资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
2024-2025学年人教版八年级下期末复习专题特训
专题七 一次函数
01 知识结构
02 重难点突破
重难点1 从函数图象中获取信息
【例1】．新能源电动汽车的不断普及让很多人感受到了它的好处，其中最重要的一点就是对环境的保护．如图是某型号新能源电动汽车充满电后，蓄电池剩余电量（千瓦时）与已行驶路程（千米）之间关系的图象．
(1)图中点表示的实际意义是什么？
(2)当时，行驶1千米的平均耗电量是_____千瓦时；当时，行驶1千米的平均耗电量是_____千瓦时；
(3)行驶_____千米时，剩余电量降至20千瓦时．
方法指导
从函数图象中获取信息首先要分清横坐标、纵坐标表示的实际意义，其次要分清图象的起点、终点、拐点、交点的意义，最后根据图象中具体数量关系获取信息。
变式训练1
1．如图，长方形中，宽，点P沿着四边按方向运动，开始以每秒m个单位匀速运动，a秒后变为每秒2个单位匀速运动，b秒后恢复原速匀速运动，在运动过程中，的面积S与运动时间t的关系如图所示．
(1)长方形的长________，宽________；
(2)直接写出________，________，_______；
(3)当P点运动到中点时，有一动点Q从点C出发，以每秒1个单位的速度沿运动，当一个点到达终点，另一个点也停止运动，设点Q运动的时间为x秒，的面积为y，求当时，y与x之间的关系式．
2．甲、乙两人驾驶小汽车沿同一线路从长沙出发去郴州东江湖景区游玩，在整个行驶过程中，甲、乙离开长沙的距离与甲车行驶的时间之间的函数关系如图所示，根据图象信息解答下列问题：
(1)甲车用了______小时到达东江湖景区；
(2)乙车行驶的速度是______；
(3)乙车追上甲车时，他们和长沙的距离是 千米．
3．“龟兔赛跑”的故事同学们都非常熟悉，图中的线段和折线表示“龟兔赛跑”时路程与时间的关系，请你根据图中给出的信息，解决下列问题．
(1)填空：折线表示赛跑过程中______的路程与时间的关系，线段表示赛跑过程中______的路程与时间的关系．赛跑的全程是______米．
(2)兔子在起初每分钟跑多少米？乌龟每分钟爬多少米？
(3)乌龟从出发到追上兔子用了多少分钟？
(4)兔子醒来，以48千米／时的速度跑向终点，结果还是比乌龟晚到了0.5分钟，请你算算兔子中间停下睡觉用了多少分钟？
4．引洋入连是辽宁省“东水济辽”南线工程的骨干工程，是加快完善辽宁空间均衡水网格局的重要组成部分，对促进辽东南地区经济社会发展、保障大连地区全面振兴意义重大，在大连、鞍山、丹东3个市和有关部门的共同努力下，引洋入连工程前期工作取得重大进展．大连某蓄水池外通甲、乙、丙三根水管进行调水，每根水管只负责进水或出水，每小时的运输量丙管最多，乙管最少，乙管每小时可运输水6吨，下图是某天蓄水池水量y（吨）与时间x（小时）的函数图象，段只有甲、丙管运输，段只有乙、丙管运输，段只有甲、乙管运输．
(1)结合图象，通过计算试说明甲、乙、丙三根水管，谁是进水管，谁是出水管；
(2)若甲、乙、丙三根水管一起工作，一天工作8小时，蓄水池的水量会有怎样的变化？
5．如图1，地在地的正东方向，某一时刻，乙车从地开往地，1小时后，甲车从地开往地，当甲车到达地的同时乙车也到达地．如图2，横轴（小时）表示两车的行驶时间（从乙车出发的时刻开始计时），纵轴（千米）表示两车与地的距离．
(1)，两地相距多少千米？
(2)和两条线段分别表示两车距地的距离（千米）与行驶时间（小时）之间的关系，请问哪一条线段表示甲车？
(3)求两车相遇时距地多少千米？
重难点2 一次函数图象与字母系数的关系
【例2】．已知一次函数．
(1)在该函数中，随的增大而增大，求的取值范围；
(2)若，当时，求的取值范围．
(3)若直线经过一、二、四象限，求的取值范围．
方法指导
一次函数y=kx+b(k≠0)中，当k>0时，图象经过一、三象限，若b>0，又经过二象限，若b<0，经过四象限，当k<0，图象经过二、四象限，若b>0经过一象限，若b<，经过三象限。
变式训练2
1．一次函数．
(1)当a为何值时，y随x的增大而减小？
(2)当a为何值时，图象经过第一、二、三象限？
2．已知一次函数（k，b为常数，且）的图象经过点．
(1)若，求一次函数的表达式．
(2)当时，该一次函数的最大值为6，求k的值．
(3)若该一次函数的图象经过第一象限，且，求S的取值范围．
3．已知关于的一次函数为．
(1)若这个函数的图象经过原点，求m的值；
(2)若，求这个函数与两坐标轴的交点坐标；
(3)若这个函数的图象经过第一、三、四象限，求m的取值范围．
4．已知：一次函数，
(1)函数值y随自变量x的增大而减小，求m的取值范围；
(2)函数图象与y轴的交点于x轴下方，求m的取值范围；
(3)函数图象经过二、三、四象限，求m的取值范围；
(4)当时，求该直线与两坐标轴所围成的面积．
5．在平面直角坐标系中，设一次函数、（、是实数，且．
(1)若，分别求出、与轴的交点坐标；
(2)若函数的图像与轴交点坐标为，则函数的图像与轴交点坐标为______；
(3)若函数的图像不经过第一象限，且过点，求的取值范围．
重难点3 一次函数与一次方程（组）、一元一次不等式
【例3】．如图，在平面直角坐标系中，直线（为常数，且）与轴交于点，与轴交于点，已知．
(1)求A，B两点的坐标．
(2)若将直线向左平移3个单位长度，求平移后的直线所对应的函数表达式．
(3)若P为y轴上一点，将直线沿AP翻折，使得点B刚好落在坐标轴上，直接写出点P的坐标．
方法指导
关于x的一元一次方程kx+b=0(k≠0)的解是直线y=kx+b与x轴交点的横坐标。
关于x，y的二元一次方程组的解是直线y=k1x+b1和y=k2x+b2的交点坐标。
关于x的一元一次不等式kx+b＞0(＜0)的解集是以直线y=kx+b和x轴的交点为分界点，x轴上(下)方的图象所对应的x的取值范围。
变式训练3
1．一次函数和一次函数在同一坐标系中的图象如图所示，已知A、两点的坐标分别为，，观察图象回答下列问题：
(1)关于的一元一次方程的解是______；
(2)若点的坐标为，则关于的不等式的解集是______；
(3)关于的不等式组的解集是______．
2．如图，已知直线经过点，，直线与直线相交于点M，与x轴交于点D，点M的横坐标为．
(1)根据图象，直接写出当时，x的取值范围是什么？
(2)求直线的表达式和a的值．
3．如图，直线与相交于点P，点P横坐标为，的解析表达式为，的解析表达式为，且与y轴交于点A，与y轴交于点B，B点坐标为．
(1)直接写出关于x，y二元一次方程组的解为
(2)求直线的解析表达式；
