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2024-2025学年云南省保山市腾冲市益群中学高二下学期5月月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集，，则( )
A. B. C. D.
2.若是虚数单位，则的值分别等于( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
3.设，是实数，则“，且”是“”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.下列说法中正确的是( )设随机变量服从二项分布，则；已知随机变量服从正态分布且，则；小赵、小钱、小孙、小李到个景点旅游，每人只去一个景点，设事件“个人去的景点互不相同”，事件“小赵独自去一个景点”，则；；．
A. B. C. D.
5.已知函数，则的值为( )
A. B. C. D.
6.的展开式中的系数为( )
A. B. C. D.
7.已知是各项均为正数的等比数列，是它的前项和，，且与的等差中项为，则等于( )
A. B. C. D.
8.在中，是边上一点，且，，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法不正确的是( )
A. 若直线，不共面，则，为异面直线
B. 若直线平面，则与内无数条直线平行
C. 若直线平面，平面平面，则
D. 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等
10.已知函数在区间上单调递减，将的图像向左平移个单位长度后得到函数的图像，则( )
A. 的最小正周期为 B.
C. 图像的一个对称中心为 D.
11.某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数例如，其中出现的概率为，出现的概率为，记，则当程序运行一次时( )
A. 服从二项分布 B.
C. 的均值 D. 的方差
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知为等差数列的前项和，若，则 ．
13.已知向量，，若与共线，则 ．
14.已知函数，其中是自然对数的底数若函数与函数的单调区间相同，则的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，内角所对的边分别为，向量，且．
求角的大小；
若，
求面积的最大值；
求的取值范围．
16.本小题分
已知四棱锥中，底面为直角梯形，，，且，，平面，为的中点．
证明：；
在线段上是否存在一点，使平面，若存在，求的值．
17.本小题分
“学习强国”学习平台是由中宣部主管，以习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神为主要内容，立足全体党员、面向全社会的优质平台某单位共有党员人男女各人，从年月日起在“学习强国”学习平台学习现统计他们的学习积分，得到如下男党员的频率分布表和女党员的频率分布直方图．
男党员
积分单位：千
人数单位：人
已知女党员中积分不低于千分的有人，求图中与的值；
估算女党员学习积分的平均数同一组中的数据用该组区间的中点值为代表和女党员学习积分的中位数精确到千分；
若将学习积分不低于千分的党员视为学习带头人，完成下面列联表，并判断能否有把握认为该单位的学习带头人与性别有关？
男党员 女党员 合计
带头人
非带头人
合计
18.本小题分
定义在上的函数满足且当时，．
求在上的解析式；
当为何值时，关于的方程在区间上有实数解．
19.本小题分
投掷一枚硬币正反等可能，设投掷次不连续出现三次正面向上的概率为．
求，，和；
写出的递推公式；
单调有界原理：若数列单调递增，且存在常数，恒有成立，那么这个数列必定有极限，即存在；若数列单调递减，且存在常数，恒有成立，那么这个数列必定有极限，即存在请根据单调有界原理判断是否存在？有何统计意义？
参考答案
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12.
13.
14.
15.【详解】；
；
由正弦定理得，；
；
，且；
；
，
根据余弦定理得：，
即，
，
，
当且仅当时，等号成立，
所以，即面积的最大值为，
；
外接圆直径；半径，
，
；
；
，
的取值范围是．

16.【详解】证明：平面，平面．
．
因为为直角梯形，且，，
取的中点，连接、，如图，
易知四边形为矩形，所以，
因为，所以为直角三角形，．
又所以平面，平面．．
上存在一点，当时，平面．
取的中点，则为的中位线，所以，
又因为四边形为矩形，所以，．
因为，在上取一点，使，则．
，所以平面平面．
因为平面所以平面．
即当时，平面．

17.【详解】由女党员中积分不低于千分的有人，则低于千分的有人；
所以，解得；
又，解得；
所以，．
由频率分布直方图可知：
平均数为．
设中位数为，
在与上的频率为，
所以，解得；
综上知，平均数为，中位数为．
解：由题意填写列联表如下：
男党员 女党员 合计
带头人
非带头人
合计
由表中数据计算
，
所以没有的把握认为该单位的学习带头人与性别有关．

18.【详解】由知函数为奇函数，
当时，由，
所以，
又，所以，
所以为周期函数，最小正周期为，
所以，所以．
设，则，．
综上，
因为是周期为的周期函数，
所以关于方程在上有实数解，
即为在上有实数解．
当时，为增函数，
，
当时，，
当时，，
所以，
所以，
所以．

19.【详解】依题意，，
而投掷次，共有个不同结果，其中连续出现三次正面向上的只有个，则，
又投掷次，共有个不同结果，其中连续出现三次正面向上的有：正正正正，正正正反，
反正正正，因此．
共有三种情况：
如果第次出现反面向上，前次不连续出现三次正面向上和前次不连续出现三次正面向上是相同的，
此时不连续出现三次正面向上的概率为；
如果第次出现正面向上，第次出现反面向上，
则前次不连续出现三次正面向上和前次不连续出现三次正面向上是相同的，
此时不连续出现三次正面向上的概率为；
如果第次出现正面向上，第次出现正面向上，第次出现反面向上，
则前次不连续出现三次正面向上和前次不连续出现三次正面向上是相同的，
此时不连续出现三次正面向上的概率为，
所以，．
由知，，
当时，，则，
即，因此当时，数列是递减的，又，
则当时，数列是递减的，显然有下界，
于是数列的极限存在，对两边取极限，得，
其统计意义是：当投掷的次数足够多时，不出现连续三次正面向上的次数非常少，其概率趋近于．

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