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2024-2025学年人教版八年级下期末复习专题特训
专题六 平行四边形期末复习提升卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第Ⅰ卷
选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并填入题后括号内）
1．如图，在平行四边形中，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，王老师用四根木棒搭成了平行四边形的框架，量得，固定．逆时针转动，在转动过程中，关于平行四边形的面积变化情况：甲认为：先变大，后变小；乙认为：在转动过程中，平行四边形的面积有最大值，最大值是，则（　　）

A．甲说的对 B．乙说的对 C．甲、乙说的都对 D．甲、乙说的都不对
3．如图，在四边形中，，要使四边形是平行四边形，下列添加的条件不正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．如图是一块等腰三角形空地ABC，已知点D，E分别是边AB，AC的中点，量得AC=12米，AB=BC=8米，若用篱笆围成四边形BCED，则需要篱笆的长是（ ）
A．22米 B．20米 C．17米 D．14米
5．中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．小陶家有一个菱形中国结装饰如图1所示，其示意图如图2所示，测得，，则该菱形的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，是一张平行四边形纸片，利用所学知识作出一个菱形，小明和小亮两位同学的作法如下：
小明：连接，作的中垂线交于E，F，则四边形是菱形．
小亮：分别作与的平分线，分别交于点E，交于点F，则四边形是菱形．
则关于两人的作法，下列判断正确的为（ ）
A．小明正确 B．小亮正确
C．小明和小亮均错误 D．小明和小亮均正确
7．如图，在菱形中，对角线与相交于点，是上任一点，于，于，若，，则的值为（　　）
A． B． C． D．
8．如图，正方形中，分别取和边的中点，连接相交于点，连接，若，则的度数一定为（ ）
A． B． C． D．
9．有一条以互相平行的直线为岸的河流，其两侧有村庄和村庄，现在要在河上建一座桥梁（桥与河岸垂直），使两村庄之间的路程最短，从作图痕迹上来看，正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在边长为的正方形中，为边上一点，且，点在边上以的速度由点向点运动；同时，点在边上以的速度由点向点运动，它们运动的时间为，连接．当与全等时，的值为（　　）
A．1 B．2 C．2或4 D．1或1.5
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．如图，，，，，的面积为6，则四边形的面积为 ．
12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC的中点，DE⊥BC，CE//AD，若AC＝2，CE＝4，则四边形ACEB的周长为 ．
13．如图是一张矩形纸片，点M是对角线的中点，点E在边上，把沿直线折叠，使点C落在对角线上的点F处，连接，．若，则 度．
14．如图，在平行四边形中，以点B为圆心，长为半径画弧交于F点，再分别以点A，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于一点P，连接并延长交于E点，连接，，相交于O点，若，，则的长为 ．
15．四边形是边长为4的正方形，点E在边所在的直线上，连接，以为边，作正方形（点D，点F在直线的同侧），连接，若，则的长为 ．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（8分）如图，四边形是平行四边形，和分别平分和，交于，．与相交于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
17．（8分）如图，在中，，为边上一点，连接，为中点，过点作交的延长线于，连接交于点，连接．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，，求的长．
