资源简介

2024-2025学年重庆市第一中学校高二下学期期中
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知随机变量，均服从两点分布，若，，且，则( )
A. B. C. D.
3.若，则( )
A. B. C. D.
4.从重量分别为，，，，，克的砝码每种砝码各个中选出若干个，使其总重量恰为克的方法总数为，下列各式的展开式中的系数为的选项是( )
A.
B.
C.
D.
5.已知是平面直角坐标系中的点集设是中两点间距离的最大值，是表示的图形的面积，则( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
6.( )
A. B. C. D.
7.已知关于的方程在区间上有解，则实数的最大值为( )
A. B. C. D.
8.已知实数，，．
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在重伯努利试俭中，每次试验事件发生的概率为，事件发生的次数超过一半的概率为，下列叙述中正确的是( )
A. 若为奇数时，
B. 若为偶数时，
C. 若为奇数时，随着的增大而增大
D. 若为偶数时，随着的增大而增大
10.在平面直角坐标系上的一只蚂蚁从原点出发，每次随机地向上下左右四个方向移动个单位长度，移动次，则( )
A. 蚂蚁始终未远离原点超过个单位长度的概率是
B. 蚂蚁移动到点的概率为
C. 蚂蚁回到原点的概率为
D. 蚂蚁移动到直线上的概率为
11.记为数列的前项和，且现定义，，则( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若数据，，，，，，，，，的方差为，则数据，，，，，，，，，的方差为 ．
13.设整数，从编号的卡片中有放回地等概率抽取，并记录下每次的编号．若，均出现或，均出现就停止抽取，则抽取卡片数的数学期望为 ．
14.已知，且中任意两个数的差的绝对值不等于，也不等于，则的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
从某台机器一天产出的零件中，随机抽取件作为样本，测得其质量如下单位：克：，记样本均值为，样本标准差为．
求；
将质量在区间内的零件定为一等品．
估计这台机器生产的零件的一等品率；
从样本中的一等品中随机抽取件，求这两件产品质量之差的绝对值不超过克的概率．
16.本小题分
已知、分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，且的面积为．
求椭圆的标准方程；
过点的直线与线段相交于，与椭圆交于、两点若，求点的坐标．
17.本小题分
设三角形的边长为不相等的整数，且最大边长为，这些三角形的个数为．
求数列的通项公式；
在，，，中任取三个不同的整数，求它们可以是一个三角形的三条边长的概率．
附：；
18.本小题分
已知函数，．
讨论零点的个数；
若，求实数的取值范围．
19.本小题分
编号为的个球依次被等可能地涂成黑色或白色，设编号为奇数的黑色球的个数为，编号为偶数的白色球的个数为，记事件“”为．
求；
当时，求；
当时，设，证明：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
，所以．
，质量在区间内的零件定为一等品，样本中一等品有：共件，用样本估计总体，这台机器生产的零件的一等品率为；
从件一等品中，抽取件，分别为，，共种情况，如下：抽取两件产品质量之差的绝对值不超过克的情况为：，共种，这两件产品质量之差的绝对值不超过克的概率．
16.由的面积为，得，解得，所以，
又因为点在椭圆上，所以，
联立解得，所以椭圆的标准方程为
设，联立方程
消得：，直线与线段交于点，则，
所以
，所以，
由得：，即，又．
所以，所以，则，
所以，又，
所以，所以，
所以为线段的中垂线与椭圆的交点，
由，解得：或
因此，的坐标为
17.设，，为满足题意的三角形的边长，不妨设，则．
由题意知：，
当时，且为偶数时，若，三角形不存在，
若，，
若，．
，
若，，，，，
所以：．
同理，当时，且为奇数时，可得：，
所以数列的通项公式为．
根据求和公式，
，
所求的概率为．
18.时，，
令，则，
所以，时，在上单调递减，
时，在上单调递增，
又时，时，，时，，
时，，
所以，当时，无零点，
或时，有个零点，
当时，有个零点．
当时，由得，
所以，等价于对恒成立．
即对恒成立，
令，则，
当，当，
在内单调递减，在内单调递增，
，又
对恒成立
所以，时成立，
当时，，显然成立．
当时，
等价于或，
即或
对于，取，得，与矛盾，故不成立，
对于，即，对恒成立，
令，则，
在内单调递减，
，所以，，
综上，实数的取值范围是．
19.记事件“编号为的球被涂黑色”为，则
，且相互独立，所以，
同理，可得，
所以
事件，
所以，
故．
记事件“编号为奇数的个球中，被涂成黑色的球的个数为”为，
事件“编号为偶数的个球中，被涂成白色的球的个数小于”为，
则，
且两两互斥，
所以
设，
则，
故，
从而，所以．
设，则可取，故可取，
根据对称性，
且，
根据组合数的对称性，
可得，
因为展开式中的系数为，
展开式中的系数为，
故，
故
从而，
整理，得
又
，
所以，
所以，
又
根据，可得．
可得．
记“偶数号白球个数与奇数号黑球个数相等”为事件，其概率为
由知，所以，
又由知，可得，
所以

第1页，共1页

展开更多......

收起↑