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2024-2025学年人教版八年级下期末复习专题特训
专题五 平行四边形
01 知识结构
02 重难点突破
重难点1 平行四边形的性质与判定
【例1】．如图，在 中，为的中点．请仅用无刻度的直尺分别按下列要求作图（保留作图痕迹）．
(1)在图1中，作出经过点的一条线段，使；
(2)在图2中，作出一条经过点且与平行的直线．
要证明一个四边形是平行四边形，通常按照已知条件的特征来选择判定方法，五种方法中选择最佳方法证明。
1．如图，已知是边长为3的等边三角形，点是边上的一点，且，以为边作等边，过点作，交于点，连接．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)比较与的大小．并说明理由．
2．【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第77页的部分内容．
平行四边形的性质定理3平行四边形的对角线互相平分．我们可以用演绎推理证明这个结论．已知：如图的对角线和相交于点．求证：，．观察图形，与、与分别属于哪两个三角形？
请根据教材提示，结合图1，写出完整的证明过程．
【性质应用】如图2，在中，对角线、相交于点过点且与边、分别相交于点、．求证：．
【拓展提升】在【性质应用】的条件下，连接，若，的周长是，则的周长是_____．
3．在一次数学探究活动中，小明用一根木棒把四边形分割成2个部分（如图1），经测量发现，，.
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若点P为线段上的动点（点P不与点D重合），连接，过点P作交直线于点E.如图2，当点P为线段的中点时：
①连接，请写出与之间的数量关系并说明理由；
②请写出，之间的数量关系并说明理由；
③如图3，当点P在线段上时，请直接写出，，之间的数量关系________________.
4．如图，中，把沿翻折得到，、相交于点F．
(1)求证：；
(2)连接交于点O，连接，在不添加辅助线的条件下请直接写出图中所有等腰三角形．
5．如图，在平行四边形中，点E，F分别在，上，且．连结，交于点O．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)若，的周长是12，求平行四边形的周长．
重难点2 特殊平行四边形的性质与判定
【例2】．已知长方形中，，点、分别是线段和射线上的动点，且．
(1)如图，若，，求线段的长度；
(2)如图，若，，求线段的长度；
(3)如图，若点在的延长线上，点是中点，且与互补，求线段的长度．
要证明一个四边形是特殊平行四边形，如果已知四边形是一般四边形，根据已知条件的特征判定，如果已知四边形是平行四边形，可根据所给条件从边、角、对角线的特点判定是何种特殊四边形。
1．如图，在中，是边上的中线，是的中点，交的延长线于点，连接．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，，求四边形的面积．
2．如图1，在中，于点E，延长至点F，使，过点F作于点H，交于点G．
(1)求证：．
(2)如图2，连接，点E是的中点，．
①若，求的长．
②如图3，延长至点M，使得，连接，，猜想与之间存在怎样的关系？并说明理由．
③如图4，在②的条件下，连接，作点C关于的对称点N，连接，，若，请直接写出的大小．
3．如图，点为矩形的对称中心，，，点、、分别在边、、上．点从点出发向点运动，速度为，点从点出发向点运动，速度为，点从点出发向点运动，速度为．当点到达点（即点与点重合）时，三个点随之停止运动．在运动过程中，关于直线的对称图形是，设点、、运动的时间为（单位：s）．
(1)四边形________（填“能”或“不能”）是正方形；
(2)若、分别是、的中点，连接，问：当为何值时，四边形是平行四边形？
(3)是否存在实数，使得点与点重合？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
4．通过学习，同学们知道，我们可以通过平行四边形转移边和角等信息，根据你的学习，完成下面的问题．如图，已知垂直平分线段，，．
(1)证明：四边形 是平行四边形；
(2)若，，求的长．
(3)已知，如图，四边形中，，，，请写出图中与相等的线段，并证明．
5．如图①，四边形为正方形，为对角线上一点，连接，．
(1)求证：；
(2)如图2，过点作，交边于点，以，为邻边作矩形，连接．
①求证：矩形是正方形；
②若正方形的边长为，，求正方形的边长；
(3)若正方形的边长为，连接，如图③，直接写出的值．
重难点3 三角形的中位线定理的应用
【例3】．图、图均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，小正方形的顶点称为格点，点，，，均在格点上，用无刻度的直尺在给定的网格中按要求画图．
(1)如图，在上找一点，连接，使；
(2)如图，在上找一点，连接，使．（此小题保留作图痕迹）
方法指导
当条件中中点比较多时，考虑应用三角形的中位线定理
变式训练3
1．如图，A、B两地被建筑物阻隔，为测量A、B两地的距离，连接、，分别取、的中点、．若的长为，求A、B两地的距离．
2．如图，已知等边三角形和，，，，三点在同一直线上．请仅用无刻度直尺完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法）：
(1)在图①中，作一条与平行的直线；
(2)在图②中，作一条与平行的直线．
3．如图，四边形为平行四边形，为上的一点，连结并延长，使，连结并延长，使，连结．为的中点，连结．

(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)若，，，求的度数．
4．如图1，中，，点为中点，点为上一点，连结．已知．动点从点出发，以1个单位/秒的速度沿线段向终点运动，设点运动的时间为（秒）．
