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2024-2025学年人教版八年级下期末复习专题特训
专题四 勾股定理期末复习提升卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第Ⅰ卷
选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并填入题后括号内）
1．阅读：勾股定理是指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方．用数学语言表达为：，根据阅读资料，完成以下题目：在中，，，，则（ ）
A．5 B．12 C．17 D．13
2．勾股定理是中国几何的根源，中华数学的精髓，诸如开方术、方程术、天元术等技艺的诞生与发展，寻根探源，都与勾股定理有着密切关系，在一次数学活动中，数学小组发现如下图形：在中，，图中以AB、BC、AC为边的四边形都是正方形，并且经测量得到三个正方形的面积分别为225、400、S，则S的值为（ ）
A．25 B．175 C．600 D．625
3．将一长方形纸片按图1方式剪成四张完全相同的直角三角形纸片，相关线段长度如图中标注．现将它们拼成图2的“赵爽弦图”，则图2中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
4．为了比较与的大小，小亮先画了一条数轴，然后在原点O处作了一条垂线段，且，点B表示的数是2，点C表示的数为3，连接，由推出，这里小亮用到的数学思想是（ ）
A．统计思想 B．数形结合 C．模型思想 D．分类讨论
5．有4组小棒，长度分别为：①2，3，4；②；③；④（单位：cm），小颖分别用各组中的三根小棒首尾相接搭成三角形，其中恰好能搭成直角三角形的是（ ）
A．①③ B．②④ C．①② D．③④
6．某工程的测量人员在规划一块如图所示的三角形土地时，在BC上有一处古建筑D，使得BC的长不能直接测出，工作人员测得AB＝130米，AD＝120米，BD＝50米，在测出AC＝150米后，测量工具坏了，使得DC的长无法测出，请你想办法求出BC的长度为（　　）
A．90米 B．120米 C．140米 D．150米
7．如图所示，把一张矩形纸片ABCD按所示方法进行两次折叠，得到直角三角形BEF，若BC=1，则BE的长度为（ ）
A． B． C． D．2
8．如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至C处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在中，，，是边上的中线，且，则的长为（ ）
A．12 B．10 C． D．
10．在平面直角坐标系中，已知点A（2，2），点B（2，-3）．在坐标轴上找一点C，使得△ABC为直角三角形，这样的点C共有（ ）个．
A．5 B．6 C．7 D．8
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．如图，，以的三边为边向外作正方形，其面积分别为，，，且，，则为 ．
12．如图，和都是等腰直角三角形，，，的顶点A在的斜边上，则的值为 ．

13．《九章算术》是我国古代数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架，其中记载的一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，同折者高几何？”其大意是：一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处．折断处离地面的高度是 尺．（其中1丈尺）
14．为了解决 A、B 两个村的村民饮水难，计划在笔直的河边 修建一个水泵站，为节约经费，该水泵站与两村的水管线总长力求做到最短，已知 A 村到河边的距离为 1km，B 村到河边的距离为 2km，AB=4km，则水管线最短要 km(结果保留根号）．
15．如图，一个圆柱形玻璃杯的高为10cm，底面半径为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁处的爬行最短路线的长为 ．（杯壁厚度不计）
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（8分）如图，，，，垂足分别为D，E．
(1)求证：；
(2)若，，直接写出的长．
17．（8分）如图，在的网格中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长为1，、均在格点上，请仅用无刻度的直尺按要求作图．
(1)在图1中，画一个以为腰且三边长都是无理数的等腰三角形，点为格点；
(2)在图2中，画一个以为底的等腰三角形，点为格点．
18．（8分）勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，其中有著名的数学家，也有数学爱好者．
(1)如图1，这是美国第20任总统詹姆斯·加菲尔德的“总统证法”图形，，请推导勾股定理．
(2)如图2，在中，，，，，垂足为H，求的长．
