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2024-2025学年河北省邢台市翰林学校高二下学期第四次质量检测
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.盒子中有个大小和形状均相同的小球，其中白球个，红球个，每次摸出个球若摸出的红球个数为，则( )
A. B. C. D.
2.学校要从名候选人中选名同学组成学生会．已知恰有名候选人来自甲班，假设每名候选人都有相同的机会被选中，则甲班恰有名同学被选中的概率为( )
A. B. C. D.
3.若，则( )
A. B. C. D.
4.某工厂生产了一批产品，需等待检测后才能销售检测人员从这批产品中随机抽取了件产品来检测，现已知这件产品中有件正品，件次品，从中不放回地取出产品，每次件，共取两次已知第一次取得次品，则第二次取得正品的概率是( )
A. B. C. D.
5.的展开式中，含项的系数为( )
A. B. C. D.
6.甲、乙等名学生参加学校运动会志愿者服务，每个人从“检录组”“计分组”“宣传组”三个岗位中随机选择一个岗位，每个岗位至少有一名志愿者，则甲、乙两人恰选择同一岗位的概率为( )
A. B. C. D.
7.为了检测自动流水线生产的食盐质量，检验员每天从生产线上随机抽取包食盐，并测量其质量单位：由于存在各种不可控制的因素，任意抽取的一袋食盐的质量与标准质量之间存在一定的误差，已知这条生产线在正常状态下，每包食盐的质量服从正态分布假设生产状态正常，记表示每天抽取的包食盐中质量在之外的包数，若的数学期望，则的最小值为( )附：若随机变量服从正态分布，则．
A. B. C. D.
8.某地区居民的肝癌发病率为，现用甲胎蛋白法进行普查，医学研究表明，化验结果是可能存有误差
的．已知患有肝癌的人其化验结果呈阳性，而没有患肝癌的人其化验结果呈阳性，现在某人的化验结果呈阳性，则他真的患肝癌的概率是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的有( )
A. 若随机变量的数学期望，则
B. 若随机变量的方差，则
C. 将一枚硬币抛掷次，记正面向上的次数为，则服从二项分布
D. 从男女共名学生中随机选取名学生，记选出女生的人数为，则服从超几何分布
10.已知随机变量的分布列为
若，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
11.已知在某一次学情检测中，学生的数学成绩服从正态分布，其中分为及格线，分为优秀线，则下列说法正确的是( )附：随机变量服从正态分布，则，，
A. 学生数学成绩的期望为 B. 学生数学成绩的标准差为
C. 学生数学成绩及格率不超过 D. 学生数学成绩的优秀率约等于
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知随机变量，若，则 ．
13.二项式的常数项为 用具体数值表示．
14.设函数，，若，，使得，则实数的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在二项式的展开式中
求各二项式系数的和；
求含的项的系数．
16.本小题分
在一次购物抽奖活动中，假设张奖券中有一等奖奖券张，可获价值元的奖品，有二等奖奖券张，每张可获价值元的奖品，其余张没有奖品．顾客甲从张奖券中任意抽取张，求中奖次数的分布列．
17.本小题分
解答下列问题，要求列式并计算结果：
某影城有一些电影新上映，其中有部科幻片部文艺片部喜剧片，小明从中任选部电影观看，不同的选法种数有多少种；
用这个自然数，可以组成多少个没有重复数字的三位数；
有本不同的语文书，本不同的数学书，本不同的英语书，从中选出不同学科的本书，则不同的选法有多少种；
个不同的球放入个不同的盒子，每个盆子放球的数量不限，共多少种放法？
18.本小题分
某闯关游戏共设置道题，参加比赛的选手从第题开始答题，一旦答错则停止答题，否则继续，直到答完所有题目．设选手甲答对第题的概率为，甲答对题序为的题目的概率，，各题回答正确与否相互之间没有影响．
若甲已经答对了前题，求甲答对第题的概率；
求甲停止答题时答对题目数量的分布列与数学期望．
19.本小题分
已知函数．
若，求的单调递增区间．
当时，恒成立，求的取值范围．
参考答案
1.
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13.
14.
15.【详解】二项式系数的和为：；
二项展开式的通项为：，
依题意，令，解得，则有，
故的系数为．

16.【详解】抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，故的取值只有和两种情况．
，
则．
因此的分布列为：

17.【详解】小明从中任选部电影观看，则小明可以选择科幻片文艺片或喜剧片，
不同的选法种数有种；
百位数字有种不同的选法，十位有种不同的选法，个位有种不同的选法，
由分步计数原理可得共有种；
从语文和数学中选择有，从语文和英语中选择有，从数学和英语中选择有，
总共有种不同的选择；
每个球可以放入个盒子中的任何一个盒子有种放法，
故由分步计数原理可得共有种不同的放法．

18.【详解】解：因为选手甲答对第题的概率为，所以，即，
所以若甲已经答对了前题，则甲答对第题的概率为．
解：由题意得，，，．
随机变量可取，
则，，，
，．
所以随机变量分布列如下：
所以．

19.【详解】时，，
令，
，．
则的单调递增区间为：．
，
则时，恒成立，
等价于时，恒成立．
令，则
令，则，
即在上单调递增，且，则，即．
当时，，则在上单调递增．
又，则时，即时恒成立．
当时，，
则存在，使得在上恒成立，故在上单调递减，
则不符题意．
综上可知，当恒成立时，．

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