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2024-2025 学年北京市东城区第二中学朝阳学校高一下学期期中考试
数学试卷
一、选择题：本大题共 10 小题，共 50 分。
1.在复平面内，复数 = 1 ( 为虚数单位)对应的点所在的象限是( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.向量 ， 在正方形网格中的位置如图所示，则 , =( )
A. 45 B. 60 C. 120 D. 135
3.已知 ， 是两条不同的直线， ， ， 是三个不同的平面，则下列命题中正确的是( )
A.若 ， // ，则 // B.若 // ， // ，则 //
C.若 ⊥ ， ⊥ ，则 // D.若 ⊥ ， ，则 ⊥
4. 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 cos = cos ，则 为( )．
A.等腰直角三角形 B.等腰三角形或直角三角形
C.直角三角形 D.等边三角形
5.已知圆锥的轴截面是一个边长为 2 的等边三角形，则该圆锥的体积为( )
A. 33 B. C. 2 D. 2
6.设 ， 是两个平面， ， 是两条直线，若 ， ，则“ / / ”是“ // ， // ”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
7.如图，在平行四边形 中， 是 的中点， 与 交于点 ，设 = ， = ，则 =( )
A. 23 +
1 B. 2 1 3 3 3 C.
1
3 +
2
3
D. 13
2
3

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8.已知 = = 1， = 2， + + = 0，设 与 的夹角为 ，则 =( )
A. 240° B. 225° C. 135° D. 90°
9.如图，三棱锥 中， , 均为正三角形， 为直角三角形，斜边为 ， 为 的中点，
则直线 , 所成角的余弦值为( )
A. 3 B. 3 C. 2 D. 16 6 6 3
10.如图，一个棱长 1 分米的正方体形封闭容器中盛有 升的水，若将该容器任意放置均不能使水平面呈三
角形，则 的取值范围是( )
A. 1 , 5 B. 1 , 2 1 2 1 16 6 3 3 C. 2 , 3 D. 6 , 2
二、填空题：本大题共 6 小题，共 30 分。
11.已知向量 ， 的夹角为 45°，且 = 1， = 2，则 + 2 = ．
12.若复数 满足： + 2 2 + = 3 ，其中 为虚数单位，则 = ．
13.已知一个正方体的 8 个顶点都在一个球面上，则球的表面积与这个正方体的全面积之比为 ．
14.如图所示，已知三棱柱 1 1 1的所有棱长均为 1，且 1 ⊥底面 ，则三棱锥 1 1的体积
为 ．
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15.如图所示，在四边形 中，已知 = 2， 与以 为直径的半圆 相切于点 ，且 // ，若
= 1，则 = ；此时 = ．
16.如图，在单位正方体 1 1 1 1中，点 是线段 1上的动点，给出以下四个命题：
①异面直线 1与直线 1 所成角的大小为定值；
②二面角 1 的大小为定值；
③若 4是对角线 1上一点，则 + 长度的最小值为3；
④若 是线段 上一动点，则直线 与直线 1 不可能平行．
其中真命题有_____．
三、解答题：本题共 5 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.已知复数 = + ∈ , 为虚数单位．
(1)若 = 1，求 的值；
(2) 若1+ 为实数，求 的值．
(3)若 1 = 1 2 , 1在复平面上对应的点在第一象限，求 的取值范围．
18.已知向量 = 2,1 ， = 3, 2 ， = 6 , 3 ．
(1)若点 ， ， 共线，求实数 的值；
(2)若△ 为直角三角形，求实数 的值．
19.在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， .已知 2 2 = 2 23 sin sin ．