(3)若点M为直线上一动点，直接写出使的面积是的面积的的点M的坐标 ；
4．（1）在如图所示的平面直角坐标系中，用图象法求二元一次方程组，的解；
（2）求（1）中图象与x轴所围成的三角形的面积．

5．如图，直线与直线相交于点，且两直线分别与轴分别交于，两点，且点坐标为．
(1)求点坐标；
(2)一元一次方程的解为__________；
(3)若直线上有一点，使得，求点的坐标．
重难点4一次函数的实际应用
【例4】．2025年3月12日是我国第47个植树节．植树节前，某校计划采购一批树苗参加植树节活动．经了解，每棵乙种树苗比每棵甲种树苗贵10元，用900元购买甲种树苗的棵数恰好与用1200元购买乙种树苗的棵数相同．
(1)求甲、乙两种树苗每棵的价格；
(2)学校计划购买甲、乙两种树苗共600棵，经过与供货商沟通，每棵甲种树苗的售价不变，每棵乙种树苗的售价打9折，若要求购买时甲种树苗的数量不超过乙种树苗数量的2倍，则学校应该如何设计购买方案，才能使购买树苗的总费用最少？
方法指导
用一次函数选择最佳方案的一般步骤
析：分析题意，弄清数量关系；
列：列出函数解析式；
求：结合方程（组）、不等式（组）列出方案。
（4）选：结合实际情况选择最佳方案。
变式训练4
1．某文具店订购A，B两种具有纪念意义的书签进行销售，若订购A种书签10张，B种书签20张，共花费500元；订购A种书签12张，B种书签40张，共花费840元．
(1)求A、B两种书签每张的进价分别为多少元？（利用二元一次方程组求解）
(2)若文具店购进A，B两种书签共计50张，A种书签不超过B种书签数量的一半，并将A，B两种书签每张分别以28元和21元全部售出，求文具店所获最大利润．
2．已知甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，沿同一条公路相向而行，甲车先以60千米时的速度匀速行驶120千米后与乙车相遇，再以另一速度继续匀速行驶3小时到达B地；乙车匀速行驶至A地，两车到达各自的目的地后停止．甲、乙两车各自距A地的路程与行驶时间之间的函数关系如图所示．
(1)求两车相遇后，甲车距A地的路程y与行驶时间x之间的函数关系式；
(2)当乙车到达A地时，求甲车距A地的路程．
4．4月中旬的某一天，小明和小强准备去双阳奢岭葡萄采摘园采摘葡萄，甲采摘园的优惠方案：游客进园需购买门票，采摘的所有葡萄按24元/千克；乙采摘园的优惠方案：游客无需买票，采摘葡萄超过一定数量后，超过的部分打折销售．活动期间，某游客的葡萄采摘量为 x千克，若在甲采摘园所需总费用为 y甲元，若在乙采摘园所需总费用为元，y甲、与x之间的函数图象如图所示．
(1)甲采摘园的门票费用是 元；
(2)求（元）与采摘葡萄数量x（千克）之间的函数关系式；
(3)若在甲、乙采摘园所花相同的钱数采摘相同的数量，需采摘葡萄多少千克？
5．为了响应国家提倡的“节能环保”号召，某公司小唐、小宋、小元三位员工每天骑电动车上班（每次骑行均按平均速度行驶，其他因素忽略不计）．每次支付费用y元与骑行时间x min之间的对应关系如图所示．其中A种电动车支付费用对应的函数为；B种电动车支付费用是之内，起步价6元，对应的函数为．请根据函数图象信息，解决下列问题：
(1)小唐每天早上骑行A种电动车或B种电动车去公司上班．已知两种电动车的平均行驶速度均为，小唐家到公司的距离为，那么小唐选择______种电动车更省钱（填“A”或“B”）；
(2)一天，小宋骑行A种电动车从家到公司上班，小元骑行B种电动车从家到公司上班，若两人支付费用同为7.6元，求小宋和小元骑行的时间差．
重难点5 一次函数与四边形综合
【例5】．如图，已知直线与直线平行，与轴交于点，与轴交于点．直线与轴交于点，与轴交于点，与直线交于点．
(1)求直线对应的函数表达式；
(2)求四边形的面积．
方法指导
当所求三角形面积是定值时，①所求三角形一边与坐标轴平行，可直接利用三角形面积公式列方程求解。②所求三角形一边与坐标轴不平行时可进行割补转化列方程求三角形面积。
当所求三角形面积是与某个三角形面积相等时，①计算出已知三角形面积，再按（1）中方法求解。②所求三角形与已知三角形有一条公共边利用同底等高面积相等过动点作公共底边的平行线。
（3）求面积的最值问题：①过动点作y轴的平行线交定直线得到铅锤高，
②：求定直线的解析式；
③：设动点坐标(一般在一次函数上动，设横坐标，根据解析式纵坐标用横坐标的代数式表示)；
④：用动点坐标的代数式表示铅锤高；
⑤：；
⑥：计算求解。
（4）面积平分问题①如果已知图形面积可求，求出已知图形面积，从而可求出平分后图形面积根据已知面积列方程求解。
变式训练5
1．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，直线与直线，x轴分别交于点，．
(1)求直线的表达式．
(2)若D，E分别是直线和y轴上的动点，是否存在点D，E，使得以A，B，D，E为顶点，为一边的四边形是平行四边形？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
2．如图，已知直线交轴于点，交轴于点，直线交轴于点，与直线相交于点．
(1)求的值与求直线的解析式；
(2)根据图像，直接写出关于的不等式的解集；
(3)求四边形的面积．
3 .（1）求过点且与已知直线平行的直线l的函数表达式；
（2）设（1）中的直线l分别与x轴、y轴交于A、B两点，直线分别与x轴、y轴交于C、D两点，求四边形的面积．
4．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，与直线交于点，过点作轴于点．点是轴上一动点，过作轴的垂线，分别与直线，交于点，．
(1)设的长为，点的横坐标为，求与的函数表达式；
(2)若以，，，为顶点的四边形是平行四边形，求的值．
5．如图1，在平面直角坐标系中，直线与交于点，分别与轴、轴交于点、．
(1)分别求出点、、的坐标；
(2)若是线段上的点，且的面积为12，求直线的函数表达式；
(3)在（2）的条件下，设是直线上的点，在平面内是否存在其它点，使以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
2024-2025学年人教版八年级下期末复习专题特训
专题七 一次函数 （解析版）
01 知识结构
02 重难点突破
重难点1 从函数图象中获取信息
【例1】．新能源电动汽车的不断普及让很多人感受到了它的好处，其中最重要的一点就是对环境的保护．如图是某型号新能源电动汽车充满电后，蓄电池剩余电量（千瓦时）与已行驶路程（千米）之间关系的图象．
(1)图中点表示的实际意义是什么？
