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2024-2025学年河南省项城市第三高级中学高二下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.现有甲、乙等人并排站成一排，如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法种数有( )
A. B. C. D.
2.若，则( )
A. B. C. 或 D. 或
3.已知随机变量，满足，且，则( )
A. B. C. D.
4.的展开式中项的系数为( )
A. B. C. D.
5.如果随机变量，且，则( )
A. B. C. D.
6.若变量与之间存在线性相关关系，且根据最小二乘法得到的经验回归方程为，样本点中心为，则样本点的残差为( )
A. B. C. D.
7.一箱猕猴桃共有个，其中有若干个为烂果烂果率低于，从这一箱猕猴桃中任取个，恰有个烂果的概率为，则这箱猕猴桃的烂果个数为( )
A. B. C. D.
8.设，，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.对于随机变量，下列说法正确的有( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
10.下列说法正确的是( )
A. 残差的平方和越小，模型的拟合效果越好
B. 若随机变量，则
C. 数据，，，，，，的第百分位数是
D. 一组数，，，的平均数为，若再插入一个数，则这个数的方差不变
11.已知函数，则( )
A. 的极小值为
B. 有两个零点
C. 存在使得关于的方程有三个不同的实根
D. 的解集为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.甲、乙、丙各自研究两个随机变量的数据，若甲、乙、丙计算得到各自研究的两个随机变量的线性相关系数分别为，则这三人中， 研究的两个随机变量的线性相关程度最高．
13.已知，则 ．
14.若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
求值：用数字作答
16.本小题分
新高考“”模式中，考生除语文、数学、外语门必考科目外，需从物理、化学、生物、政治、历史、地理这门中自主选择门作为选考科目，某研究机构为了解学生对全文政治、历史、地理的选择是否与性别有关，从某学校高一年级的名学生中随机抽取男、女生各人进行模拟选科经统计，选择全文的男生有人，选择全文的女生有人．
估计高一年级的男生选择全文的概率；
请完成下面的列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过的前提下认为选择全文与性别有关．
选择全文 不选择全文 总计
男生
女生
总计
附表：
参考公式：，其中
17.本小题分
已知函数．
求曲线在点处切线的方程；
求函数的极值．
18.本小题分
某景区经过提质改造后统计连续天进入该景区参观的人数单位：千人如下：
日期 月日 月日 月日 月日 月日
第天
参观人数
建立关于的回归直线方程，预测第天进入该景区参观的人数；
该景区只开放东门，西门供游客出入，游客从东门，西门进入该景区的概率分别为、，且出景区与进入景区选择相同的门的概率为，出景区与进入景区选择不同的门的概率为假设游客从东门，西门出入景区互不影响，求甲，乙两名游客都从西门出景区的概率．
附：参考数据：．
参考公式：回归直线方程，其中，．
19.本小题分
分制乒乓球比赛规则如下：在一局比赛中，每两球交换发球权，每赢一球得分，先得分且至少分领先者胜，该局比赛结束；当某局比分打成：后，每一球交换发球权，领先分者胜，该局比赛结束．现有甲、乙两人进行一场五局三胜且每局制的乒乓球比赛，比赛开始前通过抛掷一枚质地均匀的硬币来确定谁先发球．假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时乙得分的概率为，各球的比赛结果相互独立，且各局的比赛结果也相互独立．已知第一局目前比分为：，且接下来轮到甲发球．
求再打两个球甲新增的得分的分布列和均值；
求第一局比赛甲获胜的概率；
现用估计每局比赛甲获胜的概率，求该场比赛甲获胜的概率．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.甲
13.
14.
15.．
．
16.由题意可知抽取的名男生中，选择全文的有人，
故高一年级的男生选择全文的概率为：．
列联表如下：
选择全文 不选择全文 总计
男生
女生
总计
根据列联表中的数据得，，
所以在犯错误的概率不超过的前提下认为选择全文与性别有关．
17.函数的定义域为，，
所以，又，
所以在点处切线的方程为：，
化简得：．
由题意，，．
，
令，解得或，列表如下：
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
由表可知，函数的极大值为；
极小值为．
18.依题意，，而，
则，，
因此，当时，，
所以关于的回归直线方程为，第天进入该景区参观的人数约为千人．
记“甲从西门进入景区”为事件，“甲从西门出景区”为事件，“乙从西门出景区”为事件，
，，
由全概率公式得，同理，
所以甲，乙两名游客都从西门出景区的概率．
19.依题意知，的所有可能取值为，，；
，，，
所以的分布列为：
的均值为；
设第一局比赛甲获胜为事件，平局后每次再打两个球后甲新增的得分为，
则，，；
由知，，，，
由全概率公式得，
，
解得，即第一局比赛甲获胜的概率；
由知，所以估计甲每局获胜的概率均为，
根据五局三胜制的规则，设甲获胜时的比赛总局数为，
因为每局的比赛结果相互独立，所以的所有可能取值为，，，
所以，，；
所以该场比赛甲获胜的概率为

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