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2024-2025学年湖北省黄冈市浠水县第一中学高二下学期5月月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知离散型随机变量满足，且，则( )
A. B. C. D.
2.若，则( )
A. B. C. D.
3.已知个成对数据的散点图如下，若去掉点，则下列说法正确的是( )
A. 变量与变量呈正相关 B. 变量与变量的相关性变强
C. 残差平方和变大 D. 样本相关系数变大
4.在信道内传输，信号，信号的传输相互独立由于随机因素的干扰，发送信号或有可能被错误地接收为或已知发送时，接收为和的概率分别为和；发送时，接收为和的概率分别为和若接收信号为的概率为，则发送信号为的概率为( )
A. B. C. D.
5.的展开式中，的系数为( )
A. B. C. D.
6.已知今天是星期三，则经过天后是( )
A. 星期四 B. 星期五 C. 星期六 D. 星期日
7.为了提升数学素养，甲、乙、丙等五名同学打算选修学校开设的数学拓展课程，现有几何画板、数学与生活、趣味数学、数独四门课程可供选修，每名同学均需选修且只能选修其中一门课程，每门课程至少有一名同学选修，则甲不选修几何画板，且数独只能由乙和丙中一人或两人选修的概率为( )
A. B. C. D.
8.已知函数，，若存在，，使得成立，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
10.对具有相关关系的两个变量和进行回归分析时，下列结论正确的是( )
A. 若，两组成对数据的样本相关系数分别为，，则组数据比组数据的相关性较强
B. 若所有样本点都落在一条斜率为非零实数的直线上，则决定系数的值为
C. 若样本点的经验回归方程为，则在样本点处的残差为
D. 以模型去拟合一组数据时，为求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则，的值分别是和
11.已知的定义域为，若为奇函数，为偶函数，当时，，则( )
A. B.
C. 为偶函数 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.展开式中的系数为 ．
13.在一场三局两胜制的羽毛球比赛中，每一局甲获胜的概率为，且每局比赛结果互不影响，已知甲获胜，则最终比分为：的概率为 ．
14.若，关于的不等式恒成立，则正实数的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知二项式．
求展开式中的常数项；
求展开式中二项式系数最大的项．
16.本小题分
年春节档一部国产动画电影哪吒之魔童闹海横空出世，迅速斩获各项票房冠军，截止月日，该电影已进入全球票房榜前五．经权威电影机构调查，得到其前周的票房数据如下表：
周次 第周 第周 第周 第周 第周
周次代码
票房总额亿元
求关于的线性回归方程；
该机构随机调查了某电影院月日位观影人的购票情况，其中购买哪吒之魔童闹海的男性有人，女性有人，购买其他电影的男性有人，女性有人，完成列联表，并判断是否有的把握认为是否购买哪吒之魔童闹海与性别有关．
购买哪吒 购买其他电影 合计
男性
女性
合计
附：，在利用最小二乘法求得的线性回归方程中，
，其中．
17.本小题分
我校高二年级组织“风华杯”篮球比赛，甲、乙两班进入决赛．规定：先累计胜两场者为冠军，一场比赛中犯规次以上的球员在该场比赛结束后，将不能参加后面场次的比赛．在规则允许的情况下，甲班球员都会参赛，他上场与不上场甲班一场比赛获胜的概率分别为和，且球员每场比赛犯规次以上的概率为．
求甲班第二场比赛获胜的概率；
用表示比赛结束时比赛场数，求的分布列；
已知球员在第一场比赛中犯规次以上，求甲班比赛获胜的概率．
18.本小题分
某市共有教师名，为了解老师们的寒假研修情况，评选研修先进个人，现随机抽取了名教师利用“学习”学习的时长单位：小时：，，，，，，，，，，时长不低于小时的教师评为“研修先进个人”．
现从该样本中随机抽取名教师的学习时长，求这名教师中恰有名教师是研修先进个人的概率．
若该市所有教师的学习时长近似地服从正态分布，其中为抽取的名教师学习时长的样本平均数，利用所得正态分布模型解决以下问题：
试估计学习时长不低于小时的教师的人数结果四舍五人到整数；
若从该市随机抽取的名教师中恰有名教师的学习时长在内，则为何值时，的值最大？
附：若随机变量服从正态分布，则，，．
19.本小题分
已知函数．
讨论的单调性；
求函数在区间上的最小值；
当时，判断函数的零点个数．
参考答案
1.
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14.
15.易得二项式的通项公式为：
，．
令，解得，
故该二项式的展开式中的常数项为．
因，二项展开式共有项，
由二项式定理性质知二项式系数最大的项为第四项，
即．

16.解：由前周的票房数据，可得，
，
所以，则，
故所求的线性回归方程为．
解：由题意，可得列联表如下．
购买哪吒 购买其他电影
男性
女性
合计
可得，
故没有的把握认为购买哪吒之魔童闹海与性别有关．

17.设为“第场甲队获胜“，为“球员第场上场比赛“，，，，
根据全概率公式可得；
由题意可得，，
又，由知，
，，
，
，
所以的分布列为：
，此时，
所求概率为：．

18.设事件“抽取的名教师中恰有名教师是研修先进个人”为．
由题知样本中学习时长不低于小时的人数为，时长低于小时的人数为，
则，
所以这名教师中恰有名教师是研修先进个人的概率为．
由样本数据知，．
因为，
所以，
所以，学习时长不低于小时的教师人数为．
每名教师的学习时长在内的概率为，
由题意可知，则，
设，则．
令，得，所以当时，，
令，得，所以当时，，
所以当时，最大，即使最大的的值为．

19.由题意得的定义域为，
则
当时，时，，时，，
故在上单调递减，在上单调递增；
当时，令可得或，令可得，
故在和上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，令可得或，令可得，
故在和上单调递增，在上单调递减．
由已知得，
当时，在区间上恒成立，函数单调递增，
函数的最小值为，
当时，在区间上恒成立，函数单调递减，
函数的最小值为，
当时，列表如下：
单调递减 单调递增
函数的最小值为．
综上可得：当时，函数的最小值为，
当时，函数的最小值为，
当时，函数的最小值为．
当时，，
当时，由知函数在上单调递减，
在上单调递增，
又因为，而趋近正无穷时，趋近正无穷，
故在上只有一个零点；
当时，，在上单调递增，且连续不间断，
且，故在上只有一个零点．
当时，令，解得，即在上只有一个零点，
当时，令可得，令可得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
当趋近正无穷时，趋近正无穷，当趋近时，趋近正无穷，
若，即时，在上无零点．
若，即时，在上只有一个零点，
若，即时，在上有两个零点，
综上：当时，函数无零点，
当或时，函数的零点个数为，
当时，函数的零点个数为．

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