19．（8分）如图，小岛A位于港口C北偏西方向上，小岛B位于港口C的北偏东方向上，且与港口C相距200海里，小岛B与小岛A相距250海里．
(1)求小岛A与港口C的距离；
(2)在小岛B处有一艘载满货物的货船，以每小时20海里的速度从小岛B出发沿B→A方向航行，当货船距离港口C最近时，求货船还需航行多长时间才能到达小岛A？
20．（8分）如图，这是某推车的简化结构示意图．现测得，，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（），按照设计要求需满足，请判断该推车是否符合设计要求，并说明理由．
21．（10分）阅读理解：如何根据坐标求出两点之间的距离？
如图，在坐标系中，，构造，则，，
∴
若，，则
∴
这就是两点间的距离公式，例如，
∴
(1)根据上述材料，老师让同学们求代数式的最小值．
小明同学的思路是：如图，可以看成是点与点的距离，可以看成是点与点的距离．
请完成如下填空：
作点B关于x轴的对称点（____，___），当A、C、三点共线时最小，连接，则的最小值等于，由两点间的距离公式得=______________，
∴的最小值是_____________．
(2)借助上面的思考过程，画图说明并求出代数式：
①最小值．
②的最大值．
22．（12分）综合与实践
【问题情境】
数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20、3、2，A和B是一个台阶两个相对的端点．
【探究实践】
老师让同学们探究：如图①，若A点处有一只蚂蚁要到B点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到B点的最短路程是多少？
（1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20，宽为15的长方形，连接，经过计算得到长度为______，就是最短路程．
【变式探究】
（2）如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是30 cm，高是8 cm，若蚂蚁从点A出发沿着玻璃杯的侧面到点B，则蚂蚁爬行的最短距离为______．
【拓展应用】
（3）如图④，圆柱形玻璃杯的高9 cm，底面周长为16 cm，在杯内壁离杯底4 cm的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿1 cm，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计）
23．（13分）综合与实践探究
【问题背景】学习三角形旋转之后，八1班各学习小组打算用两个大小不同的等腰直角三角形通过旋转变换设计本组的，小鸣在设计的过程中发现两个三角形在旋转过程中，某些边和角存在一定的关系．
因此，他和同学一起对这个问题进行了数学探究．
已知和都是等腰直角三角形，且．
【初步探究】（1）小鸣将绕点A 在平面内自由旋转，连接后，他发现这两条线段存在着一定的数量关系，如图（1），请探究线段的数量关系，并说明理由；
【深入探究】（2）若，旋转过程中，当点D、点 E 和的中点O 三点共线时，如图2，探究线段和的数量关系，并说明理由．
【应用探究】（3）如图2，在（2）的条件下，若，则____ （ 直接写出结果）；
【拓展探究】（4）如图3，当，，则（ 直接写出结果）
2024-2025学年人教版八年级下期末复习专题特训
专题四 勾股定理期末复习提升卷（解析版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第Ⅰ卷
选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并填入题后括号内）
1．阅读：勾股定理是指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方．用数学语言表达为：，根据阅读资料，完成以下题目：在中，，，，则（ ）
A．5 B．12 C．17 D．13
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理，由勾股定理得，即可求解；掌握勾股定理是解题的关键．
【详解】解：由题意得
；
故选：D．
2．勾股定理是中国几何的根源，中华数学的精髓，诸如开方术、方程术、天元术等技艺的诞生与发展，寻根探源，都与勾股定理有着密切关系，在一次数学活动中，数学小组发现如下图形：在中，，图中以AB、BC、AC为边的四边形都是正方形，并且经测量得到三个正方形的面积分别为225、400、S，则S的值为（ ）
A．25 B．175 C．600 D．625
【答案】D
【分析】根据勾股定理可得，在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，三条边的平方刚好就是三个正方形的面积，据此可求得S的值．
【详解】解：∵∠ACB=90°，
∴，
S的值即为AB2，
所以S的值为625，
故选：D．
【点睛】本题较为基础，考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