　
(1)求证：．
(2)若为等腰三角形时，求的值．
(3)如图2，动点出发的同时，另有一点从点出发沿线段向终点运动，速度为个单位/秒，连结，将线段绕点分别向顺时针和逆时针方向旋转，得到线段和，当三点共线时，直接写出的值为______．
重难点4 平行四边形性质判定的应用
【例4】．如图，在四边形池塘的四个顶点处各有一棵树．若要扩建池塘，使扩建后的池塘是平行四边形，且面积是原来的两倍，树的位置不变且不能在水中．试画出扩建后的池塘．
方法指导
应用平行四边形的性质判定解决有关问题时，首先根据问题中所给条件判定四边形是平行四边形，再利用平行四边形的性质解决有关问题。
1．如图，在平行四边形中，，，点在边上以每秒的速度从点向点运动，点在边上以每秒的速度从点出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点到达点时停止运动，同时点也停止运动．设运动时间为秒，开始运动以后，当为何值时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形？
2．如图，在中，D、E分别是、的中点，F是延长线上的点，且．
(1)图中的平行四边形有哪几个？请说明理由．
(2)若的面积是4，求四边形的面积．
3．实践操作：如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为，线段的端点都在格点上，点不在格点上，仅用无刻度的直尺按以下要求作图．
(1)请将图中线段向右平移个单位，再向上平移个单位，画出平移后的线段（点、分别对应点、）；
(2)在（1）的条件下，连接、，过点作一条直线平分四边形的面积，并保留作图痕迹．
4．如图，四边形中，，，点是的中点．请利用无刻度直尺画出边中点，并说明理由．
重难点5 中点四边形
【例5】．阅读理解：我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫中点四边形，如图1，在四边形中，分别是边的中点，依次连接各边中点得到中点四边形．
(1)菱形的中点四边形的形状是_______；
(2)如图2，在四边形中，点在上且和为等边三角形，分别为的中点，试判断四边形的形状并证明．
(3)若四边形的中点四边形为正方形，的最小值为4，则_______．
方法指导
连接任意四边形各边中点所得的四边形是平行四边形，连接对角线相等的四边形各边中点所得的四边形是菱形，连接对角线互相垂直的四边形各边中点所得的四边形是矩形，连接对角线相等且垂直的四边形各边中点所得的四边形是正方形。
变式训练5
1．如图，点D，E，F分别是，，的中点，连接，，，；
(1)求证：，相平分；
(2)现有三个条件：①；②平分；③；
请你从中选择两个条件（写序号）： 使得四边形是正方形，并加以证明．
2．如图，，，，分别是四边形各边的中点，顺次连接，，，．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)当四边形的对角线，满足______时，四边形是正方形．
3．阅读下面材料：
在数学课上，老师请同学们思考如下问题：如图1，我们把一个四边形的四边中点E，F，G，H依次连接起来得到的四边形是平行四边形吗？
小敏在思考问题时，有如下思路：连接．
结合小敏的思路作答：
（1）若只改变图1中四边形的形状（如图2），则四边形还是平行四边形吗？请说明理由；
参考小敏思考问题的方法，解决以下问题：
（2）如图2，在（1）的条件下，若连接，．当与满足什么关系时，四边形是正方形．直接写出结论．
阅读理解，我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫中点四边形，如图1，在四边形中，分别是边的中点，依次连接各边中点得到中点四边形．
(1)这个中点四边形的形状是 ；
(2)如图2，在四边形中，点在上且和为等边三角形，分别为的中点，试判断四边形的形状并证明．
2024-2025学年人教版八年级下期末复习专题特训
专题五 平行四边形（解析版）
01 知识结构
02 重难点突破
重难点1 平行四边形的性质与判定
【例1】．如图，在 中，为的中点．请仅用无刻度的直尺分别按下列要求作图（保留作图痕迹）．
(1)在图1中，作出经过点的一条线段，使；
(2)在图2中，作出一条经过点且与平行的直线．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题是无刻度直尺作图题，考查了平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理，根据相关知识点正确作图是解题关键．
（1）连接与交于点，由平行四边形的性质可知，点为的中点，则是的中位线，即；
（2）连接与交于点，由平行四边形的性质可知，点为的中点，连接并延长交于点，则点是的中点，连接并延长交的延长线于点，连接，则四边形是平行四边形，射线交于点，直线即为与平行．
【详解】（1）解：如图，线段即为所求作；
（2）解：如图，直线即为所求作．
要证明一个四边形是平行四边形，通常按照已知条件的特征来选择判定方法，五种方法中选择最佳方法证明。
1．如图，已知是边长为3的等边三角形，点是边上的一点，且，以为边作等边，过点作，交于点，连接．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)比较与的大小．并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)，理由见解析
【分析】（1）连接证明，得到，证明是等边三角形．则．即可得到结论；
（2）作于．求出和，即可得到结论．
【详解】（1）证明：连接
∵都是等边三角形，
．
．
∴
．
∵，
．
是等边三角形．
．
四边形是平行四边形．
（2）作于．
∴，
在Rt中，，
四边形是平行四边形
，
又，
又是等边三角形，各边上的高相等都是
