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湘阴县2024-2025学年下学期长仑四校5月联考
八年级 数学
时间：90分钟 满分：100分
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
赵爽弦图 笛卡尔心形线 科克曲线 阿基米德曲线
2．下列属于一元二次方程的是（　　）
A．x2﹣2x+y＝0 B． C．x2+8x＝0 D．ax2+bx+c＝0
3. 如果，那么下列不等式中一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
4.如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E．若AB＝4cm，AD＝6cm，则EC长为（　　）
A．3cm B．2.5cm C．2cm D．1.5cm
5.下列等式从左到右变形中，属于因式分解的是（ ）
A B.
C. D.
6. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A. B.
C. D.
7.函数与函数y＝kx﹣k在同一坐标系中的图象可能是（　　）
A．B． C．D．
8.如图，在平行四边形中，的平分线和的平分线交于上一点，若，则的长为（ ）
A．5 B．
C． D．2.5
9.如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，D是AB上一个动点，过点D分别作DE⊥AC于点E，DF⊥CB于点F，连接EF，则线段EF的最小值是（　　）
A．5 B．2.5
C．2.4 D．4.8
10.如图，，矩形的顶点，分别在边，上，当在上运动时，点随之在上运动，矩形的形状保持不变，其中，，运动过程中，点到点的最大距离是（ ）
A．24
B．25
C．
D．26
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．已知函数是正比例函数，那么的值是 ．
12．若一个直角三角形的两直角边长分别为和，则其斜边上的中线长为 ．
13．已知实数满足，则的值 ．
14．如图，在菱形中，对角线分别为48和20，于点E，则 ．
15．如图，菱形中，，，，点P为对角线上的一个动点，则的最小值为 ．
16．如图，在中，点、分别是边、的中点，连接、，点、分别是、的中点，连接，若，，，则的长度为 ．
三、解答题。（共72分）
17.（6分）先化简，再求值：，其中．
18.（8分）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，有一条以格点（网格线的交点）为端点的线段．
(1)线段的长为_______；（3分）
(2)请以线段为边在下图中作一个面积为26的矩形，要求点C，D均在格点上．（5分）
19．（6分）如图，有人在岸上点C的地方用绳子拉船靠岸，开始时，绳长，，CA=12m，拉动绳子将船从点B沿的方向拉到点D后，绳长，求船体移动的距离BD的长度．
20．（8分）如图，在中，，，为延长线上一点，点在上，且．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
21.（9分）某实验学校为了解九年级学生的身体素质测试情况，随机抽取了该校九年级部分学生的身体素质测试成绩作为样本，按 (优秀)， (良好)， (合格)， (不合格)四个等级进行统计，并将统计结果绘制了下面两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下列问题：
(1)此次共调查了多少名学生？
(2)将条形统计图补充完整，并计算扇形统计图中“”部分所对应的圆心角的度数为________。
(3)我校九年级共有名学生参加了身体素质测试，估计测试成绩在良好以上(含良好)的人数．
22.（12分）已知函数．
（1）当时，利用描点，连线的方法在直角坐标系中画出该函数的图象；（5分）
（2）当时，函数随着的增大而减小，求的取值范围；（2分）
（3）已知该函数经过点，，，且，求的取值范围．（5分）
23.（10分）【阅读材料】我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：
当，时：
∵，
∴．
∴，当且仅当时取等号，即当时，有最小值为．
【学以致用】根据上面材料回答下列问题：
（1）______（用>或<填空）；式子的最小值为______；
（2）求分式的最小值
（3）应用：小明同学要做一个面积为1250平方厘米，对角线互相垂直的四边形风筝（如图所示），则用来做对角线（，）的竹条至少要多长？
24．（13分）【发现结论】
（1）如图1，中，，．点O既是斜边上的中点，又是的直角顶点，绕点O转动的过程中，交于点M，交于点N，连接，．以下结论正确的有______（多选）
①；②；③
【类比迁移】
（2）如图2，正方形的对角线交于点O，点O又是正方形的一个顶点，正方形绕点O转动的过程中，交于点M，交于点N，连接．
①（1）中结论依然成立的是______（填序号）
②在证明以上结论成立的过程中，你还发现了哪些结论？（至少写出三条，正方形的性质
除外）
【类比迁移】
（3）如图3，矩形的对角线交于点O，点O又是矩形的一个顶点，矩形绕点O转动的过程中，交于点M，交于点N，连接．是否成立？若成立，请证明结论；若不成立，请说明理由．
答案
一、选择题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
C C B C D C A B D B
二、填空题
11. 12. 5 13. 401 14. / 15. 16.
17.解：原式=
=
=，
当x=-1时，原式==-22．
18.（1）解：由勾股定理可得，，
故答案为：；
（2）取格点，，连接，，，由勾股定理可得：，
，
∴四边形是平行四边形，
连接，由勾股定理可知，，
则，
∴。
∴四边形是矩形，
则矩形的面积为，
如图所示，矩形即为所求．
19．解；在中，，，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴船体移动的距离的长度为．
20．（1）证明：∵，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
，
，
．
（2）解：∵，，
∴，
又∵，
由（1）知：，
∴，
∴．
21.解：(1)此次共调查学生数： (人)
答：此次共调查了名学生；
(2)合格的人数有： (人)，补全条形图如图：
等级对应扇形圆心角度数为：；
(3)估计测试成绩在良好以上(含良好)的人数为：
(人)
答：估计测试成绩在良好以上(含良好)的约有人.
22.解：（1）当时，
列表如下，
-3 -2 -1 0 1
3 2 1 2 3
（2）根据函数图像可得，当时，函数随着的增大而减小，的取值范围为；
（3）由（2）可得，函数的图像，关于对称，
当时，，得
当时，，得
当时，不符合要求
∴或
23.解：（1）根据题意可得；
，
故式子的最小值为，
故答案为：；；
（2），
∴的最小值为6；
（2）四边形的面积；
∴，
∴，
答：用来做对角线的竹条至少要100厘米长．
24.解：（1）∵，点是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：①②③；
（2）①∵四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：①②③；
②∵，
∴，
∴，
则还可以发现：；
（3）成立，理由如下：
如图，延长交于，连接，
∵四边形是矩形，
，
，
，
，
又，
，
，
．

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