3．将一长方形纸片按图1方式剪成四张完全相同的直角三角形纸片，相关线段长度如图中标注．现将它们拼成图2的“赵爽弦图”，则图2中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】阴影部分的面积＝小正方形的面积．小正方形的边长为．
【详解】解：如图所示：
小正方形的边长为，则阴影部分的面积＝小正方形的面积＝．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了勾股定理中赵爽弦图模型，关键在于正确找出小正方形的边长．
4．为了比较与的大小，小亮先画了一条数轴，然后在原点O处作了一条垂线段，且，点B表示的数是2，点C表示的数为3，连接，由推出，这里小亮用到的数学思想是（ ）
A．统计思想 B．数形结合 C．模型思想 D．分类讨论
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理、三角形的三边关系等知识点，根据题意可得，据此即可求解．
【详解】解：由题意得，
∴
该过程利用数轴，结合勾股定理可得，用到了数形结合的数学思想．
故选：B．
5．有4组小棒，长度分别为：①2，3，4；②；③；④（单位：cm），小颖分别用各组中的三根小棒首尾相接搭成三角形，其中恰好能搭成直角三角形的是（ ）
A．①③ B．②④ C．①② D．③④
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，解题关键是掌握三角形较短两边的平方和等于最长边的平方，则此三角形是直角三角形．根据勾股定理的逆定理逐一判断即可．
【详解】解：①，不能搭成直角三角形；
②，能搭成直角三角形；
③，不能搭成直角三角形；
④，能搭成直角三角形；
即恰好能搭成直角三角形的是②④，
故选：B．
6．某工程的测量人员在规划一块如图所示的三角形土地时，在BC上有一处古建筑D，使得BC的长不能直接测出，工作人员测得AB＝130米，AD＝120米，BD＝50米，在测出AC＝150米后，测量工具坏了，使得DC的长无法测出，请你想办法求出BC的长度为（　　）
A．90米 B．120米 C．140米 D．150米
【答案】C
【分析】根据勾股定理的逆定理证出，再利用勾股定理求出DC的长，然后加上BD的长就可以求出BC的长．
【详解】解：如图，在，，
，
，即，
在中，AC=150，，
∴BC=BD+DC=50+90=140
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理及逆定理的应用，正确理解勾股定理及逆定理是解本题的关键．
7．如图所示，把一张矩形纸片ABCD按所示方法进行两次折叠，得到直角三角形BEF，若BC=1，则BE的长度为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【分析】首先根据矩形的性质，得出，，，然后再根据折叠的性质，得出，进而得出，利用勾股定理，得出的长，再由第二次折叠，得出，进而得出，最后利用线段的关系，即可得出结果．
【详解】解：由折叠补全图形如图所示，
∵四边形是矩形，
∴，，，
由第一次折叠得：，，
∴，
∴，
在中，
根据勾股定理得，，
由第二次折叠可知，，
∴，
∴．
故选：A
【点睛】本题考查了图形的折叠和勾股定理，搞清楚折叠中线段的数量关系是解本题的关键．
8．如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至C处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么．
设的长为x m，则，故．在直角中利用勾股定理即可求解．
【详解】解：由题意可知，，
∴．
设的长为，
则，
∴．
在中，由勾股定理，
得，
即，
解得：．
故选：B．
9．如图，在中，，，是边上的中线，且，则的长为（ ）
A．12 B．10 C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理和勾股定理的逆定理，，延长到E，使得，连接，证明得到，再利用勾股定理的逆定理证明，最后根据勾股定理求出的长即可得到答案．
【详解】解：如图所示，延长到E，使得，连接，
∵是边上的中线，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
10．在平面直角坐标系中，已知点A（2，2），点B（2，-3）．在坐标轴上找一点C，使得△ABC为直角三角形，这样的点C共有（ ）个．
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【详解】试题解析：（1）∠BAP=90°易得P1（0，2）；
（2）∠ABP=90°易得P2（0，-3）；
（3）∠BAP=90°；
（如图）以AB为直径画⊙O′与x轴，y轴分别交于P3、P4、P5、P6，AB与x轴交于C，过点O′作O′D⊥y轴，
在Rt△OO′p3中易知O′D=2，O′p3=，则P3D=，
OP3=P3D-OD=-=1，则P3（0，1）易知P3D=P5D，
则P5（0，-2），连接O′P4，O′P6，
易求出P4（2-，0）P6（2+，0）
综上所述P1（0，2），P2（0，-3），P3（0，1），P4（2-，0），P5（0，-2），P6（2+，0）．
故选B.
