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2024-2025学年人教版八年级下期末复习专题特训
专题三 勾股定理
01 知识结构
02 重难点突破
重难点1 勾股定理的证明
【例1】．现有4个全等的直角三角形（阴影部分），直角边长分别为，，斜边长为，将它们拼成如图的形状．根据该图，可以用两种不同的方法计算整个图形的面积，通过面积相等来证明勾股定理，请你将下面的证明过程补充完整．
证明：添加辅助线，如图，整个图形的面积有两种表示方法：方法一：以为边的正方形的面积+两个直角三角形的面积，列式后化简，得________；方法二：以和为边的两个小正方形的面积＋两个直角三角形的面积，列式后化简，得________；根据面积相等，得到等式________，化简这个等式，得________，从而证明了勾股定理．
勾股定理的证明是用面积法证明恒等式，通过不同的方式表示同一个图形的面积
变式训练1
1．现有4个全等的直角三角形（阴影部分），直角边长分别为a、b，斜边长为c，将它们拼合为如图的形状．用两种不同的方法计算整个组合图形的面积，可以证明勾股定理，
(1)请将证明过程补充完整：方法一：以c为边的正方形的面积+两个直角三角形的面积，即最后化简为__________；方法二：以a和b为边的两个小正方形的面积+两个直角三角形的面积，即最后化简为__________；根据面积相等，直接得等式__________，化简最后结果是__________．
(2)当时，求空白部分的面积．
2．【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得出结论．这里用两种求法表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．
【方法运用】
千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜．某数学爱好者构造发现了以下证法：把两个全等的直角三角形和直角三角形按如图2所示放置，其三边长分别为，，显然．
①请用分别表示出梯形的面积________，的面积________；并求出四边形的面积（用含c的式子表示，要写过程）
②请利用①中这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理；
【方法迁移】
（1）如图3，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得到，则边上的高为________；
（2）如图4，在中，是边上的高，，，，设，求x的值．
3．美国第任总统伽菲尔德提出了如下的证明勾股定理的方法，由三个直角三角形组成了一个直角梯形，直角三角形的边长如图所示，请你写成证明过程．
4．【阅读材料】我们从生活实际发现，当一个直角三角形的两直角边长确定时，斜边长也就确定了．古代数学就已经发现：在直角三角形中，若两直角边长为，斜边长为，则．这就是著名的“勾股定理”（西方把它称为“毕达哥拉斯定理”）．
【推理验证】如图（2）．它是由1个小正方形和4个完全一样的如图（1）直角三角形（其两直角边长为，斜边长为），不重叠无缝隙拼接成的正方形．我们可以用两种不同途径来求图（2）的大正方形面积来验证“勾股定理”，请写出验证过程；
【应用解题】若直角三角形中，斜边长为3，两直角边长满足，求此时直角三角形的面积；
【拓展提升】请你用图（1）的直角三角形参与构图，使你构造的图形也能验证“勾股定理”，画出你的示意图并写出验证过程．
5．【材料】勾股定理的证明：两个全等的直角三角形按如图①所示的方式摆放，连接，的三边长分别为a，b，c（），四边形的面积可以表示为或，从而推导出．
【探究】（1）淇淇将从图①的位置开始沿向左移动，直到点F与点B重合时停止，如图②所示，与交于点O，下面是淇淇利用图②证明勾股定理的过程．请将淇淇的探究过程补充完整．
证明：连接，．
______；
__________________．
由，可得到______；整理得：______．
【应用】（2）在图②的基础上，若四边形的面积为200，的长为12，求的长．
重难点2 勾股定理及其逆定理
【例2】．一个三角形的三边长分别为 ，，．
(1)求证：三角形是直角三角形；
(2)求这个三角形的面积．
勾股定理的逆定理是证明一个角等于90°的一种思路，只要在一个三角形中三条线段之间满足较小的两条相等的平方和等于最长的线段的平方，这个三角形就是直角三角形。
变式训练2
1．如图，四边形中，，且．求四边形的面积．
2．如图，在中，，，，是的边上的高，且，，求的长．
3．若、、为的三边长，且满足，试判断的形状并说明理由．
4．在创建绿色文明城市的热潮中，某小区积极响应号召，社区管理人员与居民携手合作，对小区临街拐角进行绿化改造，打造了一块别具生机的绿化地（阴影部分）；经测量，这块绿化地边界构成四边形，已知，，，，技术人员通过测量确定了．问这片绿地的面积是多少？
如图1，在正方形中，点E是的中点，点F是边上的一点，且，连接、．
(1)求证：；
