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2024-2025学年四川省青川县第一高级中学高二下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知等差数列中首项，公差，则( )
A. B. C. D.
2.记等差数列的前项和为，若，则( )
A. B. C. D.
3.若，则( )
A. B. C. D.
4.已知等比数列的各项均为正数，且，则( )
A. B. C. D.
5.设等比数列的公比为，前项和为，则“”是“为递增数列”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.已知数列的前项和为，且，则当取得最小值时，的值是( )
A. B. C. D.
7.已知等差数列和的前项和分别为，，若，则 ．
A. B. C. D.
8.已知数列的首项，对任意，都有，则当时，( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知等比数列的公比为，前项和为，若，则( )
A. B. C. D.
10.已知函数的图象如图所示，是的导函数，则下列数值的排序正确的是( )
A. B.
C. D.
11.任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘再加上；若是偶数，就将该数除以反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈这就是数学史上著名的“冰雹猜想”又称“角谷猜想”比如取正整数，根据上述运算法则得出猜想的递推关系如下：已知数列满足，，设数列的前项和为，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知双曲线，若上一点到一个焦点的距离为，则到另一个焦点的距离为 ．
13.已知是等差数列，，公差，为其前项和，若，，成等比数列，则 ．
14.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行的，，，称为三角形数，第二行的，，，称为正方形数，第三行的，，，称为五边形数，则正方形数所构成的数列的第项是 ，五边形数所构成的数列的通项公式为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数的图象过点，且．
求，的值．
求曲线在点处的切线方程．
16.本小题分
已知数列为等差数列，，．
求数列的通项公式；
求数列前项和的最大值．
17.本小题分
设数列的前项和为，已知．
求的通项公式；
设，数列的前项和为，求．
18.本小题分
已知数列的首项，且满足．
求证：数列为等比数列；
求数列的通项公式和前项和；
记，求数列的前项和，并证明．
19.本小题分
已知椭圆的上顶点为，离心率为是椭圆上不与点重合的两点，且．
求椭圆的方程；
求证：直线恒过定点；
求面积的最大值．
参考答案
1.
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10.
11.
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13.
14.
15.解：因为函数的图象过点，所以
又，，所以，
由解得：，．
由知，又因为，，
所以曲线在处的切线方程为，即．
16.解：设等差数列的公差为，
则，解得，
所以．
由，解得，
而，数列是单调递减数列，
所以等差数列的前项为正数，从第项起为负数，
所以时，数列前项和的最大值为．

17.解：当时，；
当时，即，
而，故，，
所以是首项为，公比为的等比数列，
所以经验证满足通项，所以．
由得，
则，
，
两式做差可得，
所以．

18.解：证明：因为数列满足，
可得，又因为，可得，
从而可得，即，
所以数列是首项为，公比为的等比数列．
解：由知，数列是首项为，公比为的等比数列，
可得，所以，
则数列的前项和为．
解：由知：，可得，
所以，
所以，
当时，易知关于是单调递增数列，
当时，取得最小值，最小值为，
又因为，可得，所以．

19.解：依题意有解得，
椭圆的方程为．
如图，当直线的倾斜角为时，显然不合题意；
设直线的方程为：．
联立消去得．
，即．
．
，
又，
，
，
即，
，解得或舍．
直线的方程为：，即直线过定点．
点到直线的距离，
，
的面积
令，则，
，
因函数在上单调递减；在上单调递增，
所以当时，取得最小值为，即，
故，
即面积的最大值为．

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