18．（8分）如图，中，，、分别是、的中点，以为斜边作．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
19．（8分）如图，在中，，点D是的中点，连接，过点C作，过点A作，交于点E，连接交于点O．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)连接交于点F，交于点G，若，求的长．
20．（9分）【教材原题】如图①，在四边形中，，是对角线的中点，是的中点，是的中点．求证：．
【应用】如图②，连结图①中的，并取中点，连结、，其他条件不变．
（1）若，则四边形的周长为________．
（2）若，且，则四边形的面积为________．
21．（9分）【阅读理解】如图1，在矩形中，若，，则________（用含a、b的式子表示）；
【探究发现】如图2，小华发现在平行四边形中，若，，则上述结论依然成立，请你跟随小华的思路，帮他继续完成证明过程．
证明：如图3，延长，过点B、点C分别作于点E，于点F．
在中，且，
，
．
．
设，．
……
________（请继续完成以上证明）
【拓展提升】如图4，已知为的一条中线，，，．
求证：．
【尝试应用】如图5，在矩形中，若，，点P在边上，则的取值范围为________．
22．（12分）综合与实践
顺次连接任意一个四边形的中点得到一个新四边形，我们称这个新四边形为原四边形的中点四边形．数学兴趣小组通过作图、测量，猜想：原四边形的对角线对中点四边形的形状有着决定性作用．以下从对角线的数量关系和位置关系两个方面展开探究．
【探究一】
原四边形对角线关系 中点四边形形状
不相等不垂直 平行四边形
菱形
如图，在四边形中，、、、分别是各边的中点．
求证：中点四边形是平行四边形．
证明：、、、分别是、、、的中点，
、分别是和的中位线，
，（ ），
．
同理可得：．
中点四边形是平行四边形．
结论：任意四边形的中点四边形是平行四边形．
请你补全上述过程中的证明依据 ．
【探究二】
从作图、测量结果得出猜想：原四边形的对角线相等时，中点四边形是菱形．
下面我们结合图2来证明猜想，请你在探究一证明结论的基础上，写出后续的证明过程．
【探究三】
从作图、测量结果得出猜想：原四边形对角线垂直时，中点四边形是 ．
下面我们结合图3来证明猜想，请你在探究一证明结论的基础上，写出后续的证明过程．
23．（13分）综合与探究
问题情境：
如图1，四边形是正方形，点是线段上一点，连接，以为一边作正方形，连接．
探索发现：
（1）猜想与的数量关系，并说明理由；
猜想证明：
（2）如图2，连接交于点，连接，请探究、、三条线段之间的数量关系，并说明理由．
拓展延伸：
（3）如图3，在图1的基础上连接交于点，连接，猜想的形状，并说明理由．
2024-2025学年人教版八年级下期末复习专题特训
专题六 平行四边形期末复习提升卷（解析版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第Ⅰ卷
选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并填入题后括号内）
1．如图，在平行四边形中，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由平行四边形的性质可得，，即可求的度数．
此题主要考查了平行四边形的性质，灵活的应用平行四边形的性质是解决问题的关键．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，且，
∴，
∴，
故选：A．
2．如图，王老师用四根木棒搭成了平行四边形的框架，量得，固定．逆时针转动，在转动过程中，关于平行四边形的面积变化情况：甲认为：先变大，后变小；乙认为：在转动过程中，平行四边形的面积有最大值，最大值是，则（　　）

A．甲说的对 B．乙说的对 C．甲、乙说的都对 D．甲、乙说的都不对
【答案】C
【分析】如图，作于点M，则平行四边形的面积，可得，即平行四边形的高的最大值是8cm，进而可判断甲乙的说法.
【详解】解：如图，作于点M，
则平行四边形的面积，
∵，，
∴，即平行四边形的高的最大值是8cm，
∴在转动过程中，平行四边形的面积有最大值，最大值是，故乙的说法正确；
在逆时针转动过程中，先逐渐变大，到与相等时，取得最大值，然后又逐渐变小，所以平行四边形的面积先变大，后变小；故甲的说法正确；
所以甲乙的说法都是正确的，
故选：C.

【点睛】本题考查了平行四边形的面积，正确理解题意、得出平行四边形高的变化情况是解题的关键.