(2)如图2，将沿翻折，得到，其中，点G是点A的对应点．
①连接，求证：C、G、F三点在同一条直线上；
②如图3，连接，请直接写出线段与线段的数量关系．
重难点3 勾股定理在实际生活中的应用
【例3】．《九章算术》是我国古代数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架，其中记载的一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，同折者高几何？”其大意是：一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处．折断处离地面的高度是 尺．（其中1丈尺）
方法指导
这类问题就是正确地把实际问题利用图形转化为数学问题，利用勾股定理加以解决。
变式训练3
1．如图，一圆柱高，底面半径是，一只蚂蚁绕着圆柱向上螺旋式爬行，假设蚂蚁绕圆柱外壁从点爬到点，圆周率取近似值3，则蚂蚁爬行路线的最短路径长为 ．
2．如图，在离水面高度为米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为17米，此人以每秒1米的速度收绳．（假设绳子一直是绷直的状态）
(1)若，4秒后，船移动到点的位置，问船向岸边移动了多少米？（结果保留根号）
(2)若7秒后船移动到点的位置，船向岸边移动了9米，求的值．
3．已知某高速路段限速（即）．如图，汽车在车速检测仪A正前方30米的处，过了后到处，测得．请通过计算判断汽车是否超速．
4．如图，《九章算术》中记载：今有立木，系索其末，委地三尺，引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何．译文：现在有一根竖直的木头，绳子系在其顶端．将绳子垂到地面时，绳子还有三尺余在地上．拉着绳子后退，离木头根部八尺时，绳子被拉直用完．问绳子的长度是多少？
5．如图，一架长的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子的底部到墙底端的距离为．
(1)这个梯子的顶端距地面有多高？
(2)梯子的底部在水平方向滑动了至点，求梯子的顶端沿墙垂直下滑了多少米．
重难点4 思想方法
方程思想
【例4-1】．如图，直角三角形中，，，是的上的一点，若将沿折叠，点恰好落在所在直线上点处．
(1)求边的长；
(2)求的长；
(3)在所在直线上找一点，使得以点、、为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出的长．
方程思想在勾股定理与折叠问题中出现，利用折叠的性质得到边、角相等，进而把条件转化到一个直角三角形中，利用勾股定理构建方程，从而求出线段长度。
转化思想
【例4-2】如图，A，B个村在河的同侧，且， A，B两村到河的距离分别为，．现要在河边上建一水厂分别向A，B两村输送自来水，铺设水管的工程费每千米需3000元．请你在河岸上选择水厂位置O，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用W（元）．
方法指导
转化思想在勾股定理中主要体现在把实际问题转化为数学问题，把几何图形问题转化为方程问题等，
数形结合思想
【例4-3】．【综合与实践】
【问题情景】
（1）如图1，点为线段上一动点．分别过点，作，连接，．已知．设，用含的代数式表示的长；
【数学思考】
（2）如图.2．在某河道一侧有，两家工厂，它们到河道的距离，分别是．，两工厂之间的距离是．为了方便工厂用水，需要在河道上建立一个抽水点，且使得抽水点到两家工厂的距离之和最短．求的最小值；
【深入探究】
（3）请结合上述思路，求代数式的最小值．
通过数与形的相互转化，将抽象问题具体化，复杂问题简单化，勾股定理的证明，求最短路径都是体现的数形结合思想。
变式训练4
1．如图，一只小鸟旋停在空中点，点到地面的高度米，点到地面点（，两点处于同一水平面）的距离米．
(1)求出的长度；
(2)若小鸟竖直下降到达点（点在线段上），此时小鸟到地面点的距离与下降的距离相同，求小鸟下降的距离．
2．如图，已知圆柱体底面圆的半径为，高为2，，分别是两底面的直径．若一只小虫从A点出发，沿圆柱侧面爬行到C点，求小虫爬行的最短路线的长度（结果保留根号）．
3．综合与实践
（1）如图1，铁路上、两点（看作直线上的两点）相距千米，、为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为、，千米，千米，则两个村庄的距离为___________千米（直接填空）；
（2）在（1）的条件下，要在上建造一个供应站，使得，求的距离；
（3）借助上面的思考过程与几何模型，求代数式（）的最小值为___________．
4.图2为同一长方体房间的示意图，图3为该长方体的表面展开图．
(1).蜘蛛在顶点A′处．
①苍蝇在顶点B处时，试在图1中画出蜘蛛为捉住苍蝇，沿墙面爬行的最近路线．
②苍蝇在顶点C处时，图2中画出了蜘蛛捉住苍蝇的两条路线，往天花板ABCD爬行的最近路线A′GC和往墙面BB′C′C爬行的最近路线A′HC，试通过计算判断哪条路线更近．
