资源简介

2024-2025学年福建省莆田市莆田第十中学高二下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知函数，则( )
A. B. C. D.
2.已知，，不共面，若，，且三点共线，则( )
A. B. C. D.
3.甲、乙、丙、丁、戊、己人站成一排拍合照，要求甲必须站在中间两个位置之一，且乙、丙人相邻，则不同的排队方法共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
4.定义在区间上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论不正确的是( )
A. 函数在区间上单调递增 B. 函数在区间上单调递减
C. 函数在处取得极大值 D. 函数在处取得极小值
5.数列，，，，的一个通项公式是( )
A. B. C. D.
6.的展开式中含项的系数为( )
A. B. C. D.
7.已知，，且，则下列选项中不正确的是( )
A. B.
C. D.
8.已知，对任意，且时，不等式恒成立，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列运算错误的是( )
A. B. C. D.
10.若，则下列结论中正确的是( )
A. B.
C. D.
11.已知正四棱台，棱台的高为分别为，的中点，则( )
A. 平面
B. 异面直线与所成角的余弦值为
C. 点到平面的距离为
D. 平面与平面所成角的余弦值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数，则曲线在处的切线方程为 ．
13.已知数列中，，且满足，是等比数列，则的值为 ．
14.已知事件满足：，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
求的单调区间；
求在区间上的最大值和最小值．
16.本小题分
已知是各项均为正数的等比数列，其前项和为，，，，成等差数列．
求数列的通项公式；
若，求数列的前项和．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，为中点，点在上，且．
求证：平面；
求平面与平面夹角的余弦值；
18.本小题分
第三次人工智能浪潮滚滚而来，以发布为里程碑，开辟了人机自然交流的新纪元所用到的数学知识并非都是遥不可及的高深理论，概率就被广泛应用于中某学习小组设计了如下问题进行探究：甲和乙两个箱子中各装有个大小相同的小球，其中甲箱中有个红球个白球，乙箱中有个红球个白球．
从甲箱中随机抽出个球，在已知抽到红球的条件下，求个球都是红球的概率；
抛一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于，从甲箱子随机抽出个球；如果点数大于等于，从乙箱子中随机抽出个球求抽到的球是红球的概率；
在的条件下，若抽到的是红球，求它是来自乙箱的概率．
19.本小题分
对于函数与定义域上的任意实数，若存在常数，，使得和都成立，则称直线为函数与的“分界线”．
若函数，，，求函数和的“分界线”；
已知函数满足对任意的，恒成立．
求实数的值；
设函数，试探究函数与是否存在“分界线”若存在，请加以证明，并求出，的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.函数定义域为，，
当或时，，当时，，即在，上递增，在上递减，
所以的递减区间为，递增区间为和．
由知，在上单调递增，在上单调递减，
因此，在区间上的最大值为，而，，即有，
所以在区间上的最大值为，最小值为．

16.设等比数列的公差为，则，
由，，成等差数列可得，即，
又，所以，即，解得或舍，
所以；
由可得，所以，
所以．

17.，，．
，
，即．
又，且，且直线均在平面内，
平面．
平面平面，平面平面．
又，平面，
平面，又因为面，
．
由已证，且已知，以为原点，建立空间直角坐标系如图所示，

则，，，，，
，，，，
为的中点，，
又，，
设平面的法向量为，则
令，则，，，
由可知，平面，
平面的法向量为，
，
平面与平面夹角的余弦值为．

18.记事件表示“抽出的个球中有红球”，事件表示“两个球都是红球”，
则，故
设事件表示“从乙箱中抽球”，则事件表示“从甲箱中抽球”，事件表示“抽到红球”，
则，
可得
在的条件下．

19.令，
取，则，
进而有，即且，
解得，
故函数和的“分界线”为．
因为对任意的，恒成立，
所以对恒成立，
令，，
当时，恒成立，从而在上单调递减，
又，所当时，与题意矛盾，舍去；
当时，令，解得；令，解图，
从而在上单调递增，在上单调递减，
．
由题意可知，即，也即，
令，，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，从而．
又，所以，此时．
设，
则．
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增．
是函数的极小值点，也是最小值点，
．
函数与的图象在处有公共点．
设与存在“分界线”且方程为：．
令函数．
由，即在上恒成立，
即在上恒成立，
此时成立，
，故．
(ⅱ)下面再证明：恒成立．
设，则．
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减．
时，取最大值，则恒成立．
综上(ⅰ)和(ⅱ)知且，
故函数与存在分界线为，
此时，．

第1页，共1页

展开更多......

收起↑