(2)当时，行驶1千米的平均耗电量是_____千瓦时；当时，行驶1千米的平均耗电量是_____千瓦时；
(3)行驶_____千米时，剩余电量降至20千瓦时．
【答案】(1)点表示充满电后行驶150千米时，剩余电量为35千瓦时
(2)；
(3)180
【分析】此题主要考查了函数的图象，利用图象得出正确信息是解题关键．
（1）根据图象即可解答；
（2）由图象可知，蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车已行驶了150千米，进而解答即可；
（3）根据图象计算即可解答．
【详解】（1）解：由图象可知，点表示充满电后行驶150千米时，剩余电量为35千瓦时；
（2）解：当时，行驶1千米的平均耗电量是千瓦时；
当时，行驶1千米的平均耗电量是千瓦时；
故答案为：；；
（3）解：（千米)
故答案为：．
方法指导
从函数图象中获取信息首先要分清横坐标、纵坐标表示的实际意义，其次要分清图象的起点、终点、拐点、交点的意义，最后根据图象中具体数量关系获取信息。
变式训练1
1．如图，长方形中，宽，点P沿着四边按方向运动，开始以每秒m个单位匀速运动，a秒后变为每秒2个单位匀速运动，b秒后恢复原速匀速运动，在运动过程中，的面积S与运动时间t的关系如图所示．
(1)长方形的长________，宽________；
(2)直接写出________，________，_______；
(3)当P点运动到中点时，有一动点Q从点C出发，以每秒1个单位的速度沿运动，当一个点到达终点，另一个点也停止运动，设点Q运动的时间为x秒，的面积为y，求当时，y与x之间的关系式．
【答案】(1)6；4
(2)1；4；9
(3)
【分析】（1）根据题意，得，结合，计算得到，即可得出答案．
（2）根据题意，得，结合，计算得到，结合得到，继而得到运动时间为（秒），结合图像可确定a值，m的值；根据，判定点P运动在上，且速度为每秒2个单位，设运动了t秒，从而得到，计算可得到b．
（3）分三种情况：当时，点P在上，当时，点P在上，当时，点P在上，分别画出图形，根据三角形面积公式求出结果即可．
【详解】（1）解：根据题意，当点P在上时，三角形的面积保持不变，
且为，
∵，
∴，
根据长方形的性质可知：；
（2）解：根据题意，得，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴运动时间为（秒），
∴（秒），
∴（单位每秒）；
根据图像，得，点P运动在上，且速度为每秒2个单位，设运动了t秒，
∴，
∴，
∴，
解得，
故．
（3）解：当时，点P在上，，
；
当时，点P在上，，
；
当时，点P在上，，
∴；
综上分析可知：．
【点睛】本题考查了运动问题，矩形的性质，图像信息综合题，正确读懂图像并获得信息是解题的关键．
2．甲、乙两人驾驶小汽车沿同一线路从长沙出发去郴州东江湖景区游玩，在整个行驶过程中，甲、乙离开长沙的距离与甲车行驶的时间之间的函数关系如图所示，根据图象信息解答下列问题：
(1)甲车用了______小时到达东江湖景区；
(2)乙车行驶的速度是______；
(3)乙车追上甲车时，他们和长沙的距离是 千米．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了函数的图象以及一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
（1）根据函数图象可知甲车用了小时到达东江湖景区；
（2）根据函数图象可知乙车用了小时到达东江湖景区，再用路程除以速度即可得解；
（3）设乙车出发后小时追上甲车，根据追上时甲、乙离开长沙的距离相等，列出方程，解出的值，再乘以乙车的速度即可得解．
【详解】（1）解：根据函数图象可知甲车用了小时到达东江湖景区，
故答案为：；
（2）解：根据函数图象可知乙车用了小时到达东江湖景区，
乙车行驶的速度是：，
故答案为：；
（3）解：设乙车出发后小时追上甲车，根据题意得：
，
解得：，
乙车出发后小时追上甲车，此时他们离开城的距离是：，
故答案为：．
3．“龟兔赛跑”的故事同学们都非常熟悉，图中的线段和折线表示“龟兔赛跑”时路程与时间的关系，请你根据图中给出的信息，解决下列问题．
(1)填空：折线表示赛跑过程中______的路程与时间的关系，线段表示赛跑过程中______的路程与时间的关系．赛跑的全程是______米．
(2)兔子在起初每分钟跑多少米？乌龟每分钟爬多少米？
(3)乌龟从出发到追上兔子用了多少分钟？
(4)兔子醒来，以48千米／时的速度跑向终点，结果还是比乌龟晚到了0.5分钟，请你算算兔子中间停下睡觉用了多少分钟？
【答案】(1)兔子、乌龟、1500
(2)兔子在起初每分钟跑700米，乌龟每分钟爬50米
(3)乌龟用了14分钟追上了正在睡觉的兔子
(4)兔子中间停下睡觉用了28.5分钟
【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，能准确从函数图象获取信息是解题的关键．
（1）观察图象，即可求解；
（2）观察图象可得兔子在起初每分钟跑700米．再用速度等于路程除以时间，即可求解；
（3）根据时间等于路程除以速度即可求解；
（4）根据时间等于路程除以速度可得兔子醒来后，到达终点的所用时间，即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得：折线表示赛跑过程中兔子的路程与时间的关系， 线段表示赛跑过程中乌龟的路程与时间的关系．赛跑的全程是1500米；
故答案为：兔子、乌龟、1500；
（2）结合图象得出：兔子在起初每分钟跑700米．
（米）
乌龟每分钟爬50米．
（3）（分钟）
乌龟用了14分钟追上了正在睡觉的兔子．
（4）千米米
（米/分）
（分钟）
（分钟）
兔子中间停下睡觉用了28.5分钟．
4．引洋入连是辽宁省“东水济辽”南线工程的骨干工程，是加快完善辽宁空间均衡水网格局的重要组成部分，对促进辽东南地区经济社会发展、保障大连地区全面振兴意义重大，在大连、鞍山、丹东3个市和有关部门的共同努力下，引洋入连工程前期工作取得重大进展．大连某蓄水池外通甲、乙、丙三根水管进行调水，每根水管只负责进水或出水，每小时的运输量丙管最多，乙管最少，乙管每小时可运输水6吨，下图是某天蓄水池水量y（吨）与时间x（小时）的函数图象，段只有甲、丙管运输，段只有乙、丙管运输，段只有甲、乙管运输．
(1)结合图象，通过计算试说明甲、乙、丙三根水管，谁是进水管，谁是出水管；
(2)若甲、乙、丙三根水管一起工作，一天工作8小时，蓄水池的水量会有怎样的变化？
【答案】(1)甲、乙、丙三根水管，乙，丙进水管，甲是出水管；