考点：1.勾股定理；2.坐标与图形性质．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．如图，，以的三边为边向外作正方形，其面积分别为，，，且，，则为 ．
【答案】4
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理的内容是解题的关键，属于基础题．
根据勾股定理直接代入计算．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故答案为：4．
12．如图，和都是等腰直角三角形，，，的顶点A在的斜边上，则的值为 ．

【答案】
【分析】根据常见的“手拉手全等模型”，结合勾股定理即可求解．
【详解】解：连接，如图所示：

因为和都是等腰直角三角形，，
即
故
故答案为：
【点睛】本题综合考查全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用．掌握相关几何知识是解题的关键．
13．《九章算术》是我国古代数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架，其中记载的一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，同折者高几何？”其大意是：一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处．折断处离地面的高度是 尺．（其中1丈尺）
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意，根据勾股定理列出方程是解题的关键．首先由竹子垂直于地面，可知此三角形是直角三角形，设折断处离地面x 尺，则折断的度为尺，再根据勾股定理列出方程，解方程即可求得答案．
【详解】解：设折断处离地面x 尺，则折断的度为尺，
根据题意得：，
解得：，
故答案为：．
14．为了解决 A、B 两个村的村民饮水难，计划在笔直的河边 修建一个水泵站，为节约经费，该水泵站与两村的水管线总长力求做到最短，已知 A 村到河边的距离为 1km，B 村到河边的距离为 2km，AB=4km，则水管线最短要 km(结果保留根号）．
【答案】
【分析】作点A关于直线的对称点A′，连接BA′与直线交于点P，此时PA+PB最小，先在Rt△ABM中利用勾股定理求出线段AM的长，再在Rt△A′BN中利用勾股定理求出线段A′B即可．
【详解】如图，
作点A关于直线的对称点A′，连接BA′与直线交于点P，此时PA+PB最小．
作A′N∥，AM∥，BN⊥与AM、A′N分别交于点M、N，
∵A 村到河边的距离为 1km，B 村到河边的距离为 2km，AB=4km，
∴Rt△ABM中，BM=1km，AB=4km，
∴AM=(km)，
在Rt△A′BN中，∵A′N= AM=(km)，BN=1+2=3(km)，
∴A′B=(km)，
故答案为：．
【点睛】本题考查了轴对称-最短问题、勾股定理的应用等知识，利用对称找到点P的位置是解题的关键，属于中考常考题型．
15．如图，一个圆柱形玻璃杯的高为10cm，底面半径为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁处的爬行最短路线的长为 ．（杯壁厚度不计）
【答案】
【分析】本题考查了圆柱的侧面展开，轴对称距离最短，勾股定理，熟练掌握圆柱的侧面展开，勾股定理，轴对称距离最短问题是解题的关键．
将杯子侧面展开，作点A关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即最短，利用勾股定理即可解答．
【详解】解：如图：将杯子侧面展开，作A关于的对称点，
∴为矩形，
∵底面半径半径为，
∴底面周长为，
∴，
根据题意得，，
∴，
连接，则即为最短距离，
．
故答案为：．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（8分）如图，，，，垂足分别为D，E．
(1)求证：；
(2)若，，直接写出的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)2
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（1）利用“”可证明；
（2）先利用全等三角形的性质得到，再利用勾股定理计算出，从而得到的长，然后计算即可．
【详解】（1）证明∶ ，，
．
在和中，
（2）解∶ ，
．
在中，．
．
．
17．（8分）如图，在的网格中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长为1，、均在格点上，请仅用无刻度的直尺按要求作图．
(1)在图1中，画一个以为腰且三边长都是无理数的等腰三角形，点为格点；