．
．
【点睛】此题考查了等边三角形性质、平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，证明四边形是平行四边形是关键．
2．【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第77页的部分内容．
平行四边形的性质定理3平行四边形的对角线互相平分．我们可以用演绎推理证明这个结论．已知：如图的对角线和相交于点．求证：，．观察图形，与、与分别属于哪两个三角形？
请根据教材提示，结合图1，写出完整的证明过程．
【性质应用】如图2，在中，对角线、相交于点过点且与边、分别相交于点、．求证：．
【拓展提升】在【性质应用】的条件下，连接，若，的周长是，则的周长是_____．
【答案】教材呈现：证明见解析；性质应用：证明见解析；拓展提升：24
【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质、线段垂直平分线的判定和性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
教材呈现：根据平行四边形性质得出，，进而证明，即可得出结论；
性质应用：根据平行四边形性质得出，，进而证明，即可得出结论；
拓展提升：由，，可得垂直平分线段，得出，进而求出，即可求解．
【详解】教材呈现
证明：四边形是平行四边形，
，，
，，
，
，；
性质应用
证明：四边形是平行四边形，
，，
，，
，
；
拓展提升：24；
解：，，
垂直平分线段，
，
的周长是，
，
四边形是平行四边形，
，，
的周长为，
故答案为24．
3．在一次数学探究活动中，小明用一根木棒把四边形分割成2个部分（如图1），经测量发现，，.
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若点P为线段上的动点（点P不与点D重合），连接，过点P作交直线于点E.如图2，当点P为线段的中点时：
①连接，请写出与之间的数量关系并说明理由；
②请写出，之间的数量关系并说明理由；
③如图3，当点P在线段上时，请直接写出，，之间的数量关系________________.
【答案】(1)见解析
(2)①，理由见解析；②，理由见解析；③
【分析】（1）证明，根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形，即可得出结论；
（2）①连接，可知是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可知，则是等腰直角三角形，即可得结论；
②证明，利用全等三角形性质即可得到；
③过点作交于点，首先证明，得，进而再证明是等腰直角三角形即可得到结论．
【详解】（1）证明：，，
，
．
，，
，
，
．
四边形是平行四边形；
（2）①，理由如下：
连接，如图所示：
由（1）知是等腰直角三角形，当点为线段的中点时，则，
∴，则是等腰直角三角形，
∴，
②，理由如下：
由上可知是等腰直角三角形，
∴，，
，
．
，
．
，，
，
，
．
③．
理由如下：过点作交于点，如图所示：
，，
，
，
．
四边形是平行四边形，，
．
，，
，
，，
，
，
．
在中，，则．
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查四边形综合题，涉及平行四边形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，根据题意作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
4．如图，中，把沿翻折得到，、相交于点F．
(1)求证：；
(2)连接交于点O，连接，在不添加辅助线的条件下请直接写出图中所有等腰三角形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了翻折变换，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，等腰三角形的性质，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键．
（1）由平行四边形的性质和折叠的性质可得，，由“”可证，可得，，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求，可得结论；
（2）由全等三角形的性质可得，，则，是等腰三角形，由“”可证，可得，可证结论．
【详解】（1）证明： ∵四边形是平行四边形，
，，
∵把沿翻折得到，
，，
，，
在和中，
，
，，
，，
又，
，
；
（2）解：，，
，是等腰三角形，
∵四边形是平行四边形，
，，，
，
∵把沿翻折得到，
，，
，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
5．如图，在平行四边形中，点E，F分别在，上，且．连结，交于点O．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)若，的周长是12，求平行四边形的周长．
【答案】(1)详见解析
(2)
【分析】本题考查了平行四边形的性质及判定，线段垂直平分线的性质，正确运用平行四边形的性质及判定定理是解题的关键。
（1）根据平行四边形的性质可得，,再结合已知利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可以证明四边形是平行四边形即可；
（2）根据平行四边形的性质得，由可证明是的垂直平分线，可得，根据的周长是12及平行四边形的对边相等这一性质即可求出平行四边形的周长．
【详解】（1）证明：∵平行四边形，
，，
，
， ，
∴四边形是平行四边形，
（2）解：由（1）得，平行四边形，
，
，
，
的周长是12，
，
∴平行四边形的周长.