(2)仓库的库存量增加吨；
【分析】本题考查的是从函数图象中获取信息，三元一次方程组的应用；
（1）设当时，水量为吨，甲、乙，丙管每小时的运输量为吨，吨，吨，结合图象可得，再解方程组即可得到答案；
（2）由段的工作情况，可知甲、丙管合作时，每小时的库存增加量吨，而乙车每小时的进水为6吨，再进一步列式计算即可．
【详解】（1）解：乙、丙是进水管，甲是出水管．理由如下：
设当时，水量为吨，
设甲、乙，丙管每小时的运输量为吨，吨，吨，
∴，
解得：，
∴甲、乙、丙三根水管，乙，丙进水管，甲是出水管；
（2）解：甲、乙、丙三根水管一起工作，一天工作8小时，
∴ 由段的工作情况，可知甲、丙管合作时，每小时的库存增加量(吨)，
而乙车每小时的进水为6吨，
∴甲、乙、丙三水管一起工作8小时，仓库的库存量增加(吨)．
5．如图1，地在地的正东方向，某一时刻，乙车从地开往地，1小时后，甲车从地开往地，当甲车到达地的同时乙车也到达地．如图2，横轴（小时）表示两车的行驶时间（从乙车出发的时刻开始计时），纵轴（千米）表示两车与地的距离．
(1)，两地相距多少千米？
(2)和两条线段分别表示两车距地的距离（千米）与行驶时间（小时）之间的关系，请问哪一条线段表示甲车？
(3)求两车相遇时距地多少千米？
【答案】(1)400千米
(2)线段
(3)千米
【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，一元一次方程的实际应用，正确读懂函数图象是解题的关键．
（1）由函数图象可知，、两地相距400千米；
（2）由于乙车比甲车先出发1小时，则当时甲车距离A地的距离为0，据此结合函数图象可得答案；
（3）设两车相遇时距A地千米， 由函数图象可知，甲车的速度为，乙车的速度为，再根据时间路程速度列出方程求解即可．
【详解】（1）解：由函数图象可知，，两地相距400千米；
（2）解：乙车从地开往地，1小时后，甲车从地开往地，
乙车比甲车先出发1小时，则当时甲车距离地的距离为0，
线段表示甲车距地的距离与行驶时间的关系；
（3）解：设两车相遇时距地千米，
由函数图象可知，甲车的速度为，乙车的速度为，
，解得，
答：两车相遇时距地千米．
重难点2 一次函数图象与字母系数的关系
【例2】．已知一次函数．
(1)在该函数中，随的增大而增大，求的取值范围；
(2)若，当时，求的取值范围．
(3)若直线经过一、二、四象限，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，包括一次函数的增减性，函数值与自变量之间的关系，掌握和理解这些性质进行求解是解题的关键．
（1）由一次函数图象的增减性解答．
（2）若，则一次函数，根据增减性即可求出最值．
（3）根据一次函数的性质列不等式计算即可．
【详解】（1）解：若随的增大而增大，则，
解得，．
（2）解：若，则一次函数，
由于，所以随的增大而减小；
所以当时，有最大值，最大值为，
当时，有最小值，最小值为，
所以的取值范围为 ；
（3）解：由题意得，，
解得，．
方法指导
一次函数y=kx+b(k≠0)中，当k>0时，图象经过一、三象限，若b>0，又经过二象限，若b<0，经过四象限，当k<0，图象经过二、四象限，若b>0经过一象限，若b<，经过三象限。
变式训练2
1．一次函数．
(1)当a为何值时，y随x的增大而减小？
(2)当a为何值时，图象经过第一、二、三象限？
【答案】(1)
(2)
【分析】考查了一次函数图象与系数的关系．
（1）当y随x的增大而减少时，，解之即可得出结论；
（2）图象经过第一、二、三象限时，，解之即可得出结论．
【详解】（1）解：依题意得：，
解得，
即当时，y随x的增大而减小；
（2）解：若图象过第一、二、三象限，则
，
解得，
故当时，图象能过第一、二、三象限．
2．已知一次函数（k，b为常数，且）的图象经过点．
(1)若，求一次函数的表达式．
(2)当时，该一次函数的最大值为6，求k的值．
(3)若该一次函数的图象经过第一象限，且，求S的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，待定系数法求解析式，正确求出函数解析式是解题的关键．
（1）一次函数（k，b为常数，且）的图象经过点，得到，再结合，解二元一次方程组求解即可；
（2）根据题意可得一次函数y随x的增大而减小，可得当时，，结合一次函数（k，b为常数，且）的图象经过点，得到，解二元一次方程组求解即可；
（3）根据，即，进而得到，再根据一次函数的图象经过第一象限，可得到，由不等式的性质即可解答．
【详解】（1）解：∵一次函数（k，b为常数，且）的图象经过点，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴一次函数的表达式为：；
（2）解：∵，
∴一次函数y随x的增大而减小，
∵当时，该一次函数的最大值为6，
∴当时，，
∵一次函数（k，b为常数，且）的图象经过点，
∴，
∴，
解得：；
（3）解：根据题意：，即，
∴，
∵一次函数的图象经过第一象限，且，
∴，
∴，
∴．
3．已知关于的一次函数为．
(1)若这个函数的图象经过原点，求m的值；
(2)若，求这个函数与两坐标轴的交点坐标；
(3)若这个函数的图象经过第一、三、四象限，求m的取值范围．
【答案】(1)
(2)与轴的交点为，与轴的交点为
(3)
【分析】本题考查的是一次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
（1）直接把代入求出的值即可；
（2）利用坐标轴上点的坐标特征求得即可；
（3）根据一次函数的性质列出关于的不等式组，求出的取值范围即可．
【详解】（1）解：这个函数的图象经过原点，
当时，，即，
解得；
（2）解：若，则函数为，
当时，；当时，，
这个函数与轴的交点为，与轴的交点为；
（3）解：这个函数的图象经过第一、三、四象限，
，
解得．
4．已知：一次函数，
(1)函数值y随自变量x的增大而减小，求m的取值范围；
(2)函数图象与y轴的交点于x轴下方，求m的取值范围；
(3)函数图象经过二、三、四象限，求m的取值范围；
(4)当时，求该直线与两坐标轴所围成的面积．
【答案】(1)
(2)且
(3)
(4)2
【分析】本题主要考查了一次函数图象在坐标平面内的位置与、的关系和三角形的面积，熟练掌握一次函数图象的性质是解决此题的关键．
(1)要使该函数中随的增大而减小，只需一次项系数为负数；
(2)要使该函数图象与轴的交点于下方，只需一次项系数不为零且常数项为负数；
(3)要使该函数图象经过第二、三、四象限，只需一次项系数与常数项均为负数；