(2)在图2中，画一个以为底的等腰三角形，点为格点．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了勾股定理，等腰三角形的判定，熟知勾股定理和等腰三角形的判定定理是解题的关键．
（1）如解析图，取格点C，连接，则即为所求；
（2）如解析图，取格点D，连接，则即为所求．
【详解】（1）解；如图所示，即为所求；
由网格的特点和勾股定理可得，；
∴是以为腰得到等腰三角形，且三边都为无理数；
（2）解；如图所示，即为所求；
由网格的特点和勾股定理可得，
∴是以为底的等腰三角形．
18．（8分）勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，其中有著名的数学家，也有数学爱好者．
(1)如图1，这是美国第20任总统詹姆斯·加菲尔德的“总统证法”图形，，请推导勾股定理．
(2)如图2，在中，，，，，垂足为H，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)8
【分析】本题主要考查勾股定理及梯形、三角形面积公式的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理；
（1）用两种方法表示出梯形的面积，再根据他们相等整理即可证明结论；
（2）设，分别在和中，表示出，列出方程，求出x，再利用勾股定理即可求出的值
【详解】（1）解：∵
∴
整理得：；
（2）解：设
∵
∴
∴和都是
在中，
在中，
∴
∵
则
解得
即
在中，由勾股定理，得
19．（8分）如图，小岛A位于港口C北偏西方向上，小岛B位于港口C的北偏东方向上，且与港口C相距200海里，小岛B与小岛A相距250海里．
(1)求小岛A与港口C的距离；
(2)在小岛B处有一艘载满货物的货船，以每小时20海里的速度从小岛B出发沿B→A方向航行，当货船距离港口C最近时，求货船还需航行多长时间才能到达小岛A？
【答案】(1)小岛A与港口C的距离为150海里
(2)货船还需航行4.5小时才能到达小岛A
【分析】此题考查了勾股定理的应用，理解题意是解答的关键．
（1）根据勾股定理求解即可；
（2）过点C作于点D，首先利用等面积法求出，然后利用勾股定理求出，进而求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，，．
在中，，
∴．
答：小岛A与港口C的距离为150海里；
（2）解：过点C作于点D，
当货船航行到点D时，此时货船距离港口C最近．
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴（小时）．
答：货船还需航行4.5小时才能到达小岛A．
20．（8分）如图，这是某推车的简化结构示意图．现测得，，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（），按照设计要求需满足，请判断该推车是否符合设计要求，并说明理由．
【答案】该推车符合设计要求，理由见解析
【分析】本题考查勾股定理及其逆定理．首先根据勾股定理求出，再证明，然后根据勾股定理的逆定理得即可得结论．
【详解】解：该推车符合设计要求，理由如下：
∵，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴该推车符合设计要求．
21．（10分）阅读理解：如何根据坐标求出两点之间的距离？
如图，在坐标系中，，构造，则，，
∴
若，，则
∴
这就是两点间的距离公式，例如，
∴
(1)根据上述材料，老师让同学们求代数式的最小值．
小明同学的思路是：如图，可以看成是点与点的距离，可以看成是点与点的距离．
请完成如下填空：
作点B关于x轴的对称点（____，___），当A、C、三点共线时最小，连接，则的最小值等于，由两点间的距离公式得=______________，
∴的最小值是_____________．
(2)借助上面的思考过程，画图说明并求出代数式：
①最小值．
②的最大值．
【答案】(1)0，；13；13
(2)①10；②
【分析】本题考查的是轴对称-最短路线问题，解答此题的关键是利用数形结合思想解决问题，学会用转化的思想解决问题．
（1）根据题目提供的思路解答即可；
（2）①按照（1）的思路解答即可；
②若不在同一条直线上可构成一个三角形，则有，当在同一条直线上则有故可得结论
【详解】（1）解：如图，可以看成是点与点的距离，可以看成是点与点的距离．
作点B关于x轴的对称点，当A、C、三点共线时最小，连接，则的最小值等于，由两点间的距离公式得，
∴的最小值是13．
故答案为：0，；13；13；
（2）解：①如图，可以看成是点与点的距离，可以看成是点与点的距离．
作点B关于x轴的对称点，当A、C、三点共线时最小，连接，则的最小值等于，
由两点间的距离公式得，
∴的最小值是10．
②表示,
若点不在直线上，则在中，有，
若点在直线上时，有，
故原代数式的最大值即为线段的长度，当且仅当点在直线上，
此时，,
即的最大值为
