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期末单元知识练习二
一、选择题
下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的.
1.下列各式中，是最简二次根式的是 ( ).
2.以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是 ( ).
(A) 2, 3, 3 (B)2, 3, 4 (C)2, 3, 5 (D)2, , 3
3.下列计算中，正确的是 ( ).
4.下列命题正确的是 ( ).
(A)对角线相等的四边形是平行四边形
(B)对角线相等且互相平分的四边形是菱形
(C)对角线垂直且互相平分的四边形是矩形
(D)对角线垂直、相等且互相平分的四边形是正方形
5. 如图, 在△ABC中,∠ACB=90°, D为AB 的中点. 若AC=8, BC=6,则CD的长为 ( ).
(A) 10
(B)6
(C)5
(D)4
6.小雨在参观故宫博物院时，被太和殿窗棂的三交六椀菱花图案所吸引，如图1所示.他从中提取出一个含60°角的菱形ABCD，如图2所示.若AB的长为a, 则菱形ABCD的面积为 ( ).
(C)a
7.台风影响着人们的生产和生活.人们为研究一场台风，将研究条件进行一定的合理简化，把近地面风速画在一个以台风中心为原点，以台风半径为横轴，风速为纵轴的坐标系中，如图，并在图中标注了该台风的12级、10级和7级风圈半径.如12级风圈半径是指近地面风速衰减至32.7m/s时，离台风中心的距离约为150km. 以下关于这场台风的说法中，正确的是( ).
(A)越靠近台风中心位置，风速越大
(B)距台风中心150 km处，风速达到最大值
(C) 10级风圈半径约为280 km
(D)在某个台风半径达到最大风速之后，随台风半径的增大，风速又逐渐衰减
8.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,矩形 OABC,A(0,3),B(2,3),C(2,0), 点M在边OA 上, OM=1.点P在边AB 上运动，连接 PM，点A 关于直线PM的对称点为A′.若 下列图象能大致反映y与x的函数关系的是 ( ).
二、填空题
9. 若 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 .
10. 若 , 则a= , b= .
11.若△ABC的周长为6，则以△ABC三边的中点为顶点的三角形的周长等于
12.某商场招聘员工.现有甲、乙两人参加竞聘，通过计算机、语言和商品知识三项测试，他们各自成绩 (百分制)和各项占比如下表所示，那么从甲、乙两人各自的平均成绩看，应该录取： .
测试项目 计算机 语言 商品知识
在平均成绩中的占比 50% 30% 20%
甲的成绩 70 80 90
乙的成绩 90 80 70
13. 如图, 直线y= mx+n与直线y= kx+b的交点为A，则关于x，y的方程组 的解是
14.小杰利用教材中的剪纸活动设计了一个魔术.他将一个长方形纸片对折两次，剪下一个45°角 (图1)，展平后得到一个带正方形孔洞的魔术道具(图2)，这个正方形孔洞ABCD的边长为2cm(图4).他试图将一个直径为3cm的圆形铁环(铁环厚度忽略不计)穿过这个孔洞，没有成功，于是他对这个道具进行折叠、旋转(图5、图6)，并调整纸片产生一个新的“孔洞” (图3).请你计算调整前后的孔洞最“宽”处的“宽度”来说明魔术的效果.图4中的“宽度” BD= cm; 图6中的“宽度”.
15. 如图, 在 ABCD中, BE平分∠ABC交AD于点E, CF平分 交AD于点 F, BE 与 CF 的交点在□ABCD 内. 若 则 EF=
16.在△ABC中, BC=3, BD平分∠ABC交AC于点D, DE∥BC交AB 于点E, EF∥AC交BC于点F. 有以下结论:
①四边形EFCD一定是平行四边形；
②连接DF 所得四边形EBFD 一定是平行四边形；
③保持∠ABC的大小不变，改变BA的长度可使BF=FC成立；
④保持BA的长度不变，改变∠ABC的大小可使BF=FC成立.
其中所有的正确结论是 (填序号).
三、解答题
17. 计算:
18.在平面直角坐标系xOy中，直线m：y=2x+6与x轴的交点为A，与y轴的交点为 B，将直线m向右平移3个单位长度得到直线l.
(1)求点A，点B 的坐标，画出直线m及直线l；
(2)求直线l的解析式；
(3)直线l还可以看作由直线m经过其他方式的平移得到的，请写出一种平移方式.
19.尺规作图：过直线外一点作这条直线的平行线.
已知：如图，直线l及直线l外一点 P.
求作：直线m，使得m∥l，且直线m经过点 P.