(2).在图3中，半径为10dm的⊙M与D′C′相切，圆心M到边CC′的距离为15dm，蜘蛛P在线段AB上，苍蝇Q在⊙M的圆周上，线段PQ为蜘蛛爬行路线，若PQ与⊙M相切，试求PQ长度的范围．
2024-2025学年人教版八年级下期末复习专题特训
专题三 勾股定理（解析版）
01 知识结构
02 重难点突破
重难点1 勾股定理的证明
【例1】．现有4个全等的直角三角形（阴影部分），直角边长分别为，，斜边长为，将它们拼成如图的形状．根据该图，可以用两种不同的方法计算整个图形的面积，通过面积相等来证明勾股定理，请你将下面的证明过程补充完整．
证明：添加辅助线，如图，整个图形的面积有两种表示方法：方法一：以为边的正方形的面积+两个直角三角形的面积，列式后化简，得________；方法二：以和为边的两个小正方形的面积＋两个直角三角形的面积，列式后化简，得________；根据面积相等，得到等式________，化简这个等式，得________，从而证明了勾股定理．
【答案】，，，
【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，正确理解题意是解题关键．利用两种方法表示出整个图形的面积，根据面积相等得到等式并化简，即可获得答案．
【详解】证明：添加辅助线，如图，
整个图形的面积有两种表示方法：
方法一：以为边的正方形的面积两个直角三角形的面积，列式后化简，得；
方法二：以和为边的两个小正方形的面积两个直角三角形的面积，列式后化简，得；
根据面积相等，得到等式，
化简这个等式，得，从而证明了勾股定理．
故答案为：，，，．
勾股定理的证明是用面积法证明恒等式，通过不同的方式表示同一个图形的面积
变式训练1
1．现有4个全等的直角三角形（阴影部分），直角边长分别为a、b，斜边长为c，将它们拼合为如图的形状．用两种不同的方法计算整个组合图形的面积，可以证明勾股定理，
(1)请将证明过程补充完整：方法一：以c为边的正方形的面积+两个直角三角形的面积，即最后化简为__________；方法二：以a和b为边的两个小正方形的面积+两个直角三角形的面积，即最后化简为__________；根据面积相等，直接得等式__________，化简最后结果是__________．
(2)当时，求空白部分的面积．
【答案】(1)
(2)13
【分析】本题考查了勾股定理的几何背景，代数式求值，正确识图是解题的关键．
（1）根据题意和图形即可求解；
（2）根据空白部分的面积等于以c为边的正方形的面积减去2个直角三角形的面积可得空白部分的面积为，再把代入计算即可求解．
【详解】（1）解：方法一：以c为边的正方形的面积+两个直角三角形的面积为：，
即最后化简为；
方法二：以a和b为边的两个小正方形的面积+两个直角三角形的面积，即最后化简为；
根据面积相等，得：，
化简最后结果是，
故答案为：；
（2）解：根据题意得：空白部分的面积为：，
当时，原式．
2．【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得出结论．这里用两种求法表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．
【方法运用】
千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜．某数学爱好者构造发现了以下证法：把两个全等的直角三角形和直角三角形按如图2所示放置，其三边长分别为，，显然．
①请用分别表示出梯形的面积________，的面积________；并求出四边形的面积（用含c的式子表示，要写过程）
②请利用①中这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理；
【方法迁移】
（1）如图3，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得到，则边上的高为________；
（2）如图4，在中，是边上的高，，，，设，求x的值．
【答案】方法应用：①；；；②见解析；方法迁移：（1）；（2）
【分析】此题主要考查了梯形，证明勾股定理，勾股定理的应用，证明勾股定理常用的方法是利用面积证明，是解本题的关键．构造出直角三角形是解本题的难点．
方法应用：①根据题意表示出三个图形的面即可；②根据可证；
方法迁移：
（1）计算出的面积，再根据三角形的面积公式即可求得边上的高；
（2）运用勾股定理在和中求出，列出方程求解即可；
【详解】解：【方法运用】：
①由题意得，，，；
故答案为：①；；；
②∵，
∴，
∴，
∴；
【方法迁移】：
（1）设边上的高为h，
，
，
，
∴，
即边上的高是；
故答案为：；
（2）在中，由勾股定理得
，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得，
，
∴，
∴．
3．美国第任总统伽菲尔德提出了如下的证明勾股定理的方法，由三个直角三角形组成了一个直角梯形，直角三角形的边长如图所示，请你写成证明过程．
