】设椭圆的焦距为，
因为椭圆的离心率为，
所以，
解得，
又，
所以，
此时椭圆的方程为．
因为椭圆过点，
所以，
解得，
则，，
故椭圆的标准方程为；
证明：当直线的斜率不存在时，
易知为锐角，不合题意，
所以直线的斜率存在，
设直线的方程为，，，
联立，消去并整理得，
由韦达定理得，
易知，
因为，
所以，
可得，
即，
化简得，
因为，
所以，
又，
解得，
所以直线的方程为，
此时直线过定点，且，
所以在椭圆内，
满足直线与椭圆有两个交点；
易知，
设，
因为，
所以，
此时点的轨迹是以为直径的圆点除外，
所以点到的距离的最大值为圆的半径，
即．
则面积的最大值为．
19.【答案】，，，，或，，，．
或．
证明见解答．
【解析】解：设等比数列的公比为，显然．
由，可得，解得．
由，可得，所以，
所以“阶万物数列”为，，，，或者是，，，．
设等差数列的公差为，
由，可得，即，即．
当时，，此时，不是“阶万物数列”．
当时，由和，可得，解得，，
所以．
当时，由和，可得，解得，，
所以
综上所述，或．
证明：由已知可知，必有，也必有，其中，，且．
设，，，是数列中所有大于的数，，，，是数列中所有小于的数，
由已知可得，，
所以
．

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