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2024-2025学年江苏省徐州市第三十七中学高一下学期5月月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.( )
A. B. C. D.
2.将一个直角三角形绕其一直角边所在直线旋转一周，所得的几何体为( )
A. 一个圆台 B. 两个圆锥 C. 一个圆柱 D. 一个圆锥
3.设为虚数单位，复数满足，则为 ．
A. B. C. D.
4.设函数则( )
A. B. C. D.
5.已知向量，满足，，则在方向上的投影向量为( )
A. B. C. D.
6.如图，由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，已知，则( )
A. B. C. D.
7.某数学兴趣小组要测量一个球体建筑物的高度，已知点是球体建筑物与水平地面的接触点切点，地面上，两点与点在同一条直线上，且在点的同侧．若小明同学在，处分别测得球体建筑物的最大仰角为和，且米，则该球体建筑物的高度为 米．
A. B. C. D.
8.如图所示，在直三棱柱中，棱柱的侧面均为矩形，，，，是上的一动点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列化简正确的是( )
A. B.
C. D.
10.下列说法中正确的有( )
A. 若与是共线向量，则点，，，必在同一条直线上
B. 若向量，，则
C. 若平面上不共线的四点，，，满足，则
D. 若非零向量，满足，则与的夹角是
11.在棱长为的正方体中，动点在正方形包括边界内运动，且满足平面，则下列结论正确的是( )
A. 线段长度的最小值为
B. 三棱锥的体积为定值
C. 异面直线与所成角正弦值的取值范围为
D. 若动点在线段上，则线段长度的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知非零向量满足，且，则与的夹角为 ．
13.如图所示，已知平面，则 ．
14.刻画空间弯曲性是几何研究的重要内容，用“曲率”刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制例如，正四面体的每个顶点有个面角，每个面角为，所以正四面体在各顶点的曲率为在底面为矩形的四棱锥中，底面，，与底面所成的角为，在四棱锥中，顶点的曲率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知平面向量，满足，，．
求；
若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围．
16.本小题分
如图，在长方体中，，，点和点在棱上，且．

求证：平面；
求证：．
17.本小题分
已知函数．
解不等式；
若对任意的恒成立，求的取值范围．
18.本小题分
如图，为半球的直径，为上一点，为半球面上一点，且．
证明：；
若，，求直线与平面所成的角的正弦值．
19.本小题分
在中，，点在边上，且
若的面积为，求边的长；
若，求．
参考答案
1.
2.
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4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：依题意，，得，
，
所以；
由向量与的夹角为锐角，可得，即有，解得，
而当向量与同向时，可知，
综上所述的取值范围为．

16.解：在长方体中，，点和点在棱上，且，
连接、，设，连接，
则为的中点，又为的中点，所以，
又平面，平面，所以平面．
在长方体中，，则为正方形，
所以，
平面，平面，所以，
，平面，所以平面，
平面，所以，
又，，，，
所以，所以，所以，
又，所以，
所以，
又，平面，
所以平面，又平面，所以．


17.解：依题意，
，由，得，
则，解得，
所以不等式的解集为．
由，得，
由，得，即有，
令，，
原不等式化为，即，显然函数在上单调递增，
则当时，，因此，
所以的取值范围．

18.解：证明：因为为半球的直径，为上一点，
所以，
又因为，
，
平面，
所以平面，
又因为平面，
所以，
又因为为半球面上一点，
所以，
，
平面，
所以平面，
平面，
所以；
解：因为三角形为直角三角形，
，
所以，
又因为，平面，
所以，
又因为三角形也是直角三角形，
所以．
所以，
，
设点到平面的距离为，
则有，
即，
所以，
设直线与平面所成的角为，
则．

19.解：在中，由题意有，
且注意到，，
所以有，解得，
如图所示：
在中，由余弦定理有，
代入数据得，
所以．
由题意，所以设，
则，
设，
在中，由正弦定理有，
代入数据得，
在中，由正弦定理有，
代入数据得，
又，
所以以上两式相比得，即，
所以有 ，
所以，
所以，或
又，且，
所以，
所以解得或．

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