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2024-2025学年东北师范大学连山实验高中高二下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列求导运算正确的是( )
A. B. C. D.
2.等比数列的各项均为正数，且，则( )
A. B. C. D.
3.在某市的一次质量检测考试中，学生的数学成绩可认为近似服从正态分布，其正态密度曲线可用函数的图象拟合，且，若参加本次考试的学生共有人，则数学成绩超过分的人数约为( )
A. B. C. D.
4.若函数在区间内为增函数，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.若银行的储蓄卡密码由六位数字组成，小王在银行自助取款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，但记得密码的最后一位是奇数，则不超过次就按对密码的概率是( )
A. B. C. D.
6.已知等差数列和的前项和分别为和，且，则( )
A. B. C. D.
7.若不等式对任意，恒成立，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.定义在上的函数满足，且，则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.等差数列的前项和为，则( )
A. B.
C. D. 当时，的最小值为
10.一只口袋中装有形状、大小都相同的个小球，其中有黑球个，白球个，红球个，分别用有放回和无放回两种不同方式依次摸出个球则( )
A. 若有放回摸球，设摸出红色球的个数为，则方差
B. 若有放回摸球，则摸出是同一种颜色球的概率
C. 若无放回摸球，设摸出红色球的个数为，则期望
D. 若无放回摸球，在摸出的球只有两种不同颜色的条件下，摸出球是红白的概率为
11.下列说法正确的是．
A. 函数在区间的最小值为
B. 函数的图象关于点中心对称
C. 已知函数，若时，都有成立，则实数的取值范围为
D. 若恒成立，则实数的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，求数列 ．
13.某学校有，两家餐厅，张同学第一天午餐随机地选择一家餐厅用餐如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为；如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为则张同学第二天去餐厅用餐的概率为 ．
14.对任意，，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
求的单调区间；
记的两个零点分别为，求曲线在点处的切线方程．
16.本小题分
某工厂的某种产品成箱包装，每箱件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有
产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立．
记件产品中恰有件不合格品的概率为，求的最大值点；
现对一箱产品检验了件，结果恰有件不合格品，以中确定的作为的值．已知每件产品的检验费用为元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付元的赔偿费用．
若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为，求
以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？
17.本小题分
已知等比数列的前项和为，且．
求数列的通项公式；
在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在项，，其中，，成等差数列成等比数列？若存在，求出这样的项；若不存在，请说明理由．
18.本小题分
当前移动网络已融入社会生活的方方面面，深刻改变了人们的沟通交流乃至整个生活方式网络虽然解决了人与人随时随地通信的问题，但随着移动互联网快速发展，其已难以满足未来移动数据流量暴涨的需求，而作为一种新型移动通信网络，不但可以解决人与人的通信问题，而且还可以为用户提供增强现实虚拟现实超高清视频等更加身临其境的极致业务体验，更重要的是还可以解决人与物物与物的通信问题，从而满足移动医疗车联网智能家居工业控制环境监测等物联网应用需求，为更好的满足消费者对网络的需求，中国电信在某地区推出了六款不同价位的流量套餐，每款套餐的月资费单位：元与购买人数单位：万人的数据如下表：
套餐
月资费元
购买人数万人
对数据作初步的处理，相关统计量的值如下表：
其中，且绘图发现，散点集中在一条直线附近．
根据所给数据，求出关于的回归方程；
已知流量套餐受关注度通过指标来测定，当时相应的流量套餐受大众的欢迎程度更高，被指定为“主打套餐”现有一家四口从这六款套餐中，购买不同的四款各自使用记四人中使用“主打套督”的人数为，求随机变量的分布列和期望．
附：对于一组数据，其回归方程的斜率和截距的最小二乘估计值分别为．
19.本小题分
已知等比数列是递减数列，的前项和为，且、、成等差数列，，数列满足，，
求和的通项公式；
若，求数列的前项和．
参考答案
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15.函数的定义域为，求导得，
当时，；当时，，
所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为．
由知，，
因此函数有两个零点，且，即，
则所求切线的切点坐标为，斜率，切线方程为
所以曲线在点处的切线方程为．
16.方法一：【通性通法】利用导数求最值
件产品中恰有件不合格品的概率为．
因此．
令，得当时，；当时，．
所以的最大值点为；
方法二：【最优解】均值不等式
由题可知，件产品中恰有件不合格品的概率为．
，当且仅当，即可得所求．
由知，．
令表示余下的件产品中的不合格品件数，依题意知，，即所以．
如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为元．
由于，故应该对余下的产品作检验．
17.由题意知当时，，
当时，，
联立，解得，；
所以数列的通项公式．
由知，，
所以，可得；
设数列中存在项，，其中，，成等差数列成等比数列，则，
所以，即；
又因为，，成等差数列，所以，
所以，化简得，即；
又，所以与已知矛盾；
所以在数列中不存在项，，成等比数列．
18.因为散点集中在一条直线附近，设回归方程为，
由，则，
，故变量关于的回归方程为又，
故，
综上，关于的回归方程为；
由，解得，
而，所以即为“主打套餐”．
则四人中使用“主打套餐”的人数服从超几何分布，又：一共只有种套餐，一家口选择不同的套餐，所以的取值只能是，
且，
分布列为
期望．
19.设等比数列的公比为，由题意可得，则
因为数列是等比数列，解得，所以，，
因为，所以，，
因为，则，所以，，故．
当为奇数时，，令，
则，
所以，，
两个等式作差可得
，
化简得；
当为偶数时，，
令，则
，
故．

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