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2024-2025学年人教版八年级下期末复习专题特训
专题九 数据的分析
01 知识结构
02 重难点突破
重难点1 数据的集中趋势
【例1】．为了加强校园文明精神建设和文化建设，进一步推进全民健身运动，提高广大学子的身体素质，某中学举办了盛大的秋季运动会．下表是八年级三个班级在拔河、百米接力、跳高项目的比赛成绩积分（不完整，单位：分）．
班级 拔河 百米接力 跳高 平均分
八（1）班 8 6 7 7
八（2）班 9 4 7
八（3）班 7 5 7
(1)________，__________．
(2)若将拔河、百米接力、跳高三项得分依次按照的比例计算各班的总积分，问哪个班的总积分最高？
方法指导
分析平均数时，容易被数据的极值影响，导致错误的判断
变式训练1
1．为了解同学们一段时间以来仰卧起坐的训练情况，老师在班上各选取10位男生和10位女生，进行1分钟仰卧起坐对抗赛．负责统计的同学在女生最后一位选手没比完之前，完成如下不完整的统计表和折线统计图．
选手 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
男生（次） 34 36 37 38 35 31 39 33 39 38
女生（次） 34 37 36 35 34 35 39 39 37
根据所给信息回答下面的问题：
(1)若10位男生和女生成绩的平均数相同．
①将折线统计图补充完整，并根据折线统计图判断男生还是女生的成绩比较稳定；
②求出女生选手成绩的众数；
(2)若男女生选手成绩的中位数相等，求出女生最后一位选手成绩的最小值．
2．某校随机调查了本学期部分学生读课外书的册数情况，整理得到如下不完整的统计表和扇形图．
册数 四册 五册 六册 七册
人数 7 a 10 8
(1)本次调查的学生人数为______；
(2)______；
(3)已知该校共有2000名学生，请估计全校本学期读四册课外书的学生人数为______；
(4)学校随后又补查了另外几名学生读课外书的册数情况，发现这几名学生读课外书的册数恰好相同．将其与之前的数据合并后，发现册数的众数变成了另外一个数，则补查的人数最少为______．
3．在某校园科技节中，学生们需要完成三个项目：科技小制作、科技知识竞赛和科技创新报告．每个项目的成绩都会对学生的最终评价产生影响．只有当学生的综合评价得分（满分100分）达到85分及以上时，才能被授予“科技小达人”的称号．现在我们关注两名学生小玉和小榕，她们在科技节中的部分项目成绩已经公布．
姓名 科技小制作 科技知识竞赛 科技创新报告
小玉 92 82 84
小榕 82 90
(1)如果综合评价得分是科技小制作、科技知识竞赛和科技创新报告三项成绩的平均分，请为小玉计算出这一得分，并判断她是否符合“科技小达人”的标准；
(2)学校考虑将科技小制作、科技知识竞赛和科技创新报告的权重设为计算综合评价得分．请确定小榕在科技创新报告中至少需要获得多少分才能达到“科技小达人”的标准．（分数需为整数）
4．为积极倡导中学生“健康人生、绿色无毒”的生活理念，学校举办“禁毒知识”竞赛．初赛有45名选手参加，每位选手需要参加笔试、抢答和演讲三项比赛，每项成绩均按百分制打分．评委会将笔试、抢答和演讲三项成绩按比例计算出每人的总评成绩作为最终的初赛成绩，并对成绩进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
① 45名选手初赛成绩的频数分布直方图如图所示：（数据分6组，每组包含最小值，不含最大值）
② 其中总评在91~94分的选手成绩如下：
93 91 91.5 92 92.6 91.6 93.5 92 92.2 91 93.8 91
③ 初赛中某班的选手小文和小武三项成绩如下：
笔试成绩 抢答成绩 演讲成绩 总评成绩
小文 93 90 92 91.6
小武 90 85 96
根据以上信息，回答下列问题：
(1)将“45名选手初赛成绩的频数分布直方图”补充完整；
(2)45名选手初赛成绩的中位数为 分；
(3)总评在91~94分选手成绩的众数为 分；
(4)上表中a = 分；