【答案】证明见解析
【分析】本题考查了勾股定理的证明及整式的混合运算，熟练掌握勾股定理及整式混合运算的运算法则是解题的关键．连接，分别用两种方法表示直角梯形的面积，证明出即可．
【详解】证明：如图所示，连接，
直角梯形的面积为，
也可以表示为三个直角三角形的面积和，即，
，
．
4．【阅读材料】我们从生活实际发现，当一个直角三角形的两直角边长确定时，斜边长也就确定了．古代数学就已经发现：在直角三角形中，若两直角边长为，斜边长为，则．这就是著名的“勾股定理”（西方把它称为“毕达哥拉斯定理”）．
【推理验证】如图（2）．它是由1个小正方形和4个完全一样的如图（1）直角三角形（其两直角边长为，斜边长为），不重叠无缝隙拼接成的正方形．我们可以用两种不同途径来求图（2）的大正方形面积来验证“勾股定理”，请写出验证过程；
【应用解题】若直角三角形中，斜边长为3，两直角边长满足，求此时直角三角形的面积；
【拓展提升】请你用图（1）的直角三角形参与构图，使你构造的图形也能验证“勾股定理”，画出你的示意图并写出验证过程．
【答案】【推理验证】见解析；【应用解题】；【拓展提升】见解析，（答案不唯一）
【分析】本题考查了勾股定理的证明和完全平方公式，解本题要理解题意，利用大正方形面积＝小正方形面积 + 四个直角三角形面积是解本题的关键．
推理验证：根据大正方形面积＝小正方形面积＋四个直角三角形面积，可求解；
应用解题：的结论以及完全平方公式的变形计算即可求解；
拓展提升：设计一个方案并证明（答案不唯一）．
【详解】解：推理验证：图中 4 个全等的直角三角形每个的面积为，
由图形关系，知：大正方形面积＝小正方形面积 + 四个直角三角形面积，
即有，
；
应用解题：由题意得：，
∴直角三角形的面积为；
拓展提升：设计方案如图：
用两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形拼出了一个直角梯形，利用此图形验证勾股定理．
证明：∵直角梯形 的面积可以用两种方法表示：
第一种方法表示为：此图可以看成有三个直角三角形的面积和，面积分别为和，因此图形面积为，
第二种方法表示为：可以看成一个直角梯形，其面积为，
5．【材料】勾股定理的证明：两个全等的直角三角形按如图①所示的方式摆放，连接，的三边长分别为a，b，c（），四边形的面积可以表示为或，从而推导出．
【探究】（1）淇淇将从图①的位置开始沿向左移动，直到点F与点B重合时停止，如图②所示，与交于点O，下面是淇淇利用图②证明勾股定理的过程．请将淇淇的探究过程补充完整．
证明：连接，．
______；
__________________．
由，可得到______；整理得：______．
【应用】（2）在图②的基础上，若四边形的面积为200，的长为12，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）16．
【分析】本题考查勾股定理的证明和应用：
（1）利用两种不同的方法表示出四边形的面积，即可得证；
（2）分割法表示四边形的面积，进而求出的值，再利用勾股定理进行求解即可．
【详解】解：（1）证明：连接，．
，
如图1所示，，则由平移的性质可得在图2中，
，
，
，
；
（2），
，
，
，
或（舍去），
．
重难点2 勾股定理及其逆定理
【例2】．一个三角形的三边长分别为 ，，．
(1)求证：三角形是直角三角形；
(2)求这个三角形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理和二次根式的乘法运算．
（1）根据勾股定理逆定理证明即可．
（2）根据（1）得出三角形的两条直角边，再三角形面积公式求解即可．
【详解】（1）证明：，
∴三角形是直角三角形．
（2）解：这个三角形的面积为：．
勾股定理的逆定理是证明一个角等于90°的一种思路，只要在一个三角形中三条线段之间满足较小的两条相等的平方和等于最长的线段的平方，这个三角形就是直角三角形。
变式训练2
1．如图，四边形中，，且．求四边形的面积．
【答案】36
【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，先利用勾股定理求出的长，再利用勾股定理的逆定理证明，最后根据进行求解即可．
【详解】解：如图所示，连接，
在中，由勾股定理得，
∵，，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴．
2．如图，在中，，，，是的边上的高，且，，求的长．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理，勾股逆定理，先由勾股定理算出，再结合，则，故的面积，然后代入数值计算，即可作答．
【详解】解：，，，
，
，
是直角三角形，，
的面积，
．
3．若、、为的三边长，且满足，试判断的形状并说明理由．
【答案】直角三角形；理由见解析
【分析】本题考查了配方法的应用以及勾股定理的逆定理，解题的关键是通过配方将等式变形为几个完全平方式的和为0的形式，进而求出三边的长度，再根据勾股定理的逆定理判断三角形的形状．