作法：①在直线l上取一点A，连接AP，以点A为圆心，AP 的长为半径画弧，交直线l于点B；
②分别以点 P，点B为圆心，AP 的长为半径画弧，两弧交于点C(不与点A 重合)；
③经过P，C两点作直线m.
直线m就是所求作的直线.
(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形 (保留作图痕迹)；
(2)完成下面的证明.
证明：连接BC.
∴四边形 PABC是 (填“矩形”“菱形”或“正方形”).( )(填推理的依据)
∴m∥l. ( ) (填推理的依据)
20. 如图, 在 中， 于点E， 于点F.
(1) 求证: 四边形AECF 是矩形;
(2) 连接BD, 若 求DF的长.
21.已知甲、乙两地相距60 km，小徐和小马两人沿同一条公路从甲地到乙地，小徐骑自行车 3 h到达.小马骑摩托车比小徐晚1 h出发，骑行30 km时追上小徐，停留 n h后继续以原速骑行.在整个行程中，两人与甲地的距离y与小徐骑行时间x的对应关系分别如图中线段OA 和折线段 BCDE 所示，DE与OA 的交点为F.
(1)线段OA 所对应的函数表达式为 ，相应自变量x的取值范围是 ；线段 BC所对应的函数表达式为 ，相应自变量x的取值范围是 ；
(2) 小马在 BC段的速度为 km/h, n= ;
(3)求小马第二次追上小徐时与乙地的距离.
22.某校为了解课外阅读情况，在初二年级的两个班中，各随机抽取部分学生调查了他们一周的课外阅读时长(单位：小时)，并对数据进行了整理、描述和分析.下面给出了部分信息.
a. 甲班学生课外阅读时长 (单位: 小时): 7, 7, 8, 9, 9, 11, 12
b.乙班学生课外阅读时长的折线图：
c. 甲、乙两班学生阅读时长的平均数、众数、中位数：
平均数 中位数 众数
甲班 m 9 t
乙班 9 n 9
根据以上信息，回答下列问题：
(1) 写出表中m, t, n的值;
(2) 设甲、乙两班数据的方差分别为s , s ,则s s (填“>”“=”或“<”).
23.在平面直角坐标系xOy中，对于非零的实数a，将点 P(x，y)变换为 称为一次“a一变换”. 例如，对点 P(2，3)作一次“3一变换”，得到点
已知直线 与x轴交于点A，与y轴交于点B.若对直线l上的各点分别作同样的“a-变换”，点A，B变换后的对应点分别为
(1) 当 时，点 的坐标为 ；
(2) 若点 的坐标为(0, 6),则a的值为 ;
(3)以下三个结论：
①线段AB 与线段 始终相等；
与 始终相等；
与 的面积始终相等.
其中正确的是 (填序号)，并对正确的结论加以证明.
24. 在菱形ABCD中, M, N两点分别在AB, BC边上, BN. 连接DM, 取DM的中点K, 连接AK, NK.
(1)依题意补全图1，并写出 的度数；
(2)用等式表示线段NK与AK 的数量关系，并证明；
(3) 若 AC,B D的交点为O,连接OM,O K,四 边形A MOK能否成为平行四边形 若能，求出此时AM的长；若不能，请说明理由.
四、选做题
25.在单位长度为1的正方形网格中，如果一个凸四边形的顶点都是网格线交点，我们称其为格点凸四边形.如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ORST的四个顶点分别为O(0, 0), R(0, 5), S(8, 5), T(8, 0). 已知点E(2, 4), F(0, 3), G(4, 2). 若点 P 在矩形ORST 的内部, 以 P,E，F，G四点为顶点的格点凸四边形的面积为6，则所有符合题意的点 P的坐标为 .
26.在平面直角坐标系xOy中，对于正方形ABCD和它的边上的动点P，作等边△OPP'，且O，P，P'三点按顺时针方向排列，称点 P'是点 P 关于正方形ABCD 的 “友 好 点”. 已 知 A (-a, a), B (a, a), C (a, - a),D(-a, - a) (其中a>0).
(1)如图1，若a=3，AB的中点为M，当点P 在正方形的边AB 上运动时，
①若点 P 和点P 关于正方形ABCD 的“友好点”点P'恰好都在正方形的边AB上，则点 P'的坐标为 ；点M关于正方形 ABCD的“友好点”点M'的坐标为 ；
②若记点P关于正方形ABCD的“友好点”为P'(m，n)，直接写出n与m的关系式 (不要求写m的取值范围)；
(2) 如图2, E(-1, - 1), F(2, 2). 当点 P 在正方形ABCD的四条边上运动时，若线段EF上有且只有一个点 P 关于正方形ABCD 的“友好点”，求a的取值范围；
(3)当2≤a≤4时，直接写出所有正方形ABCD的所有“友好点”组成图形的面积.
