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2024-2025学年云南省保山市腾冲市第八中学高一下学期5月月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若，则的值为( )
A. B. C. D.
2.下列关于点、线和面的关系表示错误的是( )
A. 点平面 B. 直线平面
C. 直线平面 D. 平面平面
3.已知中，向量，，则( )
A. B. C. D.
4.正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图如图，则原图形的周长是( )
A. B. C. D.
5.若平面向量两两的夹角相等，且，则( )
A. B. C. 或 D. 或
6.如图，平面内有三个向量，其中与的夹角为，与的夹角为，且，若，则( )
A. B. C. D.
7.已知圆台的上下底面半径分别为和，高为，则该圆台的侧面积为( )
A. B. C. D.
8.已知函数的最小正周期为，的图象关于轴对称，且在区间上单调递增，则函数在区间上的值域为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.有下列命题，其中错误的命题为( )
A. 有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
B. 有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱
C. 有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱
D. 直四棱柱是直平行六面体
10.已知为虚数单位，以下四个说法中正确的是( )
A.
B. 若，则复平面内对应的点位于第二象限
C. 已知复数且，则
D. 若复数是纯虚数，则或
11.如图甲所示，古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出相等的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有眼，阴鱼的头部有个阳殿，表示万物都在相互转化，互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律其平面图形记为图乙中的正八边形，其中，则以下结论正确的是( )
A. 与的夹角为 B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若扇形的圆心角，弦长，则弧长 ．
13.若，为虚数单位，则的实部为 ．
14.如图，在三棱柱中，平面平面，平面平面，，分别为的中点，与底面所成角为，二面角的正切值为，则几何体的体积为 ；四棱锥的外接球的表面积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在平面直角坐标系中，以轴为始边作两个锐角、，它们的终边分别与单位圆相交于、两点，已知点、的横坐标分别，．
求，的值；
求的值．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，棱底面，且，，，是的中点．
求证：平面；
求三棱锥的体积．
17.本小题分
在中，，．
求；
若的周长为求的面积．
18.本小题分
如图，是棱长为的正方体，为面对角线上的动点不包括端点，平面交于点，于．
试用反证法证明直线与是异面直线；
设，将长表示为的函数，并求此函数的值域；
当最小时，求异面直线与所成角的大小．
19.本小题分
已知，，且为偶函数．
求实数的值；
若方程有且只有一个实数解，求实数的取值范围．
参考答案
1.
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15.【详解】因为点、是单位圆上的点，，，且、为锐角，如图，
所以、两点的纵坐标分别为，，
故由三角函数的定义可知，．
．
由三角函数的定义可得，，则，
所以．

16.【详解】证明：取中点，连接，
如图所示：
因为底面，底面，
所以，又且，
所以平面，又平面，
所以．
又，为的中点，
，又，
平面，
在中，分别为中点，，
又，，
，，
四边形是平行四边形，
，
则平面．
由知，
，又，且，
平面，
是三棱锥的高，
又四边形为矩形，且，，
所以，
．

17.【详解】因为，所以．
若，则，从而，均为钝角这不可能，
故，，．
所以
，
因为所以．
由知，
由正弦定理得．
设，则，，则的周长为，
解得，从而，，
故的面积．

18.【详解】证明：假设直线与是共面直线，
设直线与都在平面上，则、、、．
因此，平面、平面都与平面有不共线的三个公共点，
即平面和平面重合都与平面重合，
这与长方体的相邻两个面不重合矛盾，
于是，假设不成立，
直线与是异面直线；
解：正方体的棱长为，，
设，则，得，
，，得，
，
当时，有最小值为，当时，，
函数的值域为；
当时，最小，此时，
在底面中，，，，
又，为异面直线与所成角的角，
在中，为直角，，
，
异面直线与所成角的大小为．

19.【详解】由，可知，
又为偶函数，所以有，即，
化简得，即，
所以，得．
经检验，当时，对任意成立，即满足为偶函数．
故所求的值为．
由可知，即方程有且只有一个实数解，
显然，所以上述方程可化为，
即方程有且只有一个实数解，
令且，
则关于的方程有且只有一个不为和的正根，
，
当时，．
若，则方程化为，
此时方程的解为，符合题意．
若，则方程化为，
此时方程的解为，不符题意，故舍去．
当时，需满足即解得．
当时，即为方程的解时，．
当时．
所以当方程有两根，有且只有一个不为和的正根时，．
综上可知，当或时，方程有且只有一个实数解．

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