(5)如果学校决定根据初赛总评成绩择优选拔23名学生参加决赛．试分析小文和小武二人中，谁能进入决赛，并说明理由．
5．《全国版图知识竞赛（中小学组）》有助于增强学生国家主权意识和民族自豪感．某校为了解学生国家版图等知识的掌握情况，从该校八、九年级学生中各随机抽取10名学生参加国家版图知识竞赛，对数据（百分制）进行整理和分析．下面给出了相关信息：
八年级10名学生的竞赛成绩是：72，75，80，83，84，85，89，92，92，98．
九年级10名学生的竞赛成绩是：70，71，80，81，86，86，93，93，93，97．
八、九年级各抽取10名学生党赛成绩统计表：
年级 平均数 中位数 众数
八年级 85 84.5
九年级 85 93
根据以上信息，解答下列问题：
(1)直接写出的值；
(2)根据以上数据分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的国家版图知识竞赛成绩较好？并说明理由；（写出一条理由即可）
(3)若该校八年级有400名学生、九年级有300名学生参加此次国家版图知识竞赛，请估计该校八、九年级参加此次国家版图知识竞赛成绩优秀（）的学生人数有多少名？
重难点2 数据的波动程度
【例2】．某校舞蹈社团选拔出两个舞蹈水平相当的舞蹈小组，下面的图表是两个舞蹈小组成员的身高部分信息，其中的阴影部分已被污损．
平均数 中位数 众数 方差
甲组 165 2.8
乙组 165 164 164
请根据所学的统计知识，解决下列问题：
(1)上表中，___________，___________；
(2)一般认为，在两组舞蹈成员的舞蹈水平相当的情况下，如果舞蹈成员的身高比较整齐，则该组舞台呈现效果越好．你认为舞台呈现效果更好的是哪一组？请说明你的理由．
方法指导
（1）方差的单位是原数据单位的平方。
方差反映的是数据在它的平均数附近波动的情况。
对于同类问题的两组数据，方差较大的波动较大，方差较小的波动较小。
变式训练2
1．某校举办诵读比赛，设定满分8分，学生得分均为整数．在初赛中，甲、乙两组（每组8人）学生成绩如下 （单位：分）：
甲组：4， 5， 5， 5，6，7， 8，8．
乙组： 5， 5， 6，6， 6， 6，7，7．
组别 平均数 中位数 众数 方差
甲组 6 5 2
乙组 6 6
(1)以上成绩统计分析表中 ；
(2)从平均数和方差看，若从甲、乙两组学生中选择一个成绩较为稳定的小组参加与外校的比赛，应选哪个组？并说明理由
2．近日，陕西省体育总局发布了2025年体育赛事活动名录，共有88项赛事活动，贯穿全年，涵盖了各级各类人群，做到了“周有活动、月有赛事、季有大赛”，同时也促进体育赛事活动健康有序发展，扩大赛事活动影响．为了解学生的体育锻炼情况，学校以“活跃校园 探索初中生的运动生活”为主题开展调查研究．通过问卷，收集了八、九年级学生的平均每周锻炼时长数据，现从两个年级分别随机抽取10名学生的平均每周锻炼时长（单位：小时）进行统计：
八年级：，，，，，，，，，；
九年级：，，，，，，，，，．
整理如下：
年级 平均数 中位数 众数 方差
八年级 8 8
九年级 8
根据以上信息，回答下列问题：
(1)表格中______，______；
(2)A同学说：“我平均每周锻炼小时，位于年级中等偏上水平”，由此可判断他是______年级的学生；
(3)你认为哪个年级的学生体育锻炼情况的总体水平较好？请给出一条理由．
4．某校开展暑假读数学课外书活动，开学后802班小明同学在自己班进行调查，统计了全班40位同学暑假所读数学课外书的本数，得到下表：
本数（本） 0 1 2 3 4
人数（人） 1 9 21 7 2 0
(1)全班同学暑假读数学课外书本数的众数是 ，中位数是 ；
(2)求全班同学暑假读数学课外书本数的标准差．
5．在一组数据x1,x2,…,xn中,各数据与它们的平均数的差的绝对值的平均数,即T=(|x1-|+|x2-|+…+|xn-|)叫做这组数据的“平均差”.“平均差”也能描述一组数据的离散程度.“平均差”越大说明数据的离散程度越大.因为“平均差”的计算比方差的计算要容易一点,所以有时人们也用它代替方差来比较数据的离散程度.最大值与最小值的差、方差(标准差)、平均差都是反映数据离散程度的量.