3．如图，在四边形中，，要使四边形是平行四边形，下列添加的条件不正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查平行四边形的判定方法，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．根据平行四边形的判定方法，逐项判断即可．
【详解】解：A、当，时，四边形可能为等腰梯形，所以不能证明四边形为平行四边形，故A符合题意；
B、，，一组对边分别平行且相等，可证明四边形为平行四边形，故B不符合题意；
C、，，两组对边分别平行，可证明四边形为平行四边形，故C不符合题意；
D、∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，故D不符合题意．
故选：A．
4．如图是一块等腰三角形空地ABC，已知点D，E分别是边AB，AC的中点，量得AC=12米，AB=BC=8米，若用篱笆围成四边形BCED，则需要篱笆的长是（ ）
A．22米 B．20米 C．17米 D．14米
【答案】A
【分析】根据三角形的中位线定理可知，然后根据篱笆周长计算即可．
【详解】由题意可知，点D，E分别是边AB，AC的中点，
∴是的中位线，
∴，，，即
∴四边形BCED的周长
故选A．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理，熟知三角形中位线平行且等于底边的一半是解题关键．
5．中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．小陶家有一个菱形中国结装饰如图1所示，其示意图如图2所示，测得，，则该菱形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查菱形的性质，菱形的面积，熟练运用菱形的面积公式是解题的关键．根据菱形的面积为对角线乘积的一半即可．
【详解】解：∵四边形是菱形，，，
．
故选：B．
6．如图，是一张平行四边形纸片，利用所学知识作出一个菱形，小明和小亮两位同学的作法如下：
小明：连接，作的中垂线交于E，F，则四边形是菱形．
小亮：分别作与的平分线，分别交于点E，交于点F，则四边形是菱形．
则关于两人的作法，下列判断正确的为（ ）
A．小明正确 B．小亮正确
C．小明和小亮均错误 D．小明和小亮均正确
【答案】D
【分析】本题主要考查了菱形的判定，全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质、角平分线的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
证明，得出，即可得出四边形是平行四边形，结合，即可得解；由平行线的性质，，由角平分线的定义得出，，得出，，由等角对等边得出，，推出，即可得出四边形是平行四边形，结合，即可得解．
【详解】解：如图1：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形，故小明的作法正确；
如图2，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，，
∵平分，平分，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形，故小亮的作法正确；
故选：D．
7．如图，在菱形中，对角线与相交于点，是上任一点，于，于，若，，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，关键是过作于，证明，由菱形的面积公式求出的长．过作于，由菱形的性质推出，，，，平分，由角平分线的性质推出，由于，，，得到、、共线，因此，由勾股定理求出，由菱形的面积公式得到，即可求出，得到的值．
【详解】解：过作于，
四边形是菱形，
，，，，平分，
于，
，
，，，
、、共线，
，
，，
，，
，
菱形的面积，
，
．
的值为．
故选：C
8．如图，正方形中，分别取和边的中点，连接相交于点，连接，若，则的度数一定为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键，正确地添加辅助线，构造全等三角形是解决问题的难点．延长交的延长线于，先证明和全等得，进而得，再证明和全等得，由此可得，由此即可得出答案．
【详解】解：延长交的延长线于，如图所示：
四边形是正方形，
，，，
，，
点，分别是，的中点，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
即点是斜边上的中点，
，
，
．
故选：D．
9．有一条以互相平行的直线为岸的河流，其两侧有村庄和村庄，现在要在河上建一座桥梁（桥与河岸垂直），使两村庄之间的路程最短，从作图痕迹上来看，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据轴对称确定最短路线，即可得到答案．
【详解】解：根据轴对称确定最短路线问题，过村庄作河岸的垂线并且等于河的宽度，
然后与村庄连接与河岸相交于一点，
过点作与相交于点，
连接，则即为最短路径，
如图 所示，
故选：D．
【点睛】本题考查了轴对称确定最短路线问题，利用的原理为平行四边形的对边相等，难度较大．
