资源简介

2024-2025学年广西柳州市铁一中学高二下学期4月期中
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则( )
A. B. C. D.
2.若，则( )
A. B. C. D.
3.已知，则( )
A. B. C. D.
4.已知圆和直线，则“”是“直线与圆有公共点”的( )
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
5.已知，，，则的大小关系是( )
A. B. C. D.
6.已知向量，满足，且，则( )
A. B. C. D.
7.已知抛物线的焦点为，，点在抛物线上，且，则( )
A. B. C. D.
8.已知数列的首项为，且，设数列中不在数列中的项按从小到大的顺序排列构成数列，则数列的前项和为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，展开式中的所有项的二项式系数和为，下列说法正确的是( )
A. B.
C. D.
10.关于下列命题中，说法正确的是( )
A. 若事件、相互独立，则
B. 数据，，，，，，，，，的第百分位数为
C. 已知，，则
D. 已知，若，则
11.若两曲线与存在公切线，则正实数的取值可能是( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知是公差不为的等差数列，且，，成等比数列则该等比数列的公比为 ．
13.已知空间四边形中，，，，若二面角的大小是，则该几何体的外接球表面积为 ．
14.双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．由此可得，过双曲线上任意一点的切线，平分该点与两焦点连线的夹角．已知分别为双曲线的左、右焦点，过右支上一点作双曲线的切线与轴交于点，设为的内心，且，则 ， ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
记的内角，，所对的边分别为，，，已知．
求角；
若，求外接圆面积的最小值．
16.本小题分
如图，三棱台中，是正三角形，平面，，，分别为棱的中点．
证明：平面；
求直线与平面所成的角的正弦值．
17.本小题分
已知椭圆斜率为的直线与椭圆交于两点，以为底边作等腰三角形，顶点为．
求椭圆的离心率；
求的面积．
18.本小题分
某公司研发了一种帮助家长解决孩子早教问题的萌宠机器人，它结合了人工智能、语音识别、互动娱乐和教育等内容，且云端内容可以持续更新，旨在通过趣味性和互动性帮助孩子学习和发展萌宠机器人一投放市场就受到了很多家长欢迎，为了更好的服务广大家长，该公司对萌宠机器人的某个性能指数与孩子的喜爱程度进行统计调查，得到如下数据表：
请根据上表提供的数据，通过计算变量的相关系数，回答是否可以认为该性能指数与孩子的喜爱程度相关性很强当时，与相关性很强；
机器人的交互性很强，孩子可以通过输入语音给机器人发布执行指令机器人执行命令的正确率为，出错率为当机器人正确执行命令时，使用者满意的概率为；当机器人执行出错时，使用者满意的概率为如果使用者对某次命令执行结果表示不满意，求机器人实际正确执行命令的概率是多少？
该公司科技人员小李想挑战萌宠机器人，他和机器人比赛答题，他们每人答个题，若小李答对题数不小于，则挑战成功已知小李答对前两道题的概率均为，答对后两道题的概率均为假设每次答题相互独立，且互不影响，当时，求小李挑战成功的概率的最大值．
参考公式：相关系数．
19.本小题分
已知函数
当时，求的零点个数；
若，求的最大值；
证明：．
参考答案
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.由，根据正弦定理，
则，
即，由，则，
由，即，则，解得．
由余弦定理可得，
当且仅当时，等号成立，则的最小值为，
设的外接圆的半径为，由正弦定理可得，则的最小值为，
所以外接圆面积的最小值为．
16.因为是正三角形，为中点，所以，
因为平面平面，所以，
又平面
所以平面
又因为平面，所以，
连接，易得，
所以，所以，
又因为，所以，
因为，平面，
所以平面．
取中点，连接，易知三条直线两两垂直，
以为坐标原点，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，
则，
由知平面的一个法向量为，又，
所以，
所以直线与平面所成的角的正弦值为．
17.由已知有，，故，所以离心率．
如图，设，，的中点为．
则由，可知．
而，故．
所以，从而在直线上
由知，故，结合可知直线的方程为．
所以是直线和的交点，故．
而，故的方程为，与椭圆联立解得，．
所以，，故．
18.由表知，，
，
，
，
，
则，
由此可以认为该性能指数与孩子的喜爱程度相关性很强．
设事件为机器人执行命令正确”，事件为“机器人执行命令错误”，
事件为“使用者不满意”，
则，，
，，
则，
所以．
当小李答对题数为时，概率为：
，
当小李答对题数为时，概率为：，
所以小李挑战成功的概率为：，
由，，，
则，当且仅当时等号成立，
所以，由二次函数的知识可知，
当时，小李挑战成功的概率最大，最大为．
19.当时，，所以，
令，则，
所以在上单调递减，即在上单调递减，
又，则的解集为，则的解集为，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，
又因为，
所以存在，使得，
所以有两个零点．
由，得，下证当时，，
令，则，
令，则，
所以在上单调递减，又，则的解集为，则的解集为，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以，即，
所以的最大值为．
证明：由可得，当且仅当时取等号，
所以，所以
且因为当时，
所以，
所以
即．
第1页，共1页

展开更多......

收起↑