重难点2 特殊平行四边形的性质与判定
【例2】．已知长方形中，，点、分别是线段和射线上的动点，且．
(1)如图，若，，求线段的长度；
(2)如图，若，，求线段的长度；
(3)如图，若点在的延长线上，点是中点，且与互补，求线段的长度．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查勾股定理，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，熟练掌握矩形的判定和性质是解题的关键；
（1）根据题意，证明，进而判定，利用勾股定理即可求解；
（2）过点作垂足为点、交于点，过点作于点，延长交于点，根据矩形的性质可得，进而证明四边形是矩形，根据等面积法，进而求解；
（3）延长与的延长线交于点，过点于点，进而证明，令、则，根据，即可求解；
【详解】（1）解：如图，设，，，，
，，
，
，
，
在矩形中，，，，
，
，
，
在和中，
，，，
，
，
，
；
（2）解：如图，过点作垂足为点、交于点，过点作于点，延长交于点，设，，，，
则，，
在矩形中，，，，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，，，
，
，，
，
，，，
四边形是矩形，
，，，
，
，
，
解得：；
（3）解：如图，延长与的延长线交于点，过点于点，
在矩形中，，，，，
为的中点，
，
，，
在示中，
，，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
令、则，
，
，
，
，
，
，
，
．
要证明一个四边形是特殊平行四边形，如果已知四边形是一般四边形，根据已知条件的特征判定，如果已知四边形是平行四边形，可根据所给条件从边、角、对角线的特点判定是何种特殊四边形。
1．如图，在中，是边上的中线，是的中点，交的延长线于点，连接．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，，求四边形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)6
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质．
（1）根据证，利用全等三角形的对应边相等得到．结合已知条件，利用“有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”证得结论；
（2）根据勾股定理求得，根据直角三角形斜边上中线性质得出，得出四边形是菱形，再利用菱形的面积公式即可求解．
【详解】（1）证明：∵，
，
是的中点，
，
在和中，
，
，
，
是边上的中线，
，
．
∵，
四边形是平行四边形；
（2）解：连接，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，是边上的中线，
∴，
∴平行四边形是菱形，
∴四边形的面积．
2．如图1，在中，于点E，延长至点F，使，过点F作于点H，交于点G．
(1)求证：．
(2)如图2，连接，点E是的中点，．
①若，求的长．
②如图3，延长至点M，使得，连接，，猜想与之间存在怎样的关系？并说明理由．
③如图4，在②的条件下，连接，作点C关于的对称点N，连接，，若，请直接写出的大小．
【答案】(1)见解析
(2)①4；②；见解析；③
【分析】（1）由，得到，由四边形是平行四边形，得到，，再结合，证明，得到；
（2）①解：延长，交延长线于点P，由点是的中点，，得到，再证明，得到，即可利用斜边中线得到；
②先证明四边形是正方形，得到，，再证明，得到，，即可得到；
③连接，，，过作交延长线于，在②的条件下，，，，，，证明，得到，则，再由作点C关于的对称点N，得到四边形为正方形，得到，最后证明，得到．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（2）①解：延长，交延长线于点P，
∵，
∴，
∵点是的中点，，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
②，，理由如下：
∵，，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
又∵，，
∴四边形是正方形，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴；
③连接，，，过作交延长线于，
在②的条件下，，，，，
∴，，
∴，
∴，
∵作点C关于的对称点N，
∴，，，
∴，
∵，
∴四边形为正方形，
∴，
由（2），
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，轴对称的性质等知识点．
3．如图，点为矩形的对称中心，，，点、、分别在边、、上．点从点出发向点运动，速度为，点从点出发向点运动，速度为，点从点出发向点运动，速度为．当点到达点（即点与点重合）时，三个点随之停止运动．在运动过程中，关于直线的对称图形是，设点、、运动的时间为（单位：s）．
(1)四边形________（填“能”或“不能”）是正方形；
(2)若、分别是、的中点，连接，问：当为何值时，四边形是平行四边形？
