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2024-2025学年广东省佛山市顺德区元培实验中学高二下学期第二次阶段考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知等差数列的前项和为，若，则( )
A. B. C. D.
2.已知函数的导函数的图象如图所示，则下列判断正确的是( )
A. 为的极小值点 B. 为的极大值
C. 在区间上，是增函数 D. 在区间上，是减函数
3.已知则( )
A. B. C. D.
4.已知某地市场上供应的一种电子产品中，甲厂产品占，乙厂产品占，甲厂产品的合格率是，乙厂产品的合格率是，则从该地市场上买到一个合格产品的概率是( )
A. B. C. D.
5.函数，的最大值为( )
A. B. C. D.
6.甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立，则两局比赛后结束的概率为( )
A. B. C. D.
7.已知数列的前项和为，且，，则的值为( )
A. B. C. D.
8.已知，，，则的大小关系为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列函数求导运算正确的是( )
A. B.
C. D.
10.在数列中，，，，是数列的前项和，则( )
A. 数列是等比数列 B. 数列是等差数列
C. D.
11.已知在的二项展开式中，第项为常数项，则( )
A. B. 展开式中系数的绝对值最大的项是第项
C. 含的项的系数为 D. 展开式中有理项的项数为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知数列的前项和为，那么该数列的通项公式为 ．
13.的展开式中，的系数为，则 用数字填写答案
14.函数的图象如图所示，为函数的导函数，则不等式的解集为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列的前项和为，且满足．
求数列的通项公式；
已知，求数列的前项和为．
16.本小题分
甲、乙两位同学进行摸球游戏，盒中装有个大小和质地相同的球，其中有个白球，个红球．
甲、乙先后不放回地各摸出个球，求两球颜色相同的概率；
甲、乙两人先后轮流不放回地摸球，每次摸个球，当摸出第二个红球时游戏结束，或能判断出第二个红球被哪位同学摸到时游戏也结束．设游戏结束时甲、乙两人摸球的总次数为，求的分布列和期望．
17.本小题分
已知函数在处取得极值．
求函数的解析式及单调区间；
求函数在区间的最大值与最小值．
18.本小题分
如图，四边形是正方形，平面，，，分别为的中点．
求证：平面；
求平面与平面夹角的大小．
19.本小题分
已知数列中，，．
证明数列是等比数列，并求的通项公式；
数列满足，设为数列的前项和，求使恒成立的最小的整数．
设，求数列的前项和．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】【详解】，
当时，，解得，
当时，，
式子得，故，
因为，所以，所以，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以；
，
．

16.【答案】【详解】两球颜色相同分为都是红球或白球，其概率为；
依题意，，，，
，
，就是前个一个是红球，一个是白球，第个是红球， ，
，就是前个有个白球一个红球，第个是红球，或前四个全是白球，
，
，分为前个球中有个白球个红球，第个是红球，或者是前个球中个白球一个红球，
第个是白球 ，
分布列为：
数学期望；

17.【答案】【详解】，
由题意得，即，解得，
故解析式为，定义域为，
令，令得或，
令得，
故在上单调递增，在上单调递减，
显然为极小值点，故，
单调递增区间为，单调递减区间为，
由知，在上单调递增，在上单调递减，
表格如下：
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
又，
故的最大值为，最小值为．

18.【答案】【详解】由题知分别为的中点，
所以是的中位线，即，
又平面，平面，
所以平面．
平面，而，平面，
所以，，由于四边形是正方形，所以，
所以两两垂直，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，
如图所示，又，分别为的中点，
则，
所以，
，，，，
设平面的一个法向量，
则，取，，，则，
设平面的一个法向量为，
则，取，，则，
设平面与平面夹角的大小为，
所以，
又，所以，即平面与平面夹角的大小为．

19.【答案】【详解】在数列中，由，得，
则，
所以数列是以为公比，以为首项的等比数列，
则，解得，所以的通项公式．
由知．
所以，
则，
两式相减得：
．
因此，，
当时，，
所以由恒成立，可得，
所以使恒成立的最小的整数为；
，
所以
．

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