10．如图，在边长为的正方形中，为边上一点，且，点在边上以的速度由点向点运动；同时，点在边上以的速度由点向点运动，它们运动的时间为，连接．当与全等时，的值为（　　）
A．1 B．2 C．2或4 D．1或1.5
【答案】C
【分析】此题重点考查正方形的性质、全等三角形的性质．由正方形的性质得，，而，则，再分两种情况讨论，一是当，时，，此时，求得；二是当，时，，由，求得，于是得到问题的答案．
【详解】解：∵四边形是边长为的正方形，
∴，，
∵E为边上一点，且，
∴，
由题意得，则，
当，时，，
∴，
∴；
当，时，，
∴，
∴，
综上，的值为2或4．
故选：C．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．如图，，，，，的面积为6，则四边形的面积为 ．
【答案】8
【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质以及三角形的面积．先判断四边形为平行四边形得到，则，再利用得到点和点到的距离相等，设点到的距离为，利用的面积为可计算出，然后根据平行四边形的面积公式计算四边形的面积．
【详解】解：，
四边形为平行四边形，
，
，
，
点和点到直线的距离相等，
设点到的距离为，
的面积为，
，
解得，
四边形的面积．
故答案为：8．
12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC的中点，DE⊥BC，CE//AD，若AC＝2，CE＝4，则四边形ACEB的周长为 ．
【答案】/
【分析】先证明四边形ACED是平行四边形，可得DE=AC=2．由勾股定理和中线的定义可求AB和EB的长，从而求出四边形ACEB的周长．
【详解】∵∠ACB=90°，DE⊥BC，
∴AC∥DE．
又∵CE∥AD，
∴四边形ACED是平行四边形．
∴DE=AC=2．
在Rt△CDE中，DE= 2，CE＝4，由勾股定理得．
∵D是BC的中点，
∴BC=2CD=4．
在△ABC中，∠ACB=90°，由勾股定理得．
∵D是BC的中点，DE⊥BC，
∴EB=EC=4．
∴四边形ACEB的周长=AC+CE+EB+BA=10+．
故答案为：10+．
13．如图是一张矩形纸片，点M是对角线的中点，点E在边上，把沿直线折叠，使点C落在对角线上的点F处，连接，．若，则 度．
【答案】18
【分析】连接，如图，设，根据矩形的性质，直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，等边对等角，三角形外角的性质求出，根据轴对称的性质，等边对等角，三角形外角的性质和等量代换思想求出和，最后根据三角形内角和定理列出方程求解即可．
【详解】解：连接，如图所示，设，
四边形是矩形，
，
是中点，
，
，，
，
沿直线折叠，点C落在对角线上的点F处，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：18．
【点睛】本题考查矩形的性质，直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，等边对等角，三角形外角的性质，轴对称的性质，三角形内角和定理，综合应用这些知识点是解题关键．
14．如图，在平行四边形中，以点B为圆心，长为半径画弧交于F点，再分别以点A，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于一点P，连接并延长交于E点，连接，，相交于O点，若，，则的长为 ．
【答案】16
【分析】本题主要考查了尺规作角平分线，菱形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理，判断四边形是菱形是解题的关键．
根据尺规作图的步骤可知是的平分线，，再证明四边形是菱形，然后根据勾股定理求出，最后根据菱形的性质即可解答．
【详解】解：根据题意，可知是的平分线，，
∴．
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴是菱形，
∴，．
∴在中，，
∴在菱形中，．
故答案为：16．
15．四边形是边长为4的正方形，点E在边所在的直线上，连接，以为边，作正方形（点D，点F在直线的同侧），连接，若，则的长为 ．
【答案】1或
【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，作辅助线构建直角三角形全等是解决问题的关键．分点E在线段上，在线段延长线上，在线段延长线上三种情况，过作交直线于点，作于，证明，通过全等三角形的性质用表示出，求出，由勾股定理建立方程求解即可得出答案．
【详解】解：当点E在线段上时，过作交的延长线于点，作交延长线于，如图所示，则四边形是矩形，

∴，，
四边形与四边形是正方形，
，，
，
，
，，
∴，
∵，
∴，
∴
，
在中，由勾股定理得，
∴,
∴（舍去）或（舍去），故此种情况不成立；
如图所示，当点E在延长线上时，过作于点，作交延长线于，
同理可得，，
，
在中，由勾股定理得，
∴,
解得或（舍去）；
如图所示，当点E在延长线上时，过作交直线于点，作交延长线于，
同理可得，，
，
在中，由勾股定理得，
∴,