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B D C D C B D A
二、填空题
9. x≥2. 10. 1; - 5. 11. 3. 12. 乙.
14. 2 ; 4. 15. 1. 16.①③.
三、解答题
17.解:
=--1.
18. 解: (1) 对于直线m: y=2x+6,
当x=0时, y=6;
当y=0时, 2x+6=0, 解得x=--3.
∴A(-3, 0), B(0, 6).
画图如图.
(2) 设直线l的解析式为y= kx+b (k≠0).
∵直线 m 向右平移3个单位长度得到直线 l，
∴l∥m.
∵直线m的解析式为y=2x+6,
∴k=2.
∵点A (-3,0)向右平移3个单位长度后的对应点为O(0,0),
∴b=0.
∴ 直线l的解析式为y=2x.
(3)答案不唯一，如：将直线 m 向下平移6个单位长度可得到直线 l.
19. 解: (1) 作图见图.
(2) 证明: 连接BC,
∵AP=AB=PC=BC,
∴四边形 PABC是菱形.
(四条边相等的四边形是菱形)
∴m∥l.(菱形的对边平行)
20. 解: (1) 证明: 如图1.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC.
∴∠AEC+∠EAF=180°.
∵AE⊥BC于点E, CF⊥AD 于点F,
∴∠AEC=∠EAF=∠AFC=90°.
∴四边形 AECF 是矩形.
(2) 如图2, 作 DG⊥BC, 交BC的延长线于点G.
∵在Rt△DBG中, ∠DGB=90°, ∠DBG=30°, BD=4
∵BC=5,
∴CG=BG-BC=1.
同理可得四边形 FCGD 是矩形.
∴DF=CG=1.
21. 解: (1) y=20x; 0≤x≤3;
(2) 60; 0.5.
(3) 如图.
∵小马在DE段的速度与在BC段的速度相同，
∴DE∥BC.
可设线段DE 的解析式为y=60x+b.
∵直线 y=60x+b经过点D(2, 30),
∴60×2+b=30.
解得b=-90.
∴线段 DE 的解析式为y=60x-90 (2≤x≤2.5).
∵点 F 为线段DE 和线段OA 的交点,
∴点F 的坐标是方程组 的解.
解得
∴点 F 的坐标为F(2.25, 45).
∵60-45=15,
∴小马第二次追上小徐时与乙地的距离为15 km.
22. 解: (1) m=9;
t=7, 9;
n=9;
(2) <.
23. 解: (1) (-4, 0).
(2)
(3) ③.
证明: ∵直线y=-2x+4与x轴交于点A, 与y轴交于点B,
∴A(2, 0), B(0, 4).
∵点 A，B变换后的对应点分别为A'，B'，
∴A′(2a, 0), B′(0, /a).
即③正确.
24. 解: (1) 补全图形见图1.
∠AKN=90°.
证明：如图2.
延长AK与CD 交于点E, 连接NM, NA, NE.
∵在菱形ABCD中, ∠ABC=60°,
∴AB=BC=CD=AD, AB∥DC, ∠BCD=120°.
∴∠MAK=∠DEK.
∵K 为DM 的中点,
∴MK=DK.
∵∠AKM=∠EKD,
∴△AMK≌△EDK.
∴AK=EK, AM=ED.
∴AB-AM=DC--ED, 即BM=CE.
∵BM=BN, ∠ABC=60°,
∴△BMN为等边三角形.
∴MN=BM=BN, ∠BMN=60°.
∴MN=CE, AM=NC,
∴∠AMN=∠NCE.
∴△AMN≌△NCE.
∴AN=NE, ∠MAN=∠CNE.
∵∠ANC=∠ABC+∠BAN,∠ANC=∠ANE+∠CNE,
∴∠ANE=∠ABC=60°.
∴△ANE为等边三角形, ∠NAK=60°,
∴NK⊥AE.
在Rt△ANK 中, ∠AKN=90°, ∠NAK=60°, 可得
(3)如图3，四边形AMOK 能成为平行四边形.
∵菱形ABCD的对角线AC, BD的交点为O,
∴BO=OD.
∵DM的中点为K,
∴OK 为△DMB的中位线.
∴BM=2OK.
∵四边形AMOK 为平行四边形，
∴AM=OK.
∴AB=AM+BM=AM+2OK=3AM.
∵AB=6,
四、选做题
25. 解: (6, 3), (5, 4), (7, 2), (2, 1).
26. 解: (1) ①( , 3);
(2)如图1所示时，直线( 经过E(-1, - 1),解得
如图2所示时，直线 经过F(2, 2),解得
(3) 48.

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