(4)根据坐标轴上点的坐标特点求出所围成的直角三角形的两条直角边长，结合面积公式解答即可．
【详解】（1）解：函数值随自变量的增大而减小，
，
解得：；
（2）解：函数图象与轴交于轴下方，
且，
解得：且；
（3）解：函数图象经过第二、三、四象限，
且，
解得：；
（4）解：当时，该函数的解析式为
当时，
当时，
该直线与两坐标轴所围成的三角形面积是．
5．在平面直角坐标系中，设一次函数、（、是实数，且．
(1)若，分别求出、与轴的交点坐标；
(2)若函数的图像与轴交点坐标为，则函数的图像与轴交点坐标为______；
(3)若函数的图像不经过第一象限，且过点，求的取值范围．
【答案】(1)、与轴的交点坐标分别为
(2)
(3)
【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键；
（1）分别把代入可得、的解析式，然后问题可求解；
（2）把点代入一次函数的表达式，然后可得m、n的关系，进而问题可求解；
（3）由函数的图像不经过第一象限，可得，，然后把点代入函数解析式可得m、n的关系，进而可建立不等式进行求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，，
分别令代入可得：，，
解得：，，
∴、与轴的交点坐标分别为；
（2）解：把点代入一次函数的表达式得：，
∴，
∴，
令，则有，
解得：，
∴函数的图像与轴交点坐标为；
故答案为；
（3）解：由函数的图像不经过第一象限，可得，，
把点代入得：，
∴，
∴．
重难点3 一次函数与一次方程（组）、一元一次不等式
【例3】．如图，在平面直角坐标系中，直线（为常数，且）与轴交于点，与轴交于点，已知．
(1)求A，B两点的坐标．
(2)若将直线向左平移3个单位长度，求平移后的直线所对应的函数表达式．
(3)若P为y轴上一点，将直线沿AP翻折，使得点B刚好落在坐标轴上，直接写出点P的坐标．
【答案】(1)，
(2)
(3)或或
【分析】（1）根据题意分别令，得出，，根据勾股定理求得，即可求解；
（2）根据题意可得平移后的直线与轴的交点为，设平移后的直线所对应的函数表达式为，代入，即可求解；
（3）设点关于的对称点为，，分在轴负半轴，在轴正半轴，当在轴正半轴，三种情况，分别列出方程，解方程，即可求解．
【详解】（1）解：，
当时，，当时，，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
∴；
（2）解：由（1）可得直线解析式为，
∵将直线向左平移个单位长度，，
∴平移后的直线与轴的交点为，
设平移后的直线所对应的函数表达式为，代入得，
，
∴，
∴平移后的直线所对应的函数表达式为．
（3）解：设点关于的对称点为，，
当在轴负半轴时，如图所示，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
解得：，
∴；
当在轴正半轴时，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
解得：，
∴；
当在轴正半轴时，，
∴点与点重合，即，
综上所述，或或．
【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴交点问题，轴对称的性质，一次函数的平移以及勾股定理，分类讨论是解（3）的关键．
方法指导
关于x的一元一次方程kx+b=0(k≠0)的解是直线y=kx+b与x轴交点的横坐标。
关于x，y的二元一次方程组的解是直线y=k1x+b1和y=k2x+b2的交点坐标。
关于x的一元一次不等式kx+b＞0(＜0)的解集是以直线y=kx+b和x轴的交点为分界点，x轴上(下)方的图象所对应的x的取值范围。
变式训练3
1．一次函数和一次函数在同一坐标系中的图象如图所示，已知A、两点的坐标分别为，，观察图象回答下列问题：
(1)关于的一元一次方程的解是______；
(2)若点的坐标为，则关于的不等式的解集是______；
(3)关于的不等式组的解集是______．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查一次函数与一元一次不等式、一次函数与一元一次方程等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键．
（1）利用直线与x轴的交点即为时，对应的x的值为方程的解，据此即可解答；
（2）利用两直线与x轴的交点坐标，结合图象即可即可解答；
（3）利用图象求解即可．
【详解】（1）解：∵一次函数与x轴的交点为，
∴关于x的方程的解是，
（2）解：∵一次函数和一次函数的交点，
∴根据图象可得关于x的不等式解集为．
（3）解：∵一次函数和一次函数在同一坐标系中的图象如图所示，已知A、两点的坐标分别为，，
∴关于的不等式组的解集是．
2．如图，已知直线经过点，，直线与直线相交于点M，与x轴交于点D，点M的横坐标为．
(1)根据图象，直接写出当时，x的取值范围是什么？
(2)求直线的表达式和a的值．
【答案】(1)
(2)，
【分析】本题考查一次函数解析式及一次函数的性质，正确理解题意是解题的关键：
（1）根据图象可知时，在的下方，得出答案；
（2）将点，代入，求出直线的表达式为，进而求出点M的坐标为，把代入，求解即可得出答案．
【详解】（1）解：由图象可知，当时，
x的取值范围为；
（2）解：将点，代入，
得：，
解得：，
∴直线的表达式为，
把代入
得，
∴点M的坐标为，
把代入，
得．
3．如图，直线与相交于点P，点P横坐标为，的解析表达式为，的解析表达式为，且与y轴交于点A，与y轴交于点B，B点坐标为．
(1)直接写出关于x，y二元一次方程组的解为
(2)求直线的解析表达式；
(3)若点M为直线上一动点，直接写出使的面积是的面积的的点M的坐标 ；
【答案】(1)，
(2)
(3)或
【分析】本题考查了一次函数的图象问题，涉及直线的交点坐标与方程组的解的关系，待定系数法求一次函数解析式，一次函数与面积的综合问题，正确求出函数解析式是解题的关键．
（1）将点P的横坐标为代入，求出点的坐标，即可求解关于x，y二元一次方程组的解；
（2）将点代入解方程组即可；
（3）根据面积关系，得到，求出，分两种情况，将代入直线表达式即可求解．
【详解】（1）解：∵点P的横坐标为，
∴，
∴点P的坐标是，
∵直线与相交于点P，
∴关于x，y二元一次方程组的解为，
故答案为：，；
（2）解：∵B点坐标为，，
∴将代入得，则，解得，
∴直线的解析式为；
（3）解：∵点P的横坐标为，，
，
∴，
①当时，代入解析式可得；
②当时，代入解析式可得.