先将给定等式通过移项，配方转化为几个完全平方式相加的形式，然后根据平方的非负性求出的值，最后利用勾股定理的逆定理判断三角形形状．
【详解】解：，移项可得：，
，
，
，
，
，
∴三角形的形状是直角三角形．
4．在创建绿色文明城市的热潮中，某小区积极响应号召，社区管理人员与居民携手合作，对小区临街拐角进行绿化改造，打造了一块别具生机的绿化地（阴影部分）；经测量，这块绿化地边界构成四边形，已知，，，，技术人员通过测量确定了．问这片绿地的面积是多少？
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题关键．连接，先利用勾股定理可得，再根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，且，然后根据这片绿地的面积等于求解即可得．
【详解】解：如图，连接，
∵，，，
∴，
∵，，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴这片绿地的面积是
，
答：这片绿地的面积是．
如图1，在正方形中，点E是的中点，点F是边上的一点，且，连接、．
(1)求证：；
(2)如图2，将沿翻折，得到，其中，点G是点A的对应点．
①连接，求证：C、G、F三点在同一条直线上；
②如图3，连接，请直接写出线段与线段的数量关系．
【答案】(1)见解析；
(2)①见解析；②
【分析】（1）设，根据正方形的性质，点E是的中点，，在，中应用勾股定理，得到，即可得证，
（2）①根据翻折的性质，得到，通过，得到，即可得证，②由，，，，得到，根据翻折的性质得到，结合，求出，即可求解．
本题考查了正方形的性质，勾股定理，勾股定理逆定理，翻折的性质，全等三角形的性质与判定，解题的关键是：熟练掌握全等三角形与勾股定理．
【详解】（1）解：连接，
∵正方形，点E是的中点，，
∴设，则，，，
∴，，，
∴，
∴，
（2）解：①根据翻折的性质，得到，
∴，，，
由（1）得，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴C、G、F三点在同一条直线上，
②由（1）（2）得，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，解得：，
∴．
重难点3 勾股定理在实际生活中的应用
【例3】．《九章算术》是我国古代数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架，其中记载的一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，同折者高几何？”其大意是：一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处．折断处离地面的高度是 尺．（其中1丈尺）
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意，根据勾股定理列出方程是解题的关键．首先由竹子垂直于地面，可知此三角形是直角三角形，设折断处离地面x 尺，则折断的度为尺，再根据勾股定理列出方程，解方程即可求得答案．
【详解】解：设折断处离地面x 尺，则折断的度为尺，
根据题意得：，
解得：，
故答案为：．
方法指导
这类问题就是正确地把实际问题利用图形转化为数学问题，利用勾股定理加以解决。
变式训练3
1．如图，一圆柱高，底面半径是，一只蚂蚁绕着圆柱向上螺旋式爬行，假设蚂蚁绕圆柱外壁从点爬到点，圆周率取近似值3，则蚂蚁爬行路线的最短路径长为 ．
【答案】/厘米
【分析】本题考查了勾股定理与最短路径问题，将圆柱展开为长方形，利用勾股定理求对角线的长即为最短路径的长．先画出圆柱展开图形，最短路程是的长，是底面圆周长的一半，据此根据勾股定理计算求解即可．
【详解】解：如图所示，将圆柱沿着高展开，
由题意得，，
∴由勾股定理得：，
∴蚂蚁爬行路线的最短路径长为，
故答案为：．
2．如图，在离水面高度为米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为17米，此人以每秒1米的速度收绳．（假设绳子一直是绷直的状态）
(1)若，4秒后，船移动到点的位置，问船向岸边移动了多少米？（结果保留根号）
(2)若7秒后船移动到点的位置，船向岸边移动了9米，求的值．
【答案】(1)船向岸边移动了米
(2)的值是8
【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先算出（米），结合速度和时间，得出米，运用（米），故米，即可作答．
（2）结合题意得米，结合勾股定理得，，整理得，解得，最后运用勾股定理列式计算（米），即可作答．
【详解】（1）解：在中，（米）．
∵此人以每秒1米的速度收绳，4秒后船移动到点的位置，
∴（米），
在中，（米），
∴米，
答：船向岸边移动了米；
（2）解：∵此人以每秒1米的速度收绳，7秒后船移动到点的位置，
∴（米）.
