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2024年广东中山小榄中学高二下学期数学5月月考
一、单选题
1．根据分类变量与的成对样本数据，计算得到．已知，则依据小概率值的独立性检验，可以推断变量与（ ）
A．独立，此推断犯错误的概率是
B．不独立，此推断犯错误的概率是
C．独立，此推断犯错误的概率不超过
D．不独立，此推断犯错误的概率不超过
2．已知变量x，y之间的线性回归方程为，且变量x，y之间的一组相关数据如表所示，则下列说法正确的是（ ）
x 2 4 6 8
y 5 8.2 13 m
A．
B．变量y与x是负相关关系
C．该回归直线必过点
D．x增加1个单位，y一定增加2个单位
3．某市教育局为了解高三学生的学习情况，组织了一次摸底考试，共有50000名考生参加这次考试，数学成绩近似服从正态分布，其正态密度函数为且，则该市这次考试数学成绩超过110分的考生人数约为（ ）
A．2000 B．3000 C．4000 D．5000
4．若定义在 上的函数 的图象如图所示，则函数 的增区间为（ ）
A． B． C． D．
5．某电视台计划在春节期间某段时间连续播放6个广告，其中3个不同的商业广告和3个不同的公益广告，要求第一个和最后一个播放的必须是公益广告，且商业广告不能3个连续播放，则不同的播放方式有（ ）
A．144种 B．72种 C．36种 D．24种
6．对任意实数x，有，则（ ）
A． B． C． D．
7．若函数的值域为，则实数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
8．下图是一块高尔顿板示意图：在一块木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为用表示小球落入格子的号码，则下面计算错误的是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列导数运算正确的（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．是函数定义域内的极大值点
B．在上的最小值为
C．是函数定义域内的极小值点
D．在定义域内既无最大值又无最小值
11．已知事件A，B发生的概率分别为，则下列说法中正确的是（ ）
A．若A与B互斥，则 B．若，则
C．若A与B相互独立，则 D．若，则A与B相互独立
三、填空题
12．已知函数，则函数在上的最大值为___________．
13．统计学中通常认为服从于正态分布的随机变量X只取中的值，简称为原则．假设某厂有一条包装食盐的生产线，正常情况下食盐质量服从正态分布（单位：g），某天生产线上的检测员随机抽取了一包食盐，称得其质量大于415g，他立即判断生产线出现了异常，要求停产检修．由此可以得出，的最大值是__________．
14．在高三的一个班中，有的学生数学成绩合格，若从班中随机找出10名学生，那么数学成绩合格的学生人数则，则取最大值时________．
四、解答题
15．在）的展开式中，第2项、第3项、第4项的二项式系数成等差数列．
（1）求n的值
（2）求展开式中的第7项．
16．某校举办乒乓球与羽毛球比赛，要求每个学生只能报名参加其中一项．从报名参加比赛的学生中随机选取男生、女生各75人进行调查，得到如下列联表
a 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
性别 比赛项目 合计
乒乓球组 羽毛球组
男生 50 25 75
女生 35 40 75
合计 85 65 150
（1）根据表中数据，依据小概率值的独立性检验，分析该校学生选择乒乓球还是羽毛球是否与性别有关联．
（2）从调查的女生中，按组别采用比例分配的分层随机抽样的方法抽取15人．若从这15人中随机抽2人，记为抽到乒乓球组的学生人数，求的分布列及数学期望．
附：
17．已知函数．
（1）求的最小值；
（2）设，证明：
18．为了加快实现我国高水平科技自立自强，某科技公司逐年加大高科技研发投入．下图1是该公司2013年至2022年的年份代码x和年研发投入y（单位：亿元）的散点图，其中年份代码1-10分别对应年份2013-2022．根据散点图，分别用模型①，②作为年研发投入关于年份代码的经验回归方程模型，并进行残差分析，得到图2所示的残差图．结合数据，计算得到如下表所示的一些统计量的值：
表中
（1）根据残差图，判断模型①和模型②哪一个更适宜作为年研发投入关于年份代码的经验回归方程模型？并说明理由；
（2）根据（1）中所选模型，求出关于的经验回归方程，并预测该公司2028年的高科技研发投入．附：对于一组数据，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为．
75 2.25 82.5 4.5 120 28.35
19．己知函数，若函数在点处的切线方程为．
（1）求a，b的值；
（2）求的单调区间；
（3）当时，若存在常数，使得方程有两个不同的实数解，求证：．
参考答案
1．D 2．C 3．D 4．B 5．B 6．D 7．B
8．B
【解析】设“向右下落”，则“向左下落”，，
因为小球最后落入格子的号码等于事件发生的次数，
而小球下落的过程中共碰撞小木钉5次，所以，
对于A：，故A正确；
对于B：，故B错误；
对于C：，故C正确；
对于D：，故D正确；
故选：B．
9．A，C，D
10．B，C，D
11．A，C，D
【解析】对于A，已知A与B互斥，则，故A正确，
对于B，已知，则，故，故B错误，
对于C，若A与B相互独立，则，故C正确，
对于D，易知，故，则A与B相互独立，故D正确．
故选：ACD
12．
13．5
14．
【解析】由数学成绩合格的学生人数，可得，
则满足且，
解得且，所以，
所以取最大值时，实数的值为．
故答案为：．
15．
（1）
【解析】第2项、第3项、第4项的二项式系数成等差数列，即构成等差数列．
所以，即，且．
整理，得，解得或（舍去）．
（2）
【解析】，
令，则，
故展开式中的第7项为．
16．
（1）与性别有关联，理由见解析
【解析】，
故可以在的情况下，得到该校学生选择乒乓球还是羽毛球与性别有关联；
（2）
【解析】女生中，乒乓球组与羽毛球组选取人数比例为，
故选取的15人中，选取乒乓球组的有人，选取羽毛球组的有人，
故的可能取值为，
，
故的分布列为
X 0 1 2
P
数学期望为．
17．（1）因为，则，
令，得；令，得；
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以的最小值为．
（2）因为，
所以由，得，即，
令，则，
令，得；令，得；
所以在上单调递减，在上单调递增，
则，即恒成立，
所以．
18．【解析】
18．
（1）选择模型②，理由见解析
【解析】根据图2可知，模型①的残差波动性很大，说明拟合关系较差；模型②的残差波动性很小，基本分布在0的附近，说明拟合关系很好，所以选择模型②更适宜．
（2），预测该公司2028年的高科技研发投入亿元．
【解析】设，所以，
所以，
所以关于的经验回归方程为，
令，则，
即预测该公司2028年的高科技研发投入亿元．
19．
（1）因为，所以，
因为函数在点处的切线方程为，所以，即，
解得．
（2）由（1）可得是定义域为，
则，
因为，
所以当或时，当时，
所以的单调递减区间为，单调递增区间为．
（3）由（1）可得当时的单调递减区间为，单调递增区间为，
则在处取得极小值，
因为当时，存在常数，使得方程有两个不同的实数解，
即与有两个交点，则，
不妨设，则，
要证，
即证，又，所以．
因为在上单调递增，
所以只需证明，
又，则只需证明，
令，
则
，
令，则，
则在上单调递减，且，所以，
所以，即在上单调递减，
所以，
即在上恒成立，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，
则．

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