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昭通市第一中学2025年春季学期高二年级奖学金考试
数学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷第1页至第3页，第Ⅱ卷第3页至第6页．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟．
第Ⅰ卷（选择题，共58分）
注意事项：
1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚．
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 设全集，集合A满足，则（ ）
A. B. C. D.
2. 若复数，则在复平面内对应点坐标为（ ）
A. B. C. D.
3. 将函数的图象向右平移个最小正周期后，所得图象对应的函数为（ ）
A. B.
C D.
4. 已知两个非零向量，满足，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A B. C. D.
5. 已知函数是偶函数，则（ ）
A. B. C. 0 D. 1
6. 已知圆台的侧面展开图是半个圆环，侧面积为，则圆台上下面面积之差的绝对值为（ ）
A. B. C. D.
7. 在数列的项和之间插入i个i（，2，3，…，）构成新数列，则（ ）
A. 19 B. C. 20 D.
8. 已知，且，，则（）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 一组数据6，7，7，8，10，12，14，16，19，21的第30百分位数为7
B. 若事件A，B相互独立，且，，则事件A，B不互斥
C. 已知随机变量，若，则
D. 若随机变量服从正态分布，则函数为偶函数
10. 已知数列满足，的前n项和为，则（ ）
A. B. 数列为等差数列
C. ，，构成等比数列 D. 数列的前100项和为
11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 当时，函数与的图像恰有5个交点
C. 当时，函数的图象关于直线成轴对称图形
D. 当时，记函数的最小值为，则
第Ⅱ卷（非选择题，共92分）
注意事项：
第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效．
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 若角的终边经过点，则______．
13. 记双曲线的离心率为e，若直线与双曲线C有公共点，则离心率的取值范围为______．（请用区间表示）
14. 6根长度相同的绳子平行放置在桌面上，分别将左、右两边的6个绳头各自随机均分成3组，然后将每组内的两个绳头打结，则这6根绳子恰能围成一个大圈的概率为_____.
四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．已知．
（1）求角A；
（2）如图，的平分线交于D，，求的取值范围．
16. 21世纪汽车博览会在上海举行．某汽车模型公司共有25个汽车模型，其外观与内饰的颜色分布如表所示：
红色外观 蓝色外观
棕色内饰 8 12
米色内饰 2 3
现将这25个汽车模型进行编号．
（1）若小明从25个汽车模型编号中随机选取一个，记事件A为小明取到的模型为红色外观，事件B为小明取到的模型为米色内饰，求和；
（2）该公司举行了一个抽奖活动，规定在一次抽奖中，每人一次性从25个汽车模型编号中选取两个，给出以下抽奖规则：①选到两个模型会出现三种结果，即外观和内饰均同色、外观和内饰都异色以及仅外观或仅内饰同色；②按结果的可能性大小设置奖项，概率越小奖项越高；③该抽奖活动的奖金金额为一等奖600元、二等奖300元、三等奖150元．请你分析奖项对应的结果，设为奖金金额，写出的分布列，并求出的数学期望．
17. 已知函数．
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若有两个零点，求a的取值范围．
18. 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，且，侧面是正三角形，侧面底面，E为中点，作交于F．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面的夹角的余弦值；
（3）在平面内是否存在点Q．使得，若存在，求动点Q的轨迹长度；若不存在，请说明理由．
19. 已知圆心在轴上移动的圆经过点，且与轴、轴分别交于，两个动点．
（1）求点的轨迹的方程；
（2）过作直线与曲线相交于，两点．
（i），直线，与曲线的另一个交点分别为，，证明直线过定点，并求出该定点；
（ii）为点列，直线，与曲线另一个交点分别为，，若数列的前项和为，证明．
昭通市第一中学2025年春季学期高二年级奖学金考试
数学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷第1页至第3页，第Ⅱ卷第3页至第6页．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟．
第Ⅰ卷（选择题，共58分）
注意事项：
1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚．
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
【1题答案】
【答案】C
【2题答案】
【答案】B
【3题答案】
【答案】D
【4题答案】
【答案】C
【5题答案】
【答案】D
【6题答案】
【答案】C
【7题答案】
【答案】A
【8题答案】
【答案】B
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
【9题答案】
【答案】BCD
【10题答案】
【答案】BD
【11题答案】
【答案】ACD
第Ⅱ卷（非选择题，共92分）
注意事项：
第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效．
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
【12题答案】
【答案】##-0.96
【13题答案】
【答案】
【14题答案】
【答案】
四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
【15题答案】
【答案】（1）
（2）
【16题答案】
【答案】（1），
（2）分布列见解析，
【17题答案】
【答案】（1）
（2）
【18题答案】
【答案】（1）证明见解析；
（2）；
（3）不存在，理由见解析.
【19题答案】
【答案】（1）
（2）（i）证明见解析，定点为；（ii）证明见解析；

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