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
即，
解得（米），
∴（米），
∴的值是8．
3．已知某高速路段限速（即）．如图，汽车在车速检测仪A正前方30米的处，过了后到处，测得．请通过计算判断汽车是否超速．
【答案】没有超速
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，将实际问题转化为数学问题成为解题的关键．
由勾股定理可得，再根据小汽车用行驶的路程为，那么可求出小汽车的速度，然后再判断即可解答．
【详解】解：汽车没有超速，理由如下：
依题意，由勾股定理可得：，，，
．
∴，
∴．
∴汽车没有超速．
4．如图，《九章算术》中记载：今有立木，系索其末，委地三尺，引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何．译文：现在有一根竖直的木头，绳子系在其顶端．将绳子垂到地面时，绳子还有三尺余在地上．拉着绳子后退，离木头根部八尺时，绳子被拉直用完．问绳子的长度是多少？
【答案】尺
【分析】根据题意得，绳索，木桩形成直角三角形，根据勾股定理，即可求出绳索长．
本题考查勾股定理的知识，解题的关键是理解题意，运用勾股定理解决实际问题．
【详解】解：设绳索长为x尺，则木桩高为尺，
∴在中，，，
∴根据勾股定理，得，
解得．
∴绳索长为尺．
5．如图，一架长的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子的底部到墙底端的距离为．
(1)这个梯子的顶端距地面有多高？
(2)梯子的底部在水平方向滑动了至点，求梯子的顶端沿墙垂直下滑了多少米．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．
（1）利用勾股定理求出即可；
（2）根据勾股定理求出，得到即可．
【详解】（1）解：根据题意可知，，，
∴在中，
答：这个梯子的顶端距离地面．
（2）解：由题意得，，，
∴在中，
∴
答：梯子的顶端沿墙垂直下滑了．
重难点4 思想方法
方程思想
【例4-1】．如图，直角三角形中，，，是的上的一点，若将沿折叠，点恰好落在所在直线上点处．
(1)求边的长；
(2)求的长；
(3)在所在直线上找一点，使得以点、、为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出的长．
【答案】(1)10
(2)
(3)或或或
【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，等腰三角形的性质：
（1）直接利用勾股定理进行求解即可；
（2）折叠的性质，得到，，设，在中利用勾股定理，进行求解即可；
（3）分，三种情况进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：直角三角形中，，，
∴；
（2）∵折叠，
∴，，
∴，
设，
∴，
在中，，
∴，
解得：；
∴；
（3）由（2）可知：；
当点、、为顶点的三角形是等腰三角形时：
①当时：
则：；
②当时：
则：，或
③当时：
设，则：，
在中，由勾股定理，得：，
∴，
∴；
综上：或或或．
方程思想在勾股定理与折叠问题中出现，利用折叠的性质得到边、角相等，进而把条件转化到一个直角三角形中，利用勾股定理构建方程，从而求出线段长度。
转化思想
【例4-2】如图，A，B个村在河的同侧，且， A，B两村到河的距离分别为，．现要在河边上建一水厂分别向A，B两村输送自来水，铺设水管的工程费每千米需3000元．请你在河岸上选择水厂位置O，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用W（元）．
【答案】水厂位置见解析，铺设水管的总费用为15000元
【分析】本题考查的是轴对称的性质，勾股定理的应用，如图，作点A关于的对称点，连接交于O，点O即为水厂的位置．过点作交的延长线于点E，过点A作于点F，再进一步解答即可．