解得或（舍去）；
综上所述，的长为1或．
故答案为：1或．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（8分）如图，四边形是平行四边形，和分别平分和，交于，．与相交于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定，平行线的性质，线段的和差，熟练掌握这些性质与判定是解题的关键．
（1）由平行四边形的性质得，，由平行线的性质得，，结合角平分线得出，，得，，则可得出，即可证明；
（2）利用，得出，再利用线段的和差即可求解．
【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
∵和分别平分和，
∴，，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
17．（8分）如图，在中，，为边上一点，连接，为中点，过点作交的延长线于，连接交于点，连接．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）通过平行线的性质证得，可得，结合题意的即可求证四边形是平行四边形；
（2）设，根据题意可得，通过勾股定理求出，即可求解．
【详解】（1）证明：为中点，
，
，
，，
在和中，
，
，
，
，
四边形是平行四边形．
（2）解：四边形是平行四边形，
，
，，
，
在中，，
设，则，
，
解得（负值舍去），
，
．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，的直角三角形性质，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题关键．
18．（8分）如图，中，，、分别是、的中点，以为斜边作．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)证明见详解
(2)
【分析】本题主要考查了三角形中位线的性质定理和直角三角形斜边中线定理，平行线的性质和等腰三角形的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质定理，并灵活应用．
（1）利用三角形中位线性质定理和直角三角形斜边中线定理即可得出；
（2）根据平行线的性质得到，根据直角三角形的性质得到，根据等腰三角形的性质计算即可．
【详解】（1）证明：∵、分别是、的中点
∴
∵是的中点，，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵、分别是、的中点，
∴，
∴，
∵是的中点，，
∴,
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
19．（8分）如图，在中，，点D是的中点，连接，过点C作，过点A作，交于点E，连接交于点O．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)连接交于点F，交于点G，若，求的长．
【答案】(1)见解析；
(2)．
【分析】本题考查了菱形的判定与性质和勾股定理，解题关键是熟练掌握菱形的判定定理和勾股定理，准确进行推理证明和计算．
（1）先根据，证明四边形是平行四边形，再证明邻边相等即可；
（2）根据菱形的性质得出，得出为等边三角形，再根据勾股定理求解即可．
【详解】（1）证明：∵，点D是的中点，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴，为等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形，
∴，
∴，
由勾股定理得，即，
解得．
20．（9分）【教材原题】如图①，在四边形中，，是对角线的中点，是的中点，是的中点．求证：．
【应用】如图②，连结图①中的，并取中点，连结、，其他条件不变．
（1）若，则四边形的周长为________．
（2）若，且，则四边形的面积为________．
【答案】教材原题：证明见解析；应用：（）；（）
【分析】教材原题：运用三角形中位线定理和等腰三角形性质即可证得结论；
应用：（）运用三角形中位线定理可得，，再由，可得，即可得出答案；
（）同理（）得，得出四边形是菱形，再证得，得出四边形是正方形，进而即可求解．
【详解】解：教材原题：如图① ，
∵分别是的中点，
∴分别是的中位线，
∴，，
∵，
∴，
∴；
应用：（）如图②， ∵分别是的中点，
∴，，
∵，
∴，
∴四边形PMQN的周长为，
故答案为：；
（）如图③ ∵分别是的中点，
∴，，，，
∴，，
∵，
∴，
∴四边形是菱形，
∵，
∴，
∴，
∴菱形是正方形，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，平行线的性质，菱形判定，正方形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．
21．（9分）【阅读理解】如图1，在矩形中，若，，则________（用含a、b的式子表示）；
【探究发现】如图2，小华发现在平行四边形中，若，，则上述结论依然成立，请你跟随小华的思路，帮他继续完成证明过程．
