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2024-2025学年天津大学附属中学高二下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知函数在处可导，且，则( )
A. B. C. D.
2.下面是不同成对数据的散点图，从左到右对应的样本相关系数是，，，，其中最小的是( )
A. B.
C. D.
3.定义在上的可导函数的导函数的图象如图所示，则( )
A. 是的一个零点 B. 和都是的极大值点
C. 的单调递增区间是 D. 的单调递减区间是
4.已知随机变量服从正态分布，且，则( )
A. B. C. D.
5.的展开式中，常数项等于( )
A. B. C. D.
6.君子六艺包括礼、乐、射、御、书、数，这些技能不仅是周朝贵族教育的重要组成部分，也对后世的教育体系产生了深远影响某校国学社团周末开展“六艺”课程讲座活动，一天连排六节，每艺一节，则“礼”与“乐”之间最多间隔一艺的不同排课方法总数有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
7.已知随机变量，且，则下列说法错误的是( )
A. B.
C. D.
8.已知定义在上的函数的导数为，且，，则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
9.为了探究某次数学测试中成绩达到优秀等级是否与性别存在关联，小华进行了深入的调查，并绘制丁下侧所示的列联表个别数据暂用字母表示：
数学成绩 性别 合计
男 女
优秀
非优秀
合计
临界值表如下：
经计算得：，参照右上表，有如下结论：，；可以在犯错误的概率不超过的前提下认为“数学达到优秀等级与性别有关”；没有充分的证据显示“数学达到优秀等级与性别有关”，则以上结论中正确的为( )
A. B. C. D.
10.已知函数，下列命题正确的有( )
A. 可能有个零点
B. 没有极小值
C. 时，
D. 若存在极大值点，其中，则
二、填空题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
11.已知某班级中有男生人，女生人，男生中参加运动会的有人，女生中参加运动会的有人，现从这个班级中随机抽出一名学生，若抽到的是女生，则所抽到的学生参加运动会的概率为 ．
12.学校运动会需要从名男生和名女生中选取名志愿者，则选出的志愿者中至少有一名女生的不同选法的种数是 请用数字作答
13.已知函数，则曲线在点处的切线方程为 ．
14.已知两个变量与对应关系如下表：
若与满足一元线性回归模型，且经验回归方程为，则 ．
15.函数的最小值为 ．
16.已知甲箱中有个红球和个黑球，乙箱中有个红球和个黑球所有球除颜色外完全相同，某学生先从甲箱中随机取出个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出个球，记“从乙箱中取出的个球都是黑球”为事件，则 ．
17.设，若的展开式中项的系数为，则 ．
18.函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为 ．
三、解答题：本题共4小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题分
在的展开式中，第项的二项式系数是第项的二项式系数的倍．
求的值；
求的展开式中的常数项．
20.本小题分
已知函数在及处取得极值．
求，的值；
若关于的方程有三个不同的实根，求的取值范围．
21.本小题分
某社团共有名成员，其中高一男生人，女生人，高二男生人，女生人．现从中随机抽选人参加数学知识问答．
若逐个抽选，求恰好第一个抽选的是男生的概率；
若恰好抽选了名男生与名女生，求这人都是高二学生的概率；
若恰好抽选了名高一学生与名高二学生，记抽选出来的男生与女生的人数之差的绝对值为，求的分布列与均值．
22.本小题分
已知函数，．
若曲线在点处的切线平行于直线，求该切线方程；
若，求证：当时，；
若有且只有两个零点，求的值．
参考答案
1.
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17.
18.
19.由二项展开式通项公式可知，，
所以由题意知，解得．
由知二项展开式的通项公式为，
令，解得，
故展开式中的常数项为．

20.由题意得，
由函数在及处取得极值，得
解得，此时，，
则得或；得，
则在和上单调递增，在上单调递减，
则和分别为的极大值点和极小值点．
故．
由可知，在处取得极大值，在处取得极小值．
又有三个不同的实根，所以
解得，所以实数的取值范围是．

21.若逐个抽选，恰好第一个抽选的是男生的情况为男生所占人数总比例，即概率为．
记事件为恰好抽选了名男生与名女生，事件为这人都是高二学生由题知男生总共人，女生总共人
，，
由条件概率可得．
因为恰好抽选了名高一学生与名高二学生，可能的情况包含“名高一男学生与名高二男学生”、“名高一男学生与名高二女学生”、“名高一女学生与名高二男学生”、“名高一女学生与名高二女学生”．
抽选出来的男生与女生的人数之差的绝对值为，则的可能取值为．
；
．
则的分布列为
则均值．

22.因为，所以，故．
所以．
所求切线方程为，即．
当时，，．
当时，；当时，．
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增．
所以的最小值为．
故时，．
对于函数，．
当时，，没有零点；
当时，．
当时，，所以在区间上单调递增；
当时，，所以在区间上单调递减；
当时，，所以在区间上单调递增．
所以是的极大值，是的极小值．
因为，
所以在上有且只有一个零点．
由于，
若，即，在区间上没有零点；
若，即，在区间上只有一个零点；
若，即，由于，所以在区间上有一个零点．
由知，当时，，所以．
故在区间上有一个零点．
因此时，在区间上有三个零点．
综上，当有两个零点时，．

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