∴点M的坐标是或，
故答案为：或．
4．（1）在如图所示的平面直角坐标系中，用图象法求二元一次方程组，的解；
（2）求（1）中图象与x轴所围成的三角形的面积．

【答案】（1）；（2）．
【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组），三角形面积公式，掌握相关知识是解题的关键．
（1）作出函数和函数的图象，由二元一次方程组，的解即函数和函数的图象的交点的横、纵坐标即可求解；
（2）分别由图象得出两函数与轴的交点坐标，代入三角形面积公式即可．
【详解】解：（1）在平面直角坐标系中作出函数和函数的图象：

∵二元一次方程组，的解即函数和函数的图象的交点的横、纵坐标，
∵由图象知：函数和函数的图象的交点坐标为，
∴二元一次方程组的解为；
（2）由图象知：函数与轴的交点坐标为，
当时，即，
∴，
∴函数的图象与轴的交点坐标，
∴（1）中图象与轴所围成的三角形的面积为：．
5．如图，直线与直线相交于点，且两直线分别与轴分别交于，两点，且点坐标为．
(1)求点坐标；
(2)一元一次方程的解为__________；
(3)若直线上有一点，使得，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）把代入求出b的值，即可得出点P的坐标；
（2）根据直线与轴交于点，且点B的坐标为，求出方程的解即可；
（3）先求出，再求出，得出，列出方程，求出，最后求出点Q的坐标即可．
【详解】（1）解：把代入得：，
∴点P的坐标为；
（2）解：∵直线与轴交于点，且点B的坐标为，
∴一元一次方程的解为；
（3）解：把代入得：，
解得：，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：，
把代入得：，
解得：；
∴此时点Q的坐标为；
把代入得：，
解得：；
∴此时点Q的坐标为；
综上分析可知：点Q的坐标为或．
【点睛】本题主要考查了一次函数的综合应用，求直线围成的三角形面积，一次函数与坐标轴的交点问题，一次函数与一元一次方程的关系，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质．
重难点4一次函数的实际应用
【例4】．2025年3月12日是我国第47个植树节．植树节前，某校计划采购一批树苗参加植树节活动．经了解，每棵乙种树苗比每棵甲种树苗贵10元，用900元购买甲种树苗的棵数恰好与用1200元购买乙种树苗的棵数相同．
(1)求甲、乙两种树苗每棵的价格；
(2)学校计划购买甲、乙两种树苗共600棵，经过与供货商沟通，每棵甲种树苗的售价不变，每棵乙种树苗的售价打9折，若要求购买时甲种树苗的数量不超过乙种树苗数量的2倍，则学校应该如何设计购买方案，才能使购买树苗的总费用最少？
【答案】(1)甲种树苗每棵的价格是30元，乙种树苗每棵的价格是40元
(2)购买甲种树苗400棵，乙种树苗200棵，总费用最少
【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用、一元一次方程的应用，正确建立方程和熟练掌握一次函数的性质是解题关键．
（1）设甲种树苗每棵的价格是元，则乙种树苗每棵的价格是元，根据用900元购买甲种树苗的棵数恰好与用1200元购买乙种树苗的棵数相同建立方程，解方程，并进行检验即可得；
（2）设购买乙种树苗棵，总费用为元，则购买甲种树苗棵，先求出，再根据费用与价格、棵数的关系建立与的函数关系式，利用一次函数的性质求解即可得．
【详解】（1）解：设甲种树苗每棵的价格是元，则乙种树苗每棵的价格是元．
由题意得：，
解得，
经检验，是所列分式方程的解，且符合题意，
则，
答：甲种树苗每棵的价格是30元，乙种树苗每棵的价格是40元．
（2）解：设购买乙种树苗棵，总费用为元，则购买甲种树苗棵，
∵要求购买时，甲种树苗的数量不超过乙种树苗数量的2倍，
∴，
∴，
由题意得：，
∵一次函数中的，
∴在内，随的增大而增大，
∴当时，的值最小，
此时，
答：购买甲种树苗400棵，乙种树苗200棵，总费用最少．
方法指导
用一次函数选择最佳方案的一般步骤
析：分析题意，弄清数量关系；
列：列出函数解析式；
求：结合方程（组）、不等式（组）列出方案。
（4）选：结合实际情况选择最佳方案。
变式训练4
1．某文具店订购A，B两种具有纪念意义的书签进行销售，若订购A种书签10张，B种书签20张，共花费500元；订购A种书签12张，B种书签40张，共花费840元．
(1)求A、B两种书签每张的进价分别为多少元？（利用二元一次方程组求解）
(2)若文具店购进A，B两种书签共计50张，A种书签不超过B种书签数量的一半，并将A，B两种书签每张分别以28元和21元全部售出，求文具店所获最大利润．
【答案】(1)A种书签每张的进价为20元，B种书签每张的进价为15元
(2)332元
【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式的实际应用和一次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
（1）设A种书签每张的进价为a元，B种书签每张的进价为b元，由“订购A种书签10张，B种书签20张，共花费500元；订购A种书签12张，B种书签40张，共花费840元”建立二元一次方程组求解；
（2）设购买A种书签x张，则购买B种书签张，总利润为w元，由题意建立关于x的一次函数关系式，再根据一次函数的性质求解．
【详解】（1）解：设A种书签每张的进价为a元，B种书签每张的进价为b元，
由题意，得，
解得，
答：A种书签每张的进价为20元，B种书签每张的进价为15元；
（2）解：设购买A种书签x张，则购买B种书签张，总利润为w元，
由题意，得，
∴w随x的增大而增大，
∵A种书签不超过B种书签数量的一半，
∴，
解得，
∵x为整数，
∴当时，w取得最大值，此时，
答：文具店所获最大利润为332元．
2．已知甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，沿同一条公路相向而行，甲车先以60千米时的速度匀速行驶120千米后与乙车相遇，再以另一速度继续匀速行驶3小时到达B地；乙车匀速行驶至A地，两车到达各自的目的地后停止．甲、乙两车各自距A地的路程与行驶时间之间的函数关系如图所示．
(1)求两车相遇后，甲车距A地的路程y与行驶时间x之间的函数关系式；
(2)当乙车到达A地时，求甲车距A地的路程．
【答案】(1)
(2)200千米
【分析】本题主要考查了一次函数的应用，读懂图象，求出函数解析式是解答本题的关键．
（1）首先根据图像和题意求出，，然后利用待定系数法求解即可；
（2）根据题意求出乙车行完全程用时为3.6小时，然后将代入求解即可．
【详解】（1）如图所示，

根据题意得，两人相遇的时间为，
∴，
∵甲车先以60千米/时的速度匀速行驶120千米后与乙车相遇，再以另一速度继续匀速行驶3小时到达B地