(3)是否存在实数，使得点与点重合？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)不能
(2)；
(3)．
【分析】（1）由题意得，则四边形不能是正方形；
（2）连接，证明四边形是矩形，求得，推出当时，四边形是平行四边形，据此求解即可；
（3）由对称的性质知是线段的垂直平分线，当点与点重合时，，利用等积法求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，，，
∵，
∴四边形不能是正方形，
故答案为：不能；
（2）解：
连接，
∵矩形，
∴，，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是矩形，
∴，，
∵、分别是、的中点，
∴，，
∴，
当时，四边形是平行四边形，
此时，即，
解得；
（3）解：存在实数，使得点与点重合，
连接交于点，连接，，
∵矩形，，，
∴，
∴，
∵关于直线的对称图形是，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
当点与点重合时，，
在中，，，，
∴，
∵，
∴，即，
解得．
【点睛】本题考查的是翻折变换的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线定理，线段垂直平分线的性质，正确引出辅助线解决问题是解题的关键．
4．通过学习，同学们知道，我们可以通过平行四边形转移边和角等信息，根据你的学习，完成下面的问题．如图，已知垂直平分线段，，．
(1)证明：四边形 是平行四边形；
(2)若，，求的长．
(3)已知，如图，四边形中，，，，请写出图中与相等的线段，并证明．
【答案】(1)证明见解析；
(2)；
(3)，理由见解析．
【分析】本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定和性质，勾股定理的应用，等腰三角形的判定等知识，掌握相关知识是解题的关键．
（）先证得，求得，从而得到，所以，因为，，所以即可证得；
（）先证得平行四边形是菱形，然后根据勾股定理即可求解；
（）过作，交与点，过作于点，于点，连接，四边形是平行四边形，则，，再证明，所以，然后证明，根据性质可得，由平行线的性质可得，最后利用等角对等边即可求证．
【详解】（1）证明：∵垂直平分，
∴，，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵四边形是平行四边形，，
∴四边形是菱形，
∴，
∵，
设，则，
∴，即
解得：，
∴，
∴；
（3）解：，理由：
如图，过作，交与点，过作于点，于点，连接，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
5．如图①，四边形为正方形，为对角线上一点，连接，．
(1)求证：；
(2)如图2，过点作，交边于点，以，为邻边作矩形，连接．
①求证：矩形是正方形；
②若正方形的边长为，，求正方形的边长；
(3)若正方形的边长为，连接，如图③，直接写出的值．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②；
(3)8
【分析】（1）根据正方形的性质证明，即可解决问题；
（2）①作于，于，得到，然后证，则，即可证明；
②证明，可得，，证明，连接，根据勾股定理即可解决问题．
（3）根据正方形的性质和勾股定理求得，由（2）得，则．
【详解】（1）证明：四边形为正方形，
，，
在和中，
，
，
；
（2）解：①过点E作于，于，如图，

正方形中，，
四边形是矩形，
，
点是正方形对角线上的点，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
四边形是矩形，
矩形是正方形；
②正方形和正方形，
，，，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
在中，．
，
，
如图，连接，

，
是等腰直角三角形，
．
正方形的边长为．
（3）解：∵正方形的边长为，
∴，
由（2）得，
则．
【点睛】此题主要考查了正方形的判定与性质，矩形的判定与性质，三角形的全等的性质和判定，勾股定理，角平分线的性质，解本题的关键是根据题中所给条件正确作出辅助线构造全等三角形．
重难点3 三角形的中位线定理的应用
【例3】．图、图均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，小正方形的顶点称为格点，点，，，均在格点上，用无刻度的直尺在给定的网格中按要求画图．
(1)如图，在上找一点，连接，使；
(2)如图，在上找一点，连接，使．（此小题保留作图痕迹）
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查的知识点是中位线性质、无刻度直尺作图，解题关键是熟练掌握无刻度直尺作图的方法．
（1）根据中位线性质即可得到；
（2）用无刻度直尺作垂线即可得到．
【详解】（1）解：如图，点即为所求．
依题得：点是中点，
取中点，连接，
此时是中位线，
，
．
（2）解：如图，过中点作的垂线交于点，点即为所求．
此时，
即，
又中，，
．
方法指导
当条件中中点比较多时，考虑应用三角形的中位线定理
变式训练3
1．如图，A、B两地被建筑物阻隔，为测量A、B两地的距离，连接、，分别取、的中点、．若的长为，求A、B两地的距离．