(1)求 cos 的值：
(2) 3若 cos = 3 ， 的周长为 2 + 2 3，求 的面积．
20.如图，已知平面 ⊥平面 ，四边形 是正方形， = ，点 ， 分别是 ， 的中点．
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(1)若点 为线段 中点，求证： //平面 ；
(2)求证： ⊥平面 ；
(3)若 = 1，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使四棱锥 存在，求
二面角 的余弦值．
条件①： ⊥ ；
条件②： ⊥ ；
条件③： = ；
注：如果选择条件不能使四棱锥 存在得零分．
21.对于三维向量 = , , , , ∈ , = 0,1,2, ，定义“ 变换”： +1 = ，其中， +1 =
， +1 = ， +1 = .记 = ， = + + ．
(1)若 0 = (3,1,2)，求 2 及 2 ；
(2)证明：对于任意 0，经过若干次 变换后，必存在 ∈ ，使 = 0；
(3)已知 1 = , 2, ≥ ， 1 = 2024，将 1再经过 次 变换后， +1 最小，求 的最小值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11. 13
12. 10
13. 2
14. 312
15.1 3； 2
16.①②③
17.(1)因为 = 2 + 1 = 1，所以 = 0．
(2) + 1 +1 1 因为1+ = 1+ 1 = 2 + 2 为实数，
1
所以 2 = 0，解得 = 1．
(3)因为 1 = 1 2 且 = + ∈ ，
所以 1 = + 1 2 = + 2 + 1 2 ，
因为 1在复平面上对应的点在第一象限，
+ 2 > 0
所以 1 2 > 0，解得 2 < <
1 1
2，故 ∈ 2, 2
18.解：(1)因为 = 2,1 ， = 3, 2 ， = 6 , 3 ，
所以 = = 3, 2 2,1 = 1, 3 ， = = 6 , 3 2,1 = 4 ,
4
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= = 6 , 3 3, 2 = 3 , 1
因为 、 、 三点共线，所以 // ，所以 1 × 4 = 3 × 4 ，解得 = 2
(2)①若∠ 为直角，则 ⊥ ，所以 = 1 × 4 3 × 4 = 0，解得 = 8
②若∠ 为直角，则 ⊥ ，所以 = 1 × 3 3 × 1 = 0，解得 = 3
③若∠ 为直角，则 ⊥ ，所以 = 3 × 4 + 1 × 4 = 0，即 2 +
8 = 0，因为 = 1 2 4 × 8 = 31 < 0，所以方程无解；
综上可得，当 = 8 或 = 3 时 为直角三角形
19.(1)因为 2 2 = 2 23 sin sin ，
2
所以由正弦定理可得 2 2 = 2 3 ，
由余弦定理得 2 = 2 + 2 2 cos ，
2 1
所以3 = 2 cos ，得 cos = 3；
(2) 1 3因为 cos = 3，cos = 3 ，0 < , < ，
2 2 6
所以 sin = 3 ，sin = 3 ，
2 2 3 1 6 6
所以 sin = sin + = sin cos + cos sin = 3 × 3 + 3 × 3 = 3 ，
即 sin = sin ，由正弦定理得 = ①，
因为 的周长为 2 + 2 3，即 + + = 2 + 2 3②，
由(1)知 2 2 = 2 23 ③，
①②③联立解得 = 2， = = 3，
所以 1 1 6的面积为 = 2 sin = 2 × 2 × 3 × 3 = 2．
20.(1)连接 , ，连接 交 于点 ，连接 ，
因为点 为 的中点， 为 中点，所以 // ，
又四边形 是正方形，
所以四边形 为矩形，
即 为 的中点，又 为 的中点，所以 // ，
又 平面 ， 平面 ，
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所以 //平面 ；
(2)由 = ， 为 的中点，得 ⊥ ，
又因为四边形 是正方形，所以 ⊥ ，
又平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ，
