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2024-2025 学年天津市河西区新华中学高二（下）5 月月考
数学试卷
一、单选题：本题共 9 小题，每小题 5 分，共 45 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集 = { ∈ | ≤ 3}， = {1,2,3}， = { ∈ | 2 ≤ 2}，则 ( ∩ ) =( )
A. {0,1,3} B. {0,1} C. {0,3} D. {0,2,3}
2.已知函数 ( ) = + 2，则“ > 0”是“函数 ( )在(0, + ∞)上是单调函数”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
3.下列各组函数是同一函数的是( )
2
A. = | | =± 1 B. = +3 +2 与 +1 与 = + 2
2 2
C. = sin +2 ln( +1) +2 与 = D. = 2 与 = ln( + 1)
4.下列命题中正确的是( )
A. +1 1 1若 > > 0，则 +1 > B.若 > ，则 <
C.若 > > 0， > > 0 > ，则 D.若 > ， > ，则 >
5.若“ ∈ [ 1 , 2]，使得 2 22 + 1 < 0 成立”是假命题，则实数 的取值范围为( )
A. ( ∞,2 2] B. [2 2, 3] C. [ 2 2, 3] D. = 3
6 ( ) ( ≠ ) ( 1) ( ).定义在 上的函数 满足：对任意的 1， 2 1 2 ，有 2 1
< 0， (2) = 3，则不等式 ( ) 2 +
2
1 < 0 的解集为( )
A. (3, + ∞) B. ( ∞,2) C. (2, + ∞) D. ( ∞,3)
7.已知 > 0， > 0，且 + + = 8，若不等式 + ≥ 2 3 恒成立，则实数 的取值范围是( )
A. { | 4 ≤ ≤ 1} B. { | 1 ≤ ≤ 4}
C. { | ≤ 4 或 ≥ 1} D. { | ≤ 1 或 ≥ 4}
2
8 ( ) = + 1, > 2.已知函数 ( 2), 1 < ≤ 2，且对于 1， 2 ∈ (1, + ∞)( ≠ )
( 2) ( 1)
1 2 都满足 > 0，则2 2 1
实数 的取值范围是( )
A. {2} B. [2,4] C. (0,4] D. (1, 32 ]
9.宋代著名类书《太平御览》记载：“伏羲坐于方坛之上，听八风之气，乃画八卦.”乾为天，坤为地，震
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为雷，坎为水，艮为山，巽为风，离为火，兑为泽，象征八种自然现象，以类万物之情.如图所示为太极八
卦图，八卦分据八方，中绘太极，古代常用此图作为除凶避灾的吉祥图案.八卦中的每一卦均由纵向排列的
三个爻组成，其中“ ”为阳爻，“ ”为阴爻，现从八卦中任取两卦，已知取出的两卦中有一卦
恰有一个阳爻，则另一卦至少有两个阳爻的概率为( )
A. 4 3 5 27 B. 7 C. 6 D. 3
二、填空题：本题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。
10 ( ) [ 1,1] = ( +1).已知函数 的定义域为 ，则 的定义域为
2 2 3
11.某 10 人组成兴趣小组，其中有 5 名团员，从这 10 人中任选 4 人参加某种活动，用 表示 4 人中的团员
人数，则 ( = 3) = ______； = ______．
12.若函数 ( ) = 2 2 + + 3在( ∞,2)上单调递减，则 的取值范围是______．
13 2.有 5 条同样的生产线，生产的零件尺寸(单位： )都服从正态分布 (20, 2))，且 (19 < ≤ 21) = 3，
在每条生产线上各取一个零件，恰好有 3 个尺寸在区间(20,21]的概率为______．
14.科学健身倡导综合性训练，但一些健身爱好者由于盲目追求高强度运动且只进行某种单一的运动方式，
忽视热身和拉伸等导致运动损伤.大文在某健身房健身，已知他每天只进行一项运动，且每天进行有氧运动、
力量训练、平衡性训练的概率分别为 0.3，0.5，0.2，他在有氧运动、力量训练、平衡性训练中出现运动损
