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2024-2025学年福建省厦门市大同中学高二下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.某班有名男生，名女生，从中选一名同学作为数学课代表，则不同的选法有种．
A. B. C. D.
2.函数在区间上的平均变化率为( )
A. B. C. D.
3.已知函数，它们在平面直角坐标系中的图象如图所示，则的大小关系是( )
A. B.
C. D.
4.设函数，则 ．
A. B. C. D. 以上均不正确
5.已知函数，则( )
A. B. C. D.
6.下列选项正确的是( )
A. B.
C. D.
7.函数( )
A. 在上是增函数
B. 在上是减函数
C. 在上单调递增，在上单调递减
D. 在上单调递减，在上单调递增
8.某制造商制造并出售球形瓶装的某种液体材料瓶子的制造成本是分，其中单位：是瓶子的半径已知每出售的液体材料，制造商可获利分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为，则当每瓶液体材料的利润最大时，瓶子的半径为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若函数在处存在导数，则的值( )
A. 与有关 B. 与有关 C. 与无关 D. 与无关
10.当时，函数与函数的图象的交点个数可能为( )
A. B. C. D.
11.定义在上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是( )
A. 函数在上单调递减 B. 函数在上单调递减
C. 函数在处取得极小值 D. 函数在处取得极大值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.极限 ．
13.设为曲线上的点，且曲线在点处切线的倾斜角的取值范围为，则点横坐标的取值范围为 ．
14.已知是定义在上的偶函数，且当时，，则满足的的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
求函数在处的导数．
16.本小题分
求下列函数的导数：
；
；
．
17.本小题分
某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量单位：关于行驶速度单位：满足函数关系已知甲、乙两地相距问：当汽车保持怎样的速度匀速行驶时，从甲地到乙地的耗油量最小？
18.本小题分
已知函数．
求在点处的切线方程；
当时，求在区间上的最大值．
19.本小题分
已知函数．
当时，求曲线在处的切线方程；
讨论函数的零点个数．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.【详解】解：，
，．

16.【详解】

17.【详解】当行驶速度为时，汽车从甲地到乙地的行驶时间为，
设耗油量为，则，
，
恒成立，当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，
，
当汽车保持的速度匀速行驶时，从甲地到乙地的耗油量最小．

18.【详解】，
．
．
在处的切线方程为，即．
由Ⅰ可知．
令，可得或．
当变化时，与的变化情况如下表所示．
单调递减 极小值 单调递增
在上单调递减，在上单调递增．
当，即时，．
当，即时，．
所以当时，的最大值为；当时，的最大值为．

19.【详解】当时，函数，可得，
所以，，
可得切线方程为，即．
所以曲线在处的切线方程为．
由函数的定义域为，且，
当时，，函数单调递增；
当时，函数单调递减，
所以函数在处取得极大值为，
当时，，恒成立，函数无零点；
当时，，函数有唯一零点；
当时，，
因为，所以函数在上有一个零点，
易得，
令，则，
所以函数在上单调递减，则，所以，
所以函数在上有一个零点，
所以函数在上有两个零点．
综上可得，当时，函数无零点；当时，函数有唯一零点；
当时，函数有两个零点．

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