证明：如图3，延长，过点B、点C分别作于点E，于点F．
在中，且，
，
．
．
设，．
……
________（请继续完成以上证明）
【拓展提升】如图4，已知为的一条中线，，，．
求证：．
【尝试应用】如图5，在矩形中，若，，点P在边上，则的取值范围为________．
【答案】阅读理解：；
探究发现：证明见解析；
拓展提升：证明见解析；
尝试应用：．
【分析】阅读理解：利用勾股定理即可表示出；
探究发现：在Rt中表示出，在 Rt中表示出，然后即可表示出；
拓展提升：做辅助线，如图4延长至点E，使，结合已知条件证明四边形ABCD是平行四边形，再利用【探究发现】的结论证的；
尝试应用：做辅助线，如图5过点P作于点H，设，则，根据即可求出的取值范围．
【详解】阅读理解：在矩形中，由勾股定理得，，
故；
探究发现：
证明：如图3，延长，过点B、点C分别作于点E，于点F．
在中，且，
，
，
，
设，，
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
，
在中，，
即，
；
拓展提升：
证明：如图4，延长至点E，使，
是边上的中线，
，
，
四边形ABCD是平行四边形，
由【探究发现】可知，，
，
，
，，，
，
；
尝试应用：
如图5，过点P作于点H，则四边形和四边形是矩形，
，，，
设，则，
，
，
．
【点睛】本题考查了勾股定理，平行四边形的性质和判定，矩形的性质和判定，求二次函数取值范围的应用，熟练掌握相关知识是解题的关键．
22．（12分）综合与实践
顺次连接任意一个四边形的中点得到一个新四边形，我们称这个新四边形为原四边形的中点四边形．数学兴趣小组通过作图、测量，猜想：原四边形的对角线对中点四边形的形状有着决定性作用．以下从对角线的数量关系和位置关系两个方面展开探究．
【探究一】
原四边形对角线关系 中点四边形形状
不相等不垂直 平行四边形
菱形
如图，在四边形中，、、、分别是各边的中点．
求证：中点四边形是平行四边形．
证明：、、、分别是、、、的中点，
、分别是和的中位线，
，（ ），
．
同理可得：．
中点四边形是平行四边形．
结论：任意四边形的中点四边形是平行四边形．
请你补全上述过程中的证明依据 ．
【探究二】
从作图、测量结果得出猜想：原四边形的对角线相等时，中点四边形是菱形．
下面我们结合图2来证明猜想，请你在探究一证明结论的基础上，写出后续的证明过程．
【探究三】
从作图、测量结果得出猜想：原四边形对角线垂直时，中点四边形是 ．
下面我们结合图3来证明猜想，请你在探究一证明结论的基础上，写出后续的证明过程．
【答案】三角形中位线定理；
证明见解析；
矩形；
证明见解析．
【分析】根据三角形中位线定理可证，；
由可知、，根据可证，根据四条边都相等的四边形是菱形可证结论成立；
根据四边形的对角线互相垂直，猜想中点四边形的四个角是直角，所以猜想中点四边形是矩形；
由可知、分别是和的中位线，根据三角形的中位线平行于三角形的第三边，可知、，又根据，可证，根据有三个角是直角的四边形是矩形，可证中点四边形是矩形．
【详解】证明：、、、分别是、、、的中点，
、分别是和的中位线，
，（ 三角形中位线定理），
，
同理可得：，
中点四边形是平行四边形．
故答案为：三角形中位线定理；
证明：由可知，，
，
，
中点四边形是菱形；
从作图、测量结果得出猜想：原四边形对角线垂直时，中点四边形是是矩形，
故答案为：矩形；
证明：由可知、分别是和的中位线，
，
同理可证：，
，
、、、，
，
四边形是矩形．
【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理、平行四边形的判定定理、矩形的判定定理、菱形的判定定理，解决本题的关键是根据三角形中位线定理找到对应线段的数量关系和位置关系，根据线段之间的关系判定中点四边形的形状．
23．（13分）综合与探究
问题情境：
如图1，四边形是正方形，点是线段上一点，连接，以为一边作正方形，连接．
探索发现：
（1）猜想与的数量关系，并说明理由；
猜想证明：
（2）如图2，连接交于点，连接，请探究、、三条线段之间的数量关系，并说明理由．
拓展延伸：
（3）如图3，在图1的基础上连接交于点，连接，猜想的形状，并说明理由．
【答案】（1）猜想，见解析（2），理由见解析（3）是等腰直角三角形，理由见解析
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先由正方形的性质得，再证明，即可作答．
（2）先由得，则三点共线，再结合正方形的性质，证明，即可作答．
（3）先由正方形的性质，得，结合由（1）知，得，因为，则，最后由，得，即可作答．
【详解】解：（1）猜想．
证明：四边形和四边形是正方形，
则，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：，理由如下：
，
，
，
三点共线，
四边形是正方形，
，
在和中，
，
，
，
．
（3）是等腰直角三角形．
理由如下：如图，过点作交于点，
四边形是正方形，
，
，
，
，
由（1）知，
，
又，
，
又，
，
因此，
四边形是正方形，
，
又，
，
因此是等腰直角三角形．
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