伤的概率分别为 0.3，0.4，0.7.则大文出现运动损伤的概率为______；在大文已经出现运动损伤的条件下，
由于力量训练导致他运动损伤的概率为______．
15 .设 > 0， > 0， + 2 = 2，则( 2)( 1)+4的最大值为______．
三、解答题：本题共 2 小题，共 25 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
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16.(本小题 10 分)
已知 ( ) = 4 2 3， ∈ 且为常数．
(1)当 = 2 时，求 ( ) > 0 的解集；
(2)当 ∈ [0,2]，恒有 ( ) > 4，求实数 的取值范围．
17.(本小题 15 分)
某公司对其开发的 软件进行测试，拟定让 软件随机从指定题库中回答几道语文和数学问题，题库中语
2 3
文与数学问题题数比例为3，现经过测试得到测试数据， 软件答对语文问题的概率为4， 软件答对数学
1
问题的概率为2．
(1)若从该指定题库中随机选取 1 道题让 软件回答，求 软件回答正确的概率．
(2)若从该指定题库中随机选取 4 道题让 软件回答，且 4 道问题是否答对相互独立，设 表示 软件回答
正确的题数，求 的分布列与期望；
(3)若从该指定题库中随机选取几道题让 软件回答，且每道问题是否答对相互独立，并规定连续答对 2 题
或连续答错 3 题则停止答题，设 表示 软件回答问题的题数，求 ( = 5)．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.[ 2, 1)
11. 521 2
12.[2, 73 ]
13. 40243
14.0.43 2043
15. 29
16.(1) = 2 时， ( ) = 4 2 +1 3，
令2 = > 0，则 = 2 2 3， 2 2 3 > 0，解得 > 3，
故2 > 3，解得 > log23，故不等式 ( ) > 0 的解集为(log23, + ∞)；
(2)4 2 3 > 4 4 2 + 1 > 0，
∈ [0,2]，令2 = ∈ [1,4]，则 2 + 1 > 0 在 ∈ [1,4]上恒成立，
1
故 + > 在 ∈ [1,4]上恒成立，
1
其中 = + 在 ∈ [1,4]上单调递增，故当 = 1 时， = +
1
取得最小值，最小值为 2，
故 < 2，即实数 的取值范围为( ∞,2)．
17.(1)根据题意，从该指定题库中随机选取 1 道题让 软件回答，设 =“选出的是语文问题”， =“选
出的数学问题”，
=“ 软件回答正确”，
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则 ( ) = 2 ( ) = 35， 5， ( | ) =
3
4， ( | ) =
1
2，
故 ( ) = ( ) ( | ) + ( ) ( | ) = 35；
(2)根据题意， 可取的值为 0、1、2、3、4，
则 ( = 0) = 04 × (1
3
5 )
4 = 16625，
( = 1) = 14 × (
3
5 ) × (1
3
5 )
3 = 96625，
( = 2) = 2 × ( 3 )2 × (1 3 )2 = 2164 5 5 625，
( = 3) = 34 × (
3 3
5 ) × (1
3 ) = 2165 625，
( = 4) = 44 × (
3
5 )
4 = 81625，
故 的分布列为：
0 1 2 3 4
16 96 216 216 81625 625 625 625 625
( ) = 0 × 16 + 1 × 96 216 216则其期望 625 625 + 2 × 625 + 3 × 625 + 4 ×
81
625 = 2.4；
(3)根据题意， = 5 即 软件回答 5 个问题后停止答题，
设 =“最后 2 道题 软件均答对”， =“最后 3 道题 软件均答错”，
( ) = 1 3 3 3 2 2162 × ( 5 ) × (1 5 ) = 3125，
( ) = ( 35 ) × (1
3 4 48
5 ) = 3125，
那么 ( = 5) = ( ) + ( ) = 216 + 48 2643125 3125 = 3125．
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