所以 ⊥平面 ，又 平面 ，
所以 ⊥ ，又 ∩ = ， , 平面 ，
所以 ⊥平面 ；
(3)条件①： ⊥ ；
由四边形 为正方形，得 ⊥ ，又 ∩ = ， , 平面 ，
所以 ⊥平面 ，又 平面 ， ⊥ ，又 ⊥ ，
所以∠ 为二面角 的平面角，
由(2)有 ⊥平面 ，又 // ，所以 ⊥平面 ，
又 平面 ，所以 ⊥ ，又因为 = = = 1，

所以在 中，∠ = 4，所以 cos∠ = cos
= 24 2 ，
2
所以二面角 的余弦值为 2 ；
条件②： ⊥ ；
由(2)有 ⊥平面 ， 平面 ，所以 ⊥ ，
在 中， ⊥ , ⊥ 矛盾，所以不存在；
条件③： = ；
又 = ，所以 为等边三角形，
取 的中点为 ， 的中点为 ，连接 , , ，则 // ，即 ⊥ ，
由 为等边三角形， 为 的中点，
所以 ⊥ ，又又平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ，
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所以 ⊥平面 ，又 平面 ，所以 ⊥ ，
又 ⊥ ， ∩ = ， , 平面 ，所以 ⊥平面 ， 平面 ，
所以 ⊥ ，又 ⊥ ，
所以∠ 为二面角 的平面角，
= = = 1 = 1 = 1 3又 ， 2 2，所以 =
2 2 = 2 ， = = = 1，
在 中， = 2 + 2 = 72 ，
1 2 7
所以 cos∠ = = 7 = 7 ，
2
2 7所以二面角 的余弦值为 7 ．
21.(1)已知 0 = (3,1,2)，根据“ 变换”规则 +1 = ( )，其中 +1 = | |， +1 = | |， +1 =
| |，可得：
1 = (|3 1|, |1 2|, |2 3|) = (2,1,1)
2 = (|2 1|, |1 1|, |1 2|) = (1,0,1)
根据 = ，可得 2 = 1 × 0 × 1 = 0；
根据 = + + ，可得|| 2|| = 1 + 0 + 1 = 2．
(2)设 = max , , = 0,1,2, ，
假设对任意 ∈ ,， +1 ≠ 0，则 +1， +1， +1均不为 0．
经过一次“ 变换”后， +1 = | | + | | + | |．
所以 +1 > +2，即 1 > 2 > 3 >
又因为 ∈ = 1,2, ，所以 1 ≥ 2 + 1 ≥ 3 + 2 ≥ ≥ 2+ 1 + 1 + 1．
所以 2+ 1 ≤ 1，这与 2+ 1 > 0 矛盾，故假设不正确．
综上，对于任意 0，经过若干次 变换后，必存在 ∈ +，使 = 0．
(3)设 0 = ( 0, 0, 0)，因为 1 = ( , 2, )( ≥ )，所以有 0 ≤ 0 ≤ 0或 0 ≥ 0 ≥ 0．
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= 0 0
当 0 ≥ 0 ≥ 0时，可得 2 = 0 0 ，三式相加得 = 2．
= 0 0
又因为|| 1|| = + 2 + = 2024，将 = + 2 代入可得 + 2 + + 2 = 2024，解得 = 1010， = 1012．
当 0 ≤ 0 ≤ 0时，同理可得 = 1010， = 1012，于是 1 = (1010,2,1012)
设 的三个分量为 2， ， + 2 ∈ 这三个数．
当 > 2 时， +1的三个分量为 2，2， 这三个数，所以|| +1|| = || || 4．
当 = 2 时， 的三个分量为 2，2，4，则 +1的三个分量为 0，2，2， +2的三个分量为 2，0，2，所以|| +1|| =
|| +2|| = = 4．
因为|| 1|| = 2024，所以由|| +1|| = || || 4 可得|| 505|| = 2024 4 × 505 = 4．
因为 1 = (1010,2,1012)，所以任意 的三个分量始终为偶数，且都有一个分量等于 2．
所以 505的三个分量只能是 2，2，4 三个数， 506的三个分量只能是 0，2，2 三个数．
所以当 < 505 时， +1 ≥ 8；当 ≥ 505 时，|| +1|| = 4
则 的最小值为 505．
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