∴，
∴
设相遇后，甲车距A地的路程y与x之间的函数关系式为
则有：，
解得，
甲车距A地的路程y与x之间的函数关系式；
（2）甲乙两车相遇时，乙车行驶的路程为千米，
∴乙车的速度为：（千米/时）
∴乙车行完全程用时为：（时）
∵
∴当时，千米，
∴当乙车到达A地时，甲车距A地的路程为200千米．
3．如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，．
(1)求直线的函数解析式；
(2)若为直线上一动点，的面积为，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)或
【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，正确的求出函数解析式是解题的关键；
（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）根据，求出点的坐标即可．
【详解】（1）解：∵点的坐标分别为，，
∴设直线的解析式为：，
把代入，得：，解得：，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
当时，，解得：；
当时，，解得：；
∴点P的坐标为或．
4．4月中旬的某一天，小明和小强准备去双阳奢岭葡萄采摘园采摘葡萄，甲采摘园的优惠方案：游客进园需购买门票，采摘的所有葡萄按24元/千克；乙采摘园的优惠方案：游客无需买票，采摘葡萄超过一定数量后，超过的部分打折销售．活动期间，某游客的葡萄采摘量为 x千克，若在甲采摘园所需总费用为 y甲元，若在乙采摘园所需总费用为元，y甲、与x之间的函数图象如图所示．
(1)甲采摘园的门票费用是 元；
(2)求（元）与采摘葡萄数量x（千克）之间的函数关系式；
(3)若在甲、乙采摘园所花相同的钱数采摘相同的数量，需采摘葡萄多少千克？
【答案】(1)48
(2)
(3)8千克或13千克
【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答；
（1）根据图象，可得出甲采摘园的门票费用，
（2）分和用待定系数法可求得；
（3）先求出的解析式，然后分2段，分别令＝即可．
【详解】（1）解：在甲采摘园的费用函数图象中，当采摘量时，费用的值就是门票费用．从图象可知，当时，元，
∴甲采摘园的门票费用是48元．
故答案为：48；
（2）当时：
设，
把代入，得，
解得，
∴．
当时：
设，把和代入，得
解得
∴
综上，
（3）∵采摘的所有葡萄按24元/千克，根据题意得
甲采摘园的费用函数为．
分情况讨论：
当时，令，
解得，
当时，令，
解得，
∴甲、乙采摘园所花相同的钱数采摘相同的数量，需采摘葡萄8千克或13千克．
5．为了响应国家提倡的“节能环保”号召，某公司小唐、小宋、小元三位员工每天骑电动车上班（每次骑行均按平均速度行驶，其他因素忽略不计）．每次支付费用y元与骑行时间x min之间的对应关系如图所示．其中A种电动车支付费用对应的函数为；B种电动车支付费用是之内，起步价6元，对应的函数为．请根据函数图象信息，解决下列问题：
(1)小唐每天早上骑行A种电动车或B种电动车去公司上班．已知两种电动车的平均行驶速度均为，小唐家到公司的距离为，那么小唐选择______种电动车更省钱（填“A”或“B”）；
(2)一天，小宋骑行A种电动车从家到公司上班，小元骑行B种电动车从家到公司上班，若两人支付费用同为7.6元，求小宋和小元骑行的时间差．
【答案】(1)B
(2)小宋和小元骑行的时间差为1分钟．
【分析】本题考查了一次函数的应用，
（1）首先求出所用时间为分钟，然后根据函数图象，即可求解；
（2）分别求得的函数解析式，根据两人支付费用同为7.6元，代入解析式即可求解．
【详解】（1）∵两种电动车的平均行驶速度均为，小刘家到公司的距离为，
∴所用时间为分钟，
根据函数图象可得当时，更省钱，
∴小唐选择种电动车更省钱；
（2）设，将代入得，
解得：
∴；
当时，，
当时，设，将，代入得，
解得：
∴
∵两人支付费用同为7.6元
∴，
∴当时，
解得；
当时，
解得；
∴．
∴小宋和小元骑行的时间差为1分钟．
重难点5 一次函数与四边形综合
【例5】．如图，已知直线与直线平行，与轴交于点，与轴交于点．直线与轴交于点，与轴交于点，与直线交于点．
(1)求直线对应的函数表达式；
(2)求四边形的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，求得交点坐标是解题的关键．
（1）由直线与直线平行，得到直线为，进而求得的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线对应的函数表达式；
（2）根据两直线的解析式求得、的坐标，然后根据求解即可．
【详解】（1）解：直线与直线平行，
，
直线为，
点在直线上，
，
，
设直线的解析式为，
把，代入得：
，
解得：，
直线的解析式为；
（2）在直线中，令，则，
解得：，
，
在直线中，令，则，
解得：，
，
，，
，
，
， ，
．
故四边形的面积是．
方法指导
当所求三角形面积是定值时，①所求三角形一边与坐标轴平行，可直接利用三角形面积公式列方程求解。②所求三角形一边与坐标轴不平行时可进行割补转化列方程求三角形面积。
当所求三角形面积是与某个三角形面积相等时，①计算出已知三角形面积，再按（1）中方法求解。②所求三角形与已知三角形有一条公共边利用同底等高面积相等过动点作公共底边的平行线。
（3）求面积的最值问题：①过动点作y轴的平行线交定直线得到铅锤高，
②：求定直线的解析式；
③：设动点坐标(一般在一次函数上动，设横坐标，根据解析式纵坐标用横坐标的代数式表示)；
④：用动点坐标的代数式表示铅锤高；
⑤：；
⑥：计算求解。
（4）面积平分问题①如果已知图形面积可求，求出已知图形面积，从而可求出平分后图形面积根据已知面积列方程求解。
变式训练5
1．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，直线与直线，x轴分别交于点，．
(1)求直线的表达式．
(2)若D，E分别是直线和y轴上的动点，是否存在点D，E，使得以A，B，D，E为顶点，为一边的四边形是平行四边形？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，或
【分析】本题是一次函数综合题，考查待定系数法求函数的解析式，一次函数的图象及性质，平行四边形的性质，分类讨论是解题的关键．
（1）由待定系数法求直线的解析式即可；
（2）设，，再分两种情况讨论：当为平行四边形对角线时；当为平行四边形的对角线时；利用平行四边形对角线互相平分的性质求解即可．
【详解】（1）设直线的表达式为，
∵直线与直线，x轴分别交于点，，
∴解得
∴直线的表达式为；
（2）解：存在.