【详解】解：如图，作点A关于的对称点，
连接交于O，
∴，
∴点O即为水厂的位置．
过点作交的延长线于点E，过点A作于点F，
则，，．
∴．
在中，，
∴．
∴．
在中，，
由勾股定理得．
∴（元）．
故铺设水管的总费用为15000元．
方法指导
转化思想在勾股定理中主要体现在把实际问题转化为数学问题，把几何图形问题转化为方程问题等，
数形结合思想
【例4-3】．【综合与实践】
【问题情景】
（1）如图1，点为线段上一动点．分别过点，作，连接，．已知．设，用含的代数式表示的长；
【数学思考】
（2）如图.2．在某河道一侧有，两家工厂，它们到河道的距离，分别是．，两工厂之间的距离是．为了方便工厂用水，需要在河道上建立一个抽水点，且使得抽水点到两家工厂的距离之和最短．求的最小值；
【深入探究】
（3）请结合上述思路，求代数式的最小值．
【答案】（1）；（2）；（3）15
【分析】本题考查轴对称-最短路线问题，列代数式，勾股定理，能够构造出符合代数式的几何图形是解题的关键．
（1）根据图1，利用勾股定理即可用含x的代数式表示的长；
（2）作点关于河道的对称点，过点作，交的延长线于点，过点作于点，连接，则易得四边形，四边形和四边形都是长方形，且，，可得的最小值为的长，再求解即可；
（3）构造类似图1的图形，结合（2）的思路，即可求出答案．
【详解】解：（1），
，
，
，
在中，，
由勾股定理，得，
在中，
由勾股定理，得
；
（2）如图1，作点关于河道的对称点，过点作，交的延长线于点，过点作于点，连接，则易得四边形，四边形和四边形都是长方形，且，
，
的最小值为的长．
，
，
，，
在中，由勾股定理，得，
．
在中，由勾股定理，得，
的最小值为．
（3）构造图形如图2所示，其中点为线段上一点，分别过点作，连接，
其中．
连接．
，
代数式的最小值为的长，
过点作，交的延长线于点，
易知，
，
在中，由勾股定理，得，
代数式的最小值为15．
通过数与形的相互转化，将抽象问题具体化，复杂问题简单化，勾股定理的证明，求最短路径都是体现的数形结合思想。
变式训练4
1．如图，一只小鸟旋停在空中点，点到地面的高度米，点到地面点（，两点处于同一水平面）的距离米．
(1)求出的长度；
(2)若小鸟竖直下降到达点（点在线段上），此时小鸟到地面点的距离与下降的距离相同，求小鸟下降的距离．
【答案】(1)米
(2)小鸟下降的距离为米
【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟练的掌握勾股定理是解题的关键．
（1）在直角三角形中运用勾股定理即可解答；
（2）在中，根据勾股定理即可解答．
【详解】（1）由题意知，
∵米，米．
在中
米，
（2）设，
到达D点（D点在线段上），此时小鸟到地面C点的距离与下降的距离相同，
则，，
在中，，
，
解得，
小鸟下降的距离为米．
2．如图，已知圆柱体底面圆的半径为，高为2，，分别是两底面的直径．若一只小虫从A点出发，沿圆柱侧面爬行到C点，求小虫爬行的最短路线的长度（结果保留根号）．
【答案】小虫爬行的最短路线的长度为
【分析】本题考查圆柱侧面展开图，勾股定理，以及两点之间线段最短，掌握圆柱体的侧面张开图是长方形，并且理解两点之间线段最短这一基本事实是本道题解题的关键．沿将圆柱的侧面展开如下图，连接，由两点之间线段最短可知小虫爬行的最短路线是，利用圆的周长公式和勾股定理求出，即可解题．
【详解】解：沿将圆柱的侧面展开如下图，连接，一只小虫从A点出发，沿圆柱侧面爬行到C点，由两点之间线段最短可知小虫爬行的最短路线是，
圆柱体底面圆的半径为，
，
圆柱高为2，
，
答：小虫爬行的最短路线的长度为．
3．综合与实践
（1）如图1，铁路上、两点（看作直线上的两点）相距千米，、为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为、，千米，千米，则两个村庄的距离为___________千米（直接填空）；
