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2024-2025学年江西省崇义中学高二下学期质检
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知等差数列的前项和为，则( )
A. B. C. D.
4.函数在处有极小值，则的值等于( )
A. B. C. D.
5.若函数且的图象恒过定点，则函数的单调递增区间为( )
A. B. C. D.
6.已知非负实数满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.已知为函数的导函数，当时，有恒成立，则下列不等式一定成立的是( )
A. B.
C. D.
8.定义“等方差数列”：如果一个数列从第二项起，每一项的平方与它的前一项的平方的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等方差数列，这个常数叫做该数列的方公差．设数列是由正数组成的等方差数列，且方公差为，，则数列的前项和( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列各式中不正确的是( )
A. B. C. D.
10.数列的前项和为，已知，则( )
A. B. 是递减数列
C. 当时， D. 当或时，取得最大值
11.定义在上的函数满足：对于定义域上的任意，当时，恒有，则称函数为“理想函数”给出下列四个定义域为的函数，其中能被称为“理想函数”的有( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若，则实数的取值范围是 用区间表示
13.已知函数是的导函数，则 ．
14.将正方形分割成个全等的小正方形图、图分别给出了的情形，在每个正方形的顶点各放置一个数，使位于正方形的四边及平行于某边的任一直线上的数都分别依次成等差数列若顶点处的四个数互不相同且和为，记所有顶点上的数和为，则有， ，， ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
计算：；
化简：
16.本小题分
已知首项不为的正项数列，其前项和为，且点在直线上
求数列的通项公式；
设，求数列的前项和．
17.本小题分
已知函数，且，求：
的值；
曲线在点处的切线方程；
函数在区间上的最大值．
18.本小题分
已知是自然对数的底数，．
若是偶函数，求实数的值；
在的条件下，用单调性定义证明函数在上是增函数；
在的条件下解不等式
19.本小题分
已知集合，，，若，，或，则称集合具有“包容”性．
判断集合和集合是否具有“包容”性；
若集合具有“包容”性，求的值；
若集合具有“包容”性，且集合的子集有个，，试确定集合．
参考答案
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14
15.解：原式．
原式．

16.解：由题意得，所以，
故当时，，两式相减得，，
整理化简得，，因为，所以，
因为，解得或舍去，
故数列为首项为，公差为的等差数列，所以；
由得，所以，
所以数列的前项和．

17.解：，
，解得：
由知，所以，
曲线在点处的斜率为，
所以切线方程，即，
即．
由可知：，，
令，解得，
故当时，，所以单调递减；
当时，，所以单调递增；
所以区间内，当或时可能取最大值，
又，
所以最大值为．

18.解：由是偶函数，得，即，
整理得，而不恒为，
所以．
由知，，任取
则，
由，得，即，则，
因此，所以函数在上是增函数．
由知，不等式化为：，
由知，，解得或，
所以原不等式的解集为．

19.解：Ⅰ集合中的，，
所以集合不具有“包容”性．
集合中的任何两个相同或不同的元素，相加或相减，得到的两数中至少有一个属于集合，所以集合具有“包容”性．
Ⅱ已知集合具有“包容”性，记，则，
易得，从而必有，
不妨令，则，且，
则，
且，
当时，若，得，此时具有包容性；
若，得，舍去；若，无解；
当时，则，由且，可知无解，
故．
综上，．
Ⅲ因为集合的子集有个，所以集合中共有个元素，且，又，且中既有正数也有负数，
不妨设，
其中，，，
根据题意，
且，
从而或．
当时，，
并且由，得，由，得，
由上可得，并且，
综上可知；
当时，同理可得．
综上，中有个元素，且时，符合条件的集合有个，
分别是，，，
或．

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