∵与x轴交于点B，
∴.
设，，
①当为平行四边形的对角线时，
∵，，
∴解得
∴；
②当为平行四边形的对角线时，
∵，，
∴
解得
∴.
综上所述，点D的坐标为或．
2．如图，已知直线交轴于点，交轴于点，直线交轴于点，与直线相交于点．
(1)求的值与求直线的解析式；
(2)根据图像，直接写出关于的不等式的解集；
(3)求四边形的面积．
【答案】(1),
(2)
(3)
【分析】（）把点坐标代入中求得的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线的解析式；
（）根据函数图象找到当一次函数图象在直线图象上方时，自变量的取值范围即可得到答案；
（）得出点的坐标，进而根据四边形的面积解答即可；
本题考查了求一次函数解析式，一次函数与几何综合，一次函数与不等式之间的关系，利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键．
【详解】（1）解：∵直线与直线相交于点,
∴，
解得
∴，
把点，代入得，
，
解得，
∴直线的解析式为：；
（2）解：由图象可知，当一次函数图象在直线图象上方时，自变量的取值范围为，
∴不等式的解集是；
（3）解：把代入得，，
∴，
把代入得，，
解得，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形的面积．
3 .（1）求过点且与已知直线平行的直线l的函数表达式；
（2）设（1）中的直线l分别与x轴、y轴交于A、B两点，直线分别与x轴、y轴交于C、D两点，求四边形的面积．
【答案】（1）；（2）
【分析】本题主要考查了一次函数的相关知识、一次函数与两直线的交点问题，掌握数形结合思想成为解题的关键．
（1）根据两个一次函数的比例系数相等时，两函数图象平行，据此可设直线l的解析式为，然后运用待定系数法求解即可；
（2）将两直线与坐标轴围成的四边形的面积转化为两个三角形面积的和求解即可．
【详解】解：（1）∵直线l与直线平行，
∴设直线l的解析式为，
∵过点
∴，解得：，
∴直线l的解析式为：；
（2）如图：令，得：；令，得，
∴C点的坐标为，D点的坐标为，
令，得，令，得，
∴点A的坐标，点B的坐标为，
∴，
∴
．
4．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，与直线交于点，过点作轴于点．点是轴上一动点，过作轴的垂线，分别与直线，交于点，．
(1)设的长为，点的横坐标为，求与的函数表达式；
(2)若以，，，为顶点的四边形是平行四边形，求的值．
【答案】(1)当时，；当时，
(2)当的值为或时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形
【分析】本题考查了一次函数的综合应用，平行四边形的性质．解（2）题时，要注意到．
（1）用分别表示出、的坐标，则可表示出与之间的关系式；
（2）由条件可知，利用平行四边形的性质可知，由（1）的关系式可得到关于t的方程，可求得t的值．
【详解】（1）解：∵点的横坐标为，过作轴的垂线，分别与直线，交于，，
把代入中可得，即，
把代入中可得，即，
当时，；
当时，；
（2）由题意可知，
若以，，，为顶点的四边形是平行四边形，
则，
，解得或，
即当的值为或时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形．
5．如图1，在平面直角坐标系中，直线与交于点，分别与轴、轴交于点、．
(1)分别求出点、、的坐标；
(2)若是线段上的点，且的面积为12，求直线的函数表达式；
(3)在（2）的条件下，设是直线上的点，在平面内是否存在其它点，使以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，，
(2)
(3)或或
【分析】此题属于一次函数综合题，涉及的知识有∶一次函数与坐标轴的交点，待定系数法确定一次函数解析式，一次函数图象的交点，一次函数图象与性质，菱形的性质，坐标与图形性质，熟练掌握待定系数法和菱形的性质是解答本题的关键．
（1）联立两直线解析式求出点的坐标，分别令和，带入直线解析式求出点、的坐标；
（2）根据在直线上，设，表示出面积，把已知面积代入求出的值，确定出坐标，利用待定系数法求出解析式即可；
（3）在（1）的条件下，设是射线上的点，在平面内存在点，使以、、、为顶点的四边形是菱形，如图所示，分三种情况考虑∶①当四边形为菱形时，由，得到四边形为正方形；②当四边形为菱形时；③当四边形为菱形时；分别求出Q坐标即可．
【详解】（1）根据，解方程组得，得，
分别令和，带入直线解析式得点、的坐标，．
（2）设，
且，
，
，
，
令直线解析式为，
把，代入得：
，
，
，
直线的函数表达式为．
（3）存在．如图所示：
①当四边形为菱形时，
，得四边形为正方形；
，
即．
②当四边形为菱形时，
得，带入直线的解析式，
得，
．
③当四边形为菱形时，
，
，
综上得点的坐标为或或．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