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2024-2025学年云南省保山市腾冲市益群中学高一下学期5月月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若为虚数单位，则复数在复平面上对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.若集合，则( )
A. B. C. D.
3.若，则的值为( )
A. B. C. D.
4.已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图和图所示，为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取的学生进行调查，则样本容量和抽取的初中生中近视人数分别为( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
5.某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为( )
A. B. C. D.
6.已知四棱锥的底面是边长为的正方形，，则四棱锥的外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
7.已知函数在上图像关于轴对称，若对于，都有，且当时，，则的值为( )
A. B. C. D.
8.给定两个长度为的平面向量和，它们的夹角为如图所示点在以为圆心为半径的圆弧上运动则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，若，则( )
A. B.
C. D.
10.已知一组样本数据，其中为正实数满足，下列说法正确的是( )
A. 样本数据的第百分位数为
B. 去掉样本的一个数据，样本数据的极差可能不变
C. 若数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在左边“拖尾”，则样本数据的平均数小于中位数
D. 样本数据的方差，则这组样本数据的总和等于
11.在正方体中，若点分别为的中点，则( )
A. 平面 B. 平面
C. 平面 D. 平面
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，且，则 ．
13.函数的值域为，则实数的取值范围是 ．
14.已知为正四棱锥，从，，，，五点中任取三点，则取到的三点恰好在同一个侧面的概率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在棱长为的正方体中，点分别为棱，的中点．
求证：平面；
求三棱锥的体积．
16.本小题分
中，，，．
求；
点在边上，，求的面积．
17.本小题分
已知二次函数
若为偶函数，求在上的值域；
当时，恒成立，求实数的取值范围．
18.本小题分
如图，在梯形中，，，，，在线段上．

若，用向量，表示，；
若与交于点，，，，求的值．
19.本小题分
定义：如果在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，那么称为，两点间的曼哈顿距离．
已知，两个点的坐标为，，如果它们之间的曼哈顿距离不大于，那么的取值范围是多少？
已知，两个点的坐标为，，如果它们之间的曼哈顿距离恒大于，那么的取值范围是多少？
若点在函数图象上且，点的坐标为，求的最小值并说明理由．
参考答案
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13.
14.
15.因为点分别为棱的中点，且，
所以，且，即四边形为平行四边形．
所以．
因为平面，平面，，
所以平面．
因为是三棱锥的底面上的高，
又三角形的面积为，
．

16.由余弦定理，得：
，
所以，
由正弦定理，得：，
则．
因为，所以为锐角，，
在中，设，由余弦定理得：，
即，解得：，即，
所以．

17.函数定义域为，由是偶函数，得，
即，
整理得，而不恒为，
因此，函数，
当时，在上单调递减，在上单调递增，
于是，又，，则，
所以在上的值域是；
不等式，
依题意，，，而对勾函数在上单调递减，
当时，，
即当时，，则，解得，
所以实数的取值范围是．
18.依题意，
．
因为，
所以，
所以．
因为，所以，
所以，即，解得或．
连接交于，因为，所以，所以，
则．
因为在线段上，所以，故．


19.因为，，故，
由曼哈顿距离不大于，得，
当时，，解得；
当时，，解得；
当时，，解得．
综上，的取值范围是．
因为，
故，
由题意可得恒成立，
因为，
当且仅当时等号成立，即的最小值为，
所以，则或，解得或．
故的取值范围是．
点在函数图象上且，点的坐标为，
故
当时，，函数在上单调递增，
故，
当且仅当时取等号．
当时，．
令，由于，故，．
当时，，
函数在上单调递减，故，
当且仅当时取等号．
综上可知，的最小值为．
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