【答案】
【分析】本题考查的是三角形中位线定理，根据三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半解题即可．
【详解】点，分别为，的中点，
，
∴
答：、两地的距离为．
2．如图，已知等边三角形和，，，，三点在同一直线上．请仅用无刻度直尺完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法）：
(1)在图①中，作一条与平行的直线；
(2)在图②中，作一条与平行的直线．
【答案】(1)
(2)
【解析】略
3．如图，四边形为平行四边形，为上的一点，连结并延长，使，连结并延长，使，连结．为的中点，连结．

(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)若，，，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）证明为的中位线，得出，，由为的中点，得到，由四边形为平行四边形，得到，从而得到，即可得证；
（2）由平行四边形的性质得到，由等腰三角形的性质得出，由三角形内角和定理得出，最后由，即可得出答案．
【详解】（1）证明：，，
为的中位线，
，，
为的中点，
，
，
四边形为平行四边形，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：四边形为平行四边形，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，熟练掌握平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，是解题的关键．
4．如图1，中，，点为中点，点为上一点，连结．已知．动点从点出发，以1个单位/秒的速度沿线段向终点运动，设点运动的时间为（秒）．
　
(1)求证：．
(2)若为等腰三角形时，求的值．
(3)如图2，动点出发的同时，另有一点从点出发沿线段向终点运动，速度为个单位/秒，连结，将线段绕点分别向顺时针和逆时针方向旋转，得到线段和，当三点共线时，直接写出的值为______．
【答案】(1)证明见详解；
(2)的值为或；
(3)；
【分析】（1）设，，，则，再利用勾股定理的逆定理证明即可；
（2）如图1中，，取得中点，连接，分两种情况：，，分别求解即可；
（3）如图2中，过点作于点，过点作交的延长线于点，证得，由此构建方程求解即可．
【详解】（1）证明：设，，，
则，
∴，
∴，
∴是直角三角形，
∴；
（2）如图1中，取得中点，连接，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，，，
∴，
当时，，
∴，
当时，，
∵点在上运动，
∴不可能，
综上所述，满足条件的的值为或；
（3）如图2中，过点作于点，过点作交的延长线于点，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴（），
∴，，
同理可证，
∴，，
∴，
∵，，
∴（），
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
重难点4 平行四边形性质判定的应用
【例4】．如图，在四边形池塘的四个顶点处各有一棵树．若要扩建池塘，使扩建后的池塘是平行四边形，且面积是原来的两倍，树的位置不变且不能在水中．试画出扩建后的池塘．
【答案】作图见解析
【分析】本题考查作图一应用与设计作图、平行四边形的判定与性质，连接，交于点 ，过点作的平行线，过点作的平行线，过点作的平行线，过点作的平行线，四条平行线依次交于点，，，，则即为所求，解题的关键是理解题意，灵活运用平行四边形的判定与性质解决问题．
【详解】解：连接，交于点 ，过点作的平行线，过点作的平行线，过点作的平行线，过点作的平行线，四条平行线依次交于点，，，，如图所示：
则四边形均为平行四边形，
，
，则即为所求．
方法指导
应用平行四边形的性质判定解决有关问题时，首先根据问题中所给条件判定四边形是平行四边形，再利用平行四边形的性质解决有关问题。
1．如图，在平行四边形中，，，点在边上以每秒的速度从点向点运动，点在边上以每秒的速度从点出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点到达点时停止运动，同时点也停止运动．设运动时间为秒，开始运动以后，当为何值时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形？
【答案】
【分析】此题考查了平行四边形的判定和性质，注意能求出符合条件的所有情况是解此题的关键，注意掌握分类讨论思想的应用．设经过秒，根据平行四边形的判定可得当时，以点，，，为顶点组成平行四边形，然后分情况讨论，再列出方程，求出方程的解即可．
【详解】解：∵平行四边形是平行四边形，
∴，，
∵要使以点，，，为顶点组成平行四边形，
∴只需，
∵点从点到点需要，点从到需要，
分为以下情况：
当时，即点的运动路线在时，
由题意，得：，
解得：，此时不符合题意；
②当时，点的运动路线在时，
由题意，得：，
解得：；
③当时，点的运动路线在时，
由题意，得：，
解得：，此时不符合题意；
综上所述，．
2．如图，在中，D、E分别是、的中点，F是延长线上的点，且．