22．（12分）综合与实践
【问题情境】
数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20、3、2，A和B是一个台阶两个相对的端点．
【探究实践】
老师让同学们探究：如图①，若A点处有一只蚂蚁要到B点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到B点的最短路程是多少？
（1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20，宽为15的长方形，连接，经过计算得到长度为______，就是最短路程．
【变式探究】
（2）如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是30 cm，高是8 cm，若蚂蚁从点A出发沿着玻璃杯的侧面到点B，则蚂蚁爬行的最短距离为______．
【拓展应用】
（3）如图④，圆柱形玻璃杯的高9 cm，底面周长为16 cm，在杯内壁离杯底4 cm的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿1 cm，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计）
【答案】（1）25；（2）17 cm；（3）B处到内壁A处所爬行的最短路程是10 cm
【分析】本题考查勾股定理最短路径问题：
（1）直接利用勾股定理进行求解即可；
（2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可；
（3）将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可得．
【详解】解：（1）由勾股定理，得：；
故答案为：25；
（2）将圆柱体展开，如图，由题意，得：
，，
由勾股定理得：；
故答案为：17 cm．
（3）如图，将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作，交延长线于点，连接，

由题意得：，
，
∵底面周长为，
，
，
由两点之间线段最短可知，蚂蚁从外壁处到内壁处所走的最短路程为，
23．（13分）综合与实践探究
【问题背景】学习三角形旋转之后，八1班各学习小组打算用两个大小不同的等腰直角三角形通过旋转变换设计本组的，小鸣在设计的过程中发现两个三角形在旋转过程中，某些边和角存在一定的关系．
因此，他和同学一起对这个问题进行了数学探究．
已知和都是等腰直角三角形，且．
【初步探究】（1）小鸣将绕点A 在平面内自由旋转，连接后，他发现这两条线段存在着一定的数量关系，如图（1），请探究线段的数量关系，并说明理由；
【深入探究】（2）若，旋转过程中，当点D、点 E 和的中点O 三点共线时，如图2，探究线段和的数量关系，并说明理由．
【应用探究】（3）如图2，在（2）的条件下，若，则____ （ 直接写出结果）；
【拓展探究】（4）如图3，当，，则（ 直接写出结果）
【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析；（3）；（4）6
【分析】（1）证明即可；
（2）过C作；证明，则；由已知易得，；由勾股定理得，进而得；
（3）由直角三角形的性质可分别求得，进而求得，由即可求得结果；
（4）设，则，由(1)可得，则，导角证明，过点E作交延长线于点H，则，在中，，则，由勾股定理得，在中，，由勾股定理得：，在中，由勾股定理得 ，再由即可求解．
【详解】（1）解：；
理由如下：
∵和都是等腰直角三角形，且，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（2）；
理由如下：
如图，过C作，
则；
∵O为的中点，
∴；
在和中，
，
∴，
∴；
由（1）知，，
∴；
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴；
∵，，
∴，
∴，
∴；
∴；
由勾股定理得，
∴；
（3）∵，
∴，
由勾股定理得：，
由勾股定理得：；
由（2）知，，
∵，
∴，
即，
故答案为：；
（4）解：设，则，
由(1)可得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
过点E作交延长线于点H，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴由勾股定理得：，
在中，，
∴由勾股定理得：，
在中，，
∴，
∵，
∴．
故答案为：6．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理，含30度直角三角形的性质等知识；有一定的综合性，证明三角形全等是解题的关键．
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