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2024-2025 学年黑龙江省哈尔滨四中高一（下）期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. + =( )
A. B. C. D.
2.在复平面内，(2 + )( 1 + )对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.若向量 = (2,3)与 = ( , 6)共线，则实数 =( )
A. 4 B. 4 C. 9 D. 9
4.在△ 中，已知 = 5， = 3， = 30°，则符合条件的三角形个数是( )
A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个
5.已知 , 为不共线的非零向量， = + 5 ， = 2 + 8 ， = 3 3 ，则( )
A. ， ， 三点共线 B. ， 、 三点共线
C. ， ， 三点共线 D. ， ， 三点共线
6.将一个棱长为 1 的正方体铁块磨制成一个球体零件，则可能制作的最大零件的表面积为( )
A. 6 B. C. 4 D. 6
7.已知向量 = (2 , )与 = ( , 2 )，则函数 ( ) = 的周期为( )
A. B. 2 C. 3 D. 4
8.在△ 中， 为边 上任意一点， 为 中点，且满足 = + ，则 2 + 2的最小值为( )
A. 1 1 116 B. 4 C. 8 D. 1
二、多选题：本题共 4 小题，共 24 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列两个向量，能作为平面中一组基底的是( )
A. 1 = (1,2)， 2 = ( 2,4) B. 1 = (1,2)， 2 = (2,4)
C. = (0,1) = ( 2,0) D. = (3,1) = (5, 51 ， 2 1 ， 2 3 )
10 = 1+3 .设复数 2+ ，则下列命题结论正确的是( )
A. 的虚部为 1 B. 在复平面内对应的点在第四象限
C. | | = 2 D. 是方程 2 2 + 2 = 0 的根
11.在△ 中， 、 、 分别是边 、 、 中点，下列说法正确的是( )
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A. + 2 = 0
B. + + = 0
C.若 = ，则| | = | |
3 D.若
|
+
| |
= ，则△ 为等边三角形
| | |
12.在△ 中内角 、 、 所对的边长分别为 、 、 ，则下列命题中真命题的是( )
A. 若 > 2，则 < 3
B.若 ≤ ，则 ≤
C.若 > ，则 >
D.若 > 1，则 > 2
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13.已知 为虚数单位， ， ∈ ，若( ) = 2 ，则 + = ______．
14.如图，等腰直角三角形 ′ ′ ′是一个平面图形的直观图，斜边
′ ′ = 2，则原图形的面积是______．
15.如图，在海面上有两个观测点 ， ，点 在 的正北方向，距离为 2 ，在某天 10：
00 观察到某航船在 处，此时测得∠ = 45°，5 分钟后该船行驶至 处，此时测得，
∠ = 30°，∠ = 60°，∠ = 30°，则该船行驶的距离为______ ．
16.《哪吒 2》的玉虚宫，形态由九宫八卦阵演变而来，设计灵感来源于汉代，内饰充满了中国文化符号.
我校高一数学实践小组将玉虚宫轮廓抽象为正八边形，结合向量知识进行主题探究活动.如图，正八边形
，边长为 2，点 为线段 上的动点，则 的最大值为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 66 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题 12 分)
设复数 1 = 1 ( ∈ )， 2 = 2 + ．
(1)在复平面内，复数 1 + 2对应的点在实轴上，求 1 2；
(2) 若 1 是纯虚数，求实数 的值．2
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18.(本小题 12 分)
已知 、 、 为△ 的三内角，且其对边分别为 、 、 ，若 + ( + 2 ) = 0．
(1)求 ；
(2)若 = 2 3， + = 4，求△ 的面积．
19.(本小题 12 分)
已知向量 ， ，若| | = 2，| | = 1， ， 夹角为 120°．
(1)求|2 |；
(2)当 为何值时，向量 + 与向量 3 互相垂直？
20.(本小题 15 分)
已知锐角三角形 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，向量 = (1, 3 )， = ( , )，
// ．
(1)求 ；
(2) 2 求 的取值范围．
21.(本小题 15 分)