（2）在（1）的条件下，要在上建造一个供应站，使得，求的距离；
（3）借助上面的思考过程与几何模型，求代数式（）的最小值为___________．
【答案】（1）；（2）千米；（3）20
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键．
（1）连接，过点作于点，由题意根据勾股定理求出的长即可；
（2）在 中，，在 中，得出方程求解即可；
（3）先作出点关于的对称点，连接，过点作交延长线于点，则的长就是代数式的最小值，再结合勾股定理求出的长即可．
【详解】（1）解：如图，连接，过点作于点，
，，
四边形是矩形，
千米，千米，
千米，
千米，
两个村庄的距离为千米，
故答案为：；
（2）解：由题意可知，点在的垂直平分线上，如图，连接，作的垂直平分线交于点，则点即为所求，
设千米，则千米，
在中，根据勾股定理可得：
，
在中，根据勾股定理可得：
，
，
，
解得：，即：千米；
（3）解：如图，，
先作出点关于的对称点，连接，过点作交延长线于点，
设，
则就是代数式的最小值，
代数式的几何意义是线段上一点到点、的距离之和，而它的最小值就是点的对称点和点的连线，与线段的交点就是它取最小值时的点，
由轴对称的性质可得：，
，，，
四边形是矩形，
，，
从而构造出了以为一条直角边，和的和为另一条直角边的直角三角形，斜边就是代数式的最小值，
代数式的最小值为：
．
故答案为:20
4.图2为同一长方体房间的示意图，图3为该长方体的表面展开图．
(1).蜘蛛在顶点A′处．
①苍蝇在顶点B处时，试在图1中画出蜘蛛为捉住苍蝇，沿墙面爬行的最近路线．
②苍蝇在顶点C处时，图2中画出了蜘蛛捉住苍蝇的两条路线，往天花板ABCD爬行的最近路线A′GC和往墙面BB′C′C爬行的最近路线A′HC，试通过计算判断哪条路线更近．
(2).在图3中，半径为10dm的⊙M与D′C′相切，圆心M到边CC′的距离为15dm，蜘蛛P在线段AB上，苍蝇Q在⊙M的圆周上，线段PQ为蜘蛛爬行路线，若PQ与⊙M相切，试求PQ长度的范围．
【解答】解：①根据“两点之间，线段最短”可知：
(1).【答案】线段A′B为最近路线，如图1所示．
②Ⅰ．将长方体展开，使得长方形ABB′A′和长方形ABCD在同一平面内，如图2①．
在Rt△A′B′C中，
∠B′=90°，A′B′=40，B′C=60，
∴AC= = = ．
Ⅱ．将长方体展开，使得长方形ABB′A′和长方形BCC′B′在同一平面内，如图2②．
在Rt△A′C′C中，
∠C′=90°，A′C′=70，C′C=30，
∴A′C= = = ．
∵ ＜ ，
∴往天花板ABCD爬行的最近路线A′GC更近；
【解析】①根据“两点之间，线段最短”可知：线段A′B为最近路线；
②Ⅰ．将长方体展开，使得长方形ABB′A′和长方形ABCD在同一平面内，如图2①，运用勾股定理求出AC长；Ⅱ．将长方体展开，使得长方形ABB′A′和长方形BCC′B′在同一平面内，如图2②，运用勾股定理求出A′C长，然后将两个长度进行比较，就可解决问题。
【解答】
(2).【答案】过点M作MH⊥AB于H，连接MQ、MP、MA、MB，如图3．
∵半径为10dm的⊙M与D′C′相切，圆心M到边CC′的距离为15dm，BC′=60dm，
∴MH=60﹣10=50，HB=15，AH=40﹣15=25，
根据勾股定理可得AM= = = ，
MB= = = ，
∴50≤MP≤ ．
∵⊙M与D′C′相切于点Q，
∴MQ⊥PQ，∠MQP=90°，
∴PQ= = ．
当MP=50时，PQ= = ；
当MP= 时，PQ= =55．
∴PQ长度的范围是 dm≤PQ≤55dm．
【解析】过点M作MH⊥AB于H，连接MQ、MP、MA、MB，如图3．由⊙M与D′C′相切于点Q可得MQ⊥PQ，即∠MQP=90°，根据勾股定理可得PQ= = ．要求PQ的取值范围，只需先求出MP的取值范围，就可解决问题．
方法指导
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