(1)图中的平行四边形有哪几个？请说明理由．
(2)若的面积是4，求四边形的面积．
【答案】(1)图中的平行四边形有：平行四边形，平行四边形，理由见解析
(2)16
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，关键是掌握平行四边形的判定定理，掌握平行四边形对角线分成的四个小三角形面积相等．
（1）由为的中点，可得，再由条件可得四边形是平行四边形；
（2）根据等底等高的三角形面积相等可得平行四边形对角线分成的四个小三角形面积相等可得的面积和的面积都等于的面积为4，从而可得四边形的面积为16．
【详解】（1）解：图中的平行四边形有：平行四边形，平行四边形，
理由是：∵E为的中点，
，
，
∴四边形是平行四边形，
，
∵D为的中点，
，
，
∴四边形是平行四边形．
（2）解：由（1）知四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，
∴平行四边形的面积是16．
3．实践操作：如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为，线段的端点都在格点上，点不在格点上，仅用无刻度的直尺按以下要求作图．
(1)请将图中线段向右平移个单位，再向上平移个单位，画出平移后的线段（点、分别对应点、）；
(2)在（1）的条件下，连接、，过点作一条直线平分四边形的面积，并保留作图痕迹．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查的知识点是无刻度直尺作图、作图—平移变换、平行四边形的判定与性质，解题关键是熟练掌握用无刻度直尺作图．
（1）按照题目要求找到点和点平移后对应的格点后相连即可求解；
（2）根据题目要求，连接、后，利用平行四边形的性质找到平行四边形的对角线交点与点相连即可．．
【详解】（1）解：如图，即为所求：
（2）解：如图，连接、后，连接点和、交点即可得到符合条件的直线：
根据平移的性质，且，
四边形是平行四边形，
则根据平行四边形的性质可得，过对角线交点的直线能够平分该平行四边形面积，
点和对角线交点所在直线即为符合条件的直线．
4．如图，四边形中，，，点是的中点．请利用无刻度直尺画出边中点，并说明理由．
【答案】图见解析，理由见解析．
【分析】本题考查了无刻度直尺作图，平行四边形的判定和中点的定义，连接交于点，则点即为所求，再通过平行四边形的判定即可求证，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：如图：连接交于点，
∴点即为所求；
证明：连接，
∵，点是的中点，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，，即点是中点．
重难点5 中点四边形
【例5】．阅读理解：我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫中点四边形，如图1，在四边形中，分别是边的中点，依次连接各边中点得到中点四边形．
(1)菱形的中点四边形的形状是_______；
(2)如图2，在四边形中，点在上且和为等边三角形，分别为的中点，试判断四边形的形状并证明．
(3)若四边形的中点四边形为正方形，的最小值为4，则_______．
【答案】(1)矩形
(2)四边形为菱形；证明见解析
(3)
【分析】（1）由菱形的性质及矩形的判定可得出答案；
（2）连接、，由等边三角形的性质得出，，，证出，由证明，得出，由三角形中位线定理得出，，，，，得出，，证出四边形是平行四边形；再得出，即可得出结论；
（3）连接交于O，连接，当点O在上（即M、O、N共线）时，最小，最小值为的长，再证明即可求得答案．
【详解】（1）解：如图，
四边形是菱形时，连接各边中点，得到四边形，
根据中位线性质得到，，
∴，
同理可得，
∴为平行四边形，
又∵是菱形，
∴，则，
∴为矩形．
故答案为：矩形；
（2）解：四边形为菱形．理由如下：
连接与，如图2所示：
∵和为等边三角形，
，，，
，
在和中，
，
，
，
，，，分别是边，，，的中点，
是的中位线，是的中位线，是的中位线，
，，，，，
，，
四边形是平行四边形；
，
，
四边形为菱形；
（3）解：如图3，连接交于O，连接、，
当点O在上（即M、O、N共线）时，最小，最小值为的长，
∴的最小值，
由性质探究知：，
又∵M，N分别是的中点，
∴，，
∴，
∴的最小值，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∵N，F分别是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了三角形中位线定理，平行四边形、矩形、菱形的判定，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，利用前面得出的结论解决新问题是解题的关键．
方法指导
连接任意四边形各边中点所得的四边形是平行四边形，连接对角线相等的四边形各边中点所得的四边形是菱形，连接对角线互相垂直的四边形各边中点所得的四边形是矩形，连接对角线相等且垂直的四边形各边中点所得的四边形是正方形。
变式训练5
1．如图，点D，E，F分别是，，的中点，连接，，，；
(1)求证：，相平分；