如图所示，设 ， 是平面内相交成 (0 < < )角的两条数轴， 1, 2分别是与 ， 轴正方向同向的单位
向量，则称平面坐标系 为 仿射坐标系，若在 仿射坐标系下 = 1 + 2，则把有序数对( , )叫做
向量 的仿射坐标，记为 = ( , )．
(1)若 = 60°, = 2 1 + 3 2，求| |的模长；
(2)若 = 60°, = 1 1+ 1 2, = 2 1+ 2 2，有同学认为“ ⊥ ”的充要条件是“ 1 2 + 1 2 =
0”，你认为是否正确？若正确，请给出证明，若不正确，请说明理由；
(3)设 = (3,1), = (1,1), ∠ = ，若| | ≥ 3对 ∈ 恒成立，求 的最大值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13. 1
14.2 2
15. 2
16.1
17.3 ；
2．
18.解：(1) ∵ + ( + 2 ) = 0，
∴由正弦定理可得： + ( + 2 ) = 0，
可得 + + 2 = 0，
可得 sin( + ) + 2 = 0，即 + 2 = 0，
∵ ≠ 0，
∴ = 12，
∵ ∈ (0, )，
∴ = 2 3．
(2)由 = 2 3， + = 4，由余弦定理得 2 = 2 + 2 2 ，
∴ 12 = ( + )2 2 2 2 3，即有 12 = 16 ，
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∴ = 4，
∴△ 的面积 = 12 =
1
2 × 4 × sin
2
3 = 3．
19.(1)已知向量 ， ，| | = 2，| | = 1， ， 夹角为 120°．
则 = 2 × 1 × ( 12 ) = 1，
2
则|2 | = 4 2 4 + = 16 + 4 + 1 = 21；
(2)已知向量 + 与向量 3 互相垂直，
则( + ) ( 3 ) = 0，
2
2
即 3 + (1 3 ) = 0，
即 = 47．
20.解：(1)因为 = (1, 3 )， = ( , )，且 // ，
所以 1 × ( 3 ) = 0，
即 3 + = cos( + ) 3 +
= 3 +
= 3 = ( 3 ) = 0，
因为△ 为锐角三角形，所以 ， ∈ (0, 2 )，所以 ≠ 0，
则有 3 = 0 ，即 = 3，所以 = 3；
(2) 2 2 2 ( + ) 2 +2 由正弦定理可得： = = =
2 3 +2

= 3 3 = + 1，
0 < <
因为△ 为锐角三角形，所以 2 ，解得 < <
0 < < 6 2
，
2
3 1 2 3
所以 ∈ ( 3 , + ∞)，则 ∈ (0, 3)，所以 = + 1 ∈ (1,4)．
21.(1)由题意， 1, 2是与 轴和 轴同向的单位向量，
因为 = 60°，则 1, 2 = 60°，又 = 2 1+ 3 2，
则| | = (2 1+ 3 2)2 = 4 1
2 + 12 1 2 + 9
2
2
= 4 + 12 × 12+ 9 = 19，
则| |的模长为 19；
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(2)若 = 60°, = 1 1+ 1 2, = 2 1+ 2 2，
“ ⊥ ”的充要条件是“ 1 2 + 1 2 = 0”不正确，理由如下：
1 1
因为 = 60°，则 1 2 = 1 × 1 × 2 = 2，
若 ⊥ ，则 = 0，
又 = 1 1+ 1 2, = 2 1+ 2 2，
则 = ( 1 1 + 1 2) ( 2 1 + 2 2) =
1 1
1 2 + 2 1 2 + 2 2 1 + 1 2 = 0，
所以“ ⊥ 1 1”的充要条件是“ 1 2 + 2 1 2 + 2 2 1 + 1 2 = 0”，
故“ ⊥ ”的充要条件是“ 1 2 + 1 2 = 0”是不正确的；
(3)由 = (3,1), = (1,1), ∠ = ，
可得 = 3 1+ 2, = 1+ 2，
则| | = 9 1
2 + 2
2 + 6 1 2 = 10 + 6 ，
| | = 1
2 + 22 + 2 1 2 = 2+ 2 ，
= (3 1 + 2) ( 1 + 2) = 3 + 1 + 4 1 2 = 4 + 4 ，
由|
2
| ≥ 3，两边平方可得 2
2
+ 2 ≥ 3，
所以 10 + 6 2 (4 + 4 ) + (2 + 2 ) 2 ≥ 3，
即 2(1 + ) 2 8(1 + ) + 6 + 7 ≥ 0 对 ∈ 恒成立，
又因为 1 + > 0，
所以 = [8(1 + )]2 4 × 2(1 + ) × (6 + 7) ≤ 0，
1 < ≤ 1解得 2，
因为 0 < < 1，所以 1 < ≤ 2满足题意，
=

则 =
4+4 2 2
| | | | 10+6 2+2
= 3 1 5+3 ，
2 < 5 + 3 ≤ 7 0 < 1 2 21又因为 2，所以 5+3 ≤ 7 ，
2 7
所以 的最大值为 7 ．
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