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2024-2025学年九师联盟高二下学期5月联考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知函数，则( )
A. B. C. D.
2.对两组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其相关系数的比较，正确的是( )
A. B. C. D.
3.已知是函数的导函数，若，且在上的最大值为，则的值为( )
A. B. C. D.
4.若函数存在极值点，则实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
5.若数列满足，，则( )
A. B. C. D.
6.的展开式中常数项为( )
A. B. C. D.
7.设随机变量Z~N(,1),函数f(x)=-+Zx在定义域R上是单调递增函数的概率为,则P(1< Z2)=（）附:若Z~N(,),则P(-< Z+)0.683,P(-2< Z+2)0.954.
A. 0.1587 B. 0.1355 C. 0.2718 D. 0.3413
8.若函数是自然对数的底数有两个零点，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.有三名男生、两名女生排队照相，五个人排成一排，则下列说法正确的有( )
A. 如果两名女生必须相邻，那么有种不同排法
B. 如果三名男生均不相邻，那么有种不同排法
C. 如果女生不能站在两端，那么有种不同排法
D. 如果三名男生不能连排在一起，那么有种不同的排法
10.已知点在抛物线上，过的焦点的直线与相交于，两点，在，两点处的切线相交于点，的中点是，若，则( )
A. B. 的准线方程是
C. 点在抛物线上 D. 点在的准线上
11.设函数，数列满足，，则( )
A. B. 数列是等比数列
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若焦点在轴上的双曲线与双曲线有相同的渐近线，则的离心率为 ．
13.设两个等差数列、的前项和分别为、，若对任意正整数都有，则的值为 ．
14.若为自然对数的底数，是定义在上的函数，且，，则不等式的解集为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知各项均不相等的等差数列的前项和为，，且，，成等比数列．
求的通项公式
若，求数列的前项和．
16.本小题分
甲、乙两人用同一台机床加工同一规格的零件，随机抽取他们加工后的零件各个，得到他们加工后的零件尺寸单位：及个数，如下表：
零件尺寸
零件个数 甲
乙
已知一等品零件尺寸与的误差不超过，其余零件为二等品．
试根据上述数据建立一个列联表，并判断能否有的把握认为加工后的零件是不是一等品与甲、乙有关
如果从已经抽检出的这个零件中，按照甲、乙分层随机抽样的方法抽取个一等品零件，再从这个零件中随机抽取个零件送给有意向购买此零件的商家进行试用设乙加工的零件送给商家试用的个数为随机变量，求的分布列与数学期望．
参考公式：，其中．
参考数据：
17.本小题分
如图，在三棱柱中，，，，是的中点，．
求三棱柱的体积
求直线与平面所成角的正弦值．
18.本小题分
已知函数的定义域为，区间是的子集，若的图象上存在两点，，使直线恰好是曲线的一条切线，且，为切点，记直线的方程为，如果都有，则称函数是“桥函数”，称，两点为“桥墩”．
若，，试说明函数能否是以，两点为“桥墩”的“桥函数”
判断函数与是不是“桥函数”并说明你的理由．
19.本小题分
已知过点的椭圆的离心率为．
求椭圆的方程
已知点是椭圆的左顶点，直线与椭圆相交于，两点，且，两点均不与点重合
(ⅰ)若直线与圆相切，证明：以为直径的圆经过坐标原点
(ⅱ)若直线，的斜率之积为，证明：直线过定点，并求出定点的坐标．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.B
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：设数列的公差为，则，
由得
化简得
因为，所以，
所以．
由知，
则，
则，
，
两式相减得，
所以．
16.解：列联表为：
一等品零件数 二等品零件数
甲
乙
合计
由列联表得：，
所以有的把握认为加工后零件是否为一等品与甲、乙有关．
根据分层抽样的方法，甲乙一等品的零件数之比为：，
所以抽取出的个一等品零件中，甲加工的个，乙加工的个，
的所有取值为：，，，，
，
，
，
，
的分布列为：
．
17.解：因为，是的中点，
所以，同理，
又，，平面，
所以平面，
又平面，所以平面平面，
又平面平面，
作交于点，则底面，如图，
就是三棱柱的高，
又，，
所以，，
又，所以，
所以是等腰直角三角形，所以，
所以三棱柱的体积．
以为坐标原点，，所在直线分别为，轴，过点且与平行的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为由可得是等腰直角三角形，，
所以是的中点，则，，，，，，
，，，
设平面的法向量为，
则
取，则，，所以平面的一个法向量，
，，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
18.解：因为，，
所以函数的图象在点处的切线方程是，即，
同理可得函数的图象在点处的切线方程也是，
因此，经过，两点的直线恰好是曲线的一条切线，
又因为对恒成立，
所以函数是以，两点为“桥墩”的“桥函数”．
函数不是“桥函数”，函数是“桥函数”，理由如下：
对于函数，因为，
所以由图象可知，导函数在上是减函数，
所以在函数的图象上的任意两点，处的切线的斜率都不相同，
不满足“直线恰好是曲线的一条切线，且，为切点”，
所以函数不是“桥函数”
对于函数，我们先在函数的定义域上找一个区间，
使函数的图象上经过，两点的直线恰好是曲线的一条切线，且，为切点，
方法一：因为，，设，，，
则曲线在，两点处的切线方程分别为，，
令
则，所以且，当，
代入，整理得，所以，
不妨取，则，，，
又函数的图象在，两点处切线的斜率，，
这就是说，函数的图象上过，两点的直线，
恰好是曲线的一条切线，且，为切点，此时，切线的方程为．
方法二：在函数的定义域上，取区间，令，，
则，
且函数的图象在，两点处切线的斜率，，
所以函数的图象上过，两点的直线恰好是曲线的一条切线，
且，为切点，此时，切线的方程为，
再来说明在时，函数的图象不在切线的下方，
即需要说明对恒成立，
因为对任意实数，都有，
所以恒成立，即对恒成立，
因此，函数是“桥函数”．
19.解：由题意得，解得
所以椭圆的方程为．
由得，将直线的方程与椭圆的方程联立
并消去整理得，
因为直线与椭圆有两个交点，
，
设，，则，，
，
证明：因为直线与圆相切，
所以圆心到直线的距离为，即，
于是，
因为，
所以，即，
所以以为直径的圆经过坐标原点．
证明：椭圆的左顶点的坐标为，
所以，
，
化简得，所以或，
当时，直线的方程为，即，直线过定点，不合题意
当时，直线的方程为，即，直线过定点，
此时，满足题意，
综上即证直线过定点，点的坐标为．
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