(2)现有三个条件：①；②平分；③；
请你从中选择两个条件（写序号）： 使得四边形是正方形，并加以证明．
【答案】(1)见解析
(2)①③或①②，证明见解析
【分析】本题考查了正方形的判定，三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质．
（1）由三角形中位线定理得，，再证四边形为平行四边形，即可得出结论；
（2）添加①时，四边形是矩形；添加②平分时，，则，此时四边形是菱形；添加③时，由得到，四边形是菱形；选择①③或①②时，四边形是正方形，再根据正方形的判定定理得到结论．
【详解】（1）证明：、、分别是，，的中点，
、都是的中位线，
∴，，
四边形为平行四边形，
、互相平分；
（2）解：①；②平分；③，
∵四边形为平行四边形，
∴添加①时，四边形是矩形；
添加②平分时，，则，此时四边形是菱形；
添加③时，由得到，四边形是菱形；
∴选择①③或①②时，四边形是正方形；
选择①③，
证明：四边形为平行四边形，，
四边形是矩形，
点、分别是、的中点，
是的中位线，
∴，
，
，
四边形是正方形，
选择①②，
证明：四边形为平行四边形，，
四边形是矩形，
平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，此时四边形是菱形；
四边形是正方形，
故答案为：①③或①②．
2．如图，，，，分别是四边形各边的中点，顺次连接，，，．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)当四边形的对角线，满足______时，四边形是正方形．
【答案】(1)见解析
(2)，
【分析】此题考查了三角形中位线的性质和判定，平行四边形和正方形的判定，解题的关键是掌握以上知识点．
（1）连接，首先根据三角形中位线的性质得到，且，，且，进而得到，且，即可证明出四边形是平行四边形；
（2）连接，，同理可得，，，进而得到当时，，证明出平行四边形是菱形，然后由推理得到，进而证明出菱形是正方形．
【详解】（1）解：如图所示，连接
∵点是的中点，点是的中点，
∴，且，
∵点是的中点，点是的中点，
∴，且，
∴，且
∴四边形是平行四边形；
（2）解：当，且时，四边形是正方形．
理由如下：
如图所示，连接，
∵由（1）得，
同理可得，，
∴当时，
∴平行四边形是菱形
当时，
∵
∴
∵
∴
∴菱形是正方形．
3．阅读下面材料：
在数学课上，老师请同学们思考如下问题：如图1，我们把一个四边形的四边中点E，F，G，H依次连接起来得到的四边形是平行四边形吗？
小敏在思考问题时，有如下思路：连接．
结合小敏的思路作答：
（1）若只改变图1中四边形的形状（如图2），则四边形还是平行四边形吗？请说明理由；
参考小敏思考问题的方法，解决以下问题：
（2）如图2，在（1）的条件下，若连接，．当与满足什么关系时，四边形是正方形．直接写出结论．
【答案】（1）是，理由见解析；（2）且
【分析】本题考查了中点四边形，涉及了三角形的中位线定理、平行四边形的判定、菱形的判定、正方形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
（1）结论：四边形还是平行四边形．连接．根据中位线定理证明，即可；
（2）利用（1）的结论，可知需要满足而且，由此可知当与满足且即可．
【详解】解：（1）结论：四边形还是平行四边形．
理由：如图2，连接．
、分别是、中点
，，
同理：，，
，，
四边形是平行四边形．
（2）结论：当且时，四边形是正方形．
理由：如图3中，由（1）四边形是平行四边形
、是、中点
同理：
平行四边形是菱形．
，，
，
，
，
，
四边形是正方形．
阅读理解，我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫中点四边形，如图1，在四边形中，分别是边的中点，依次连接各边中点得到中点四边形．
(1)这个中点四边形的形状是 ；
(2)如图2，在四边形中，点在上且和为等边三角形，分别为的中点，试判断四边形的形状并证明．
【答案】(1)平行四边形
(2)菱形，见解析
【分析】本题考查了中点四边形、菱形的判定方法、三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质；熟练掌握中点四边形，证明三角形全等得出是解决问题（2）的关键．
（1）连接，由三角形中位线定理得出，，，，得出，，即可得出结论；
（2）连接、，由等边三角形的性质得出，，，证出，由证明，得出，由三角形中位线定理得出，，，，，得出，，证出四边形是平行四边形；再得出，即可得出结论．
【详解】（1）解：中点四边形是平行四边形；
理由如下：连接，如图1所示：
，，，分别是边，，，的中点，
是的中位线，是的中位线，
，，，，
，，
四边形是平行四边形；
故答案为：平行四边形；
（2）解：四边形为菱形．理由如下：
连接与，如图2所示：
∵和为等边三角形，
，，，
，
在和中，
，
，
，
，，，分别是边，，，的中点，
是的中位线，是的中位线，是的中位线，
，，，，，
，，
四边形是平行四边形；
，
，
四边形为菱形．
方法指导
变式训练1
方法指导
变式训练2
变式训练4
方法指导
变式训练1
方法指导
变式训练2
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