一水产养殖户李大爷要了解鱼塘中鱼的质量的离散程度,因为个头大小差异太大会出现“大鱼吃小鱼”的情况.为防止出现“大鱼吃小鱼”的情况,在能反映数据离散程度的几个量中某些值超标时就要捕捞,分开养殖或出售.他从甲、乙两个鱼塘各随机捕捞10条鱼称得质量(单位:千克)如下:
甲鱼塘:3、5、5、5、7、7、5、5、5、3
乙鱼塘:4、4、5、6、6、5、6、6、4、4
(1)分别计算从甲、乙两个鱼塘中抽取的10条鱼的质量的极差(极差:最大值与最小值的差)、方差、平均差.完成下面的表格:
极差(千克) 方差 平均差(千克)
甲鱼塘
乙鱼塘
(2)如果你是技术人员,你会告诉李大爷哪个鱼塘的风险更大些 哪些量更能说明鱼质量的离散程度
重难点3 用样本平均数估计总体平均数
【例3】．综合与实践
【项目背景】
为增强学生的安全意识，某校针对七、八年级学生进行了一次安全知识竞赛．竞赛结束，学校对七、八年级的安全知识竞赛成绩进行统计，并对学生今后的安全意识培养提出了意见和建议．
【数据收集与整理】
从七年级和八年级中各抽取10名学生的成绩(用表示)(单位：分)进行整理，将结果制成下表．
等级 A B C D
成绩/分
整理数据样本，将结果绘制如图所示的扇形统计图和频数分布直方图．
根据以上信息，解答下列问题．
(1)扇形图中，的值为______．
(2)已知，，，四个等级成绩的平均数分别为82.5分、87.5分、92.5分、97.5分，计算八年级学生成绩的平均数．
(3)若该校七、八年级各有1500名学生，请估计七、八年级学生成绩为优秀(竞赛成绩不低于90分的记为优秀)的总人数．
方法指导
从总体中随机抽取具有代表性的样本，确保样本能反映总体的特征，避免偏差，
使用公式计算样本平均数，将样本平均数作为总体平均数的近似值
变式训练3
1．生活中很多矿泉水没有喝完便被扔掉，造成极大的浪费，为此数学兴趣小组的同学对某单位的某次会议所用矿泉水的浪费情况进行调查，为期半天的会议中，每人发一瓶的矿泉水，会后对所发矿泉水喝的情况进行统计，大致可分为四种：A．全部喝完；B．剩约；C．剩约一半；D．开瓶但基本未喝．同学们根据统计结果绘制如下两个统计图，根据统计图提供的信息，解答下列问题：
(1)参加这次会议的有___________人；图中D所在扇形的圆心角是___________．
(2)补全条形统计图；
(3)若开瓶但基本未喝算全部浪费，试计算估计这次会议平均每人浪费矿泉水多少毫升？
2．为了解某校八年级学生每周参加科学教育的时间（单位：h），随机调查了该校八年级a名学生，根据统计的结果，绘制出如图的统计图①和图②．
请根据相关信息，解答下列问题：
(1)填空：a的值为______，图①中m的值为______；
(2)求统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的平均数；
(3)根据样本数据，若该校八年级共有学生500人，估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间是的人数约为多少？
3．【调查背景】人工智能作为当下科技领域的热门议题，展现出广泛的应用场景与巨大的发展潜力．某学校为全面了解该校学生对人工智能的关注和认知程度，对全校学生开展了问卷测试．
【数据收集与整理】测试得分采用得分制．得分越高，表明学生对人工智能的关注与了解程度就越高．现从该校学生中随机抽取80名学生的测试得分进行整理和分析（得分用表示，且为整数），共分为4组：组，组，组，组，并绘制了如下不完整的统计图表．
被抽取学生的测试得分频数分布表
组别 频数 百分比
A
30
24
D 10
被抽取学生的测试得分扇形统计图
【数据分析与应用】
任务一：___________，___________，扇形统计图中组对应的圆心角度数为___________．
任务二：计算所抽取学生的测试得分的平均数（取组中值）；
任务三：若得分不少于4分记为“合格”，已知该校共有5000名学生，请估计该校对人工智能的了解程度“合格”的人数．
4．书籍是培植智慧的工具。联合国教科文组织把每年的4月23日确定为“世界读书日”，某校为了了解该校学生一个学期阅读课外书籍的情况，在全校范围内随机对100名学生进行了问卷调查，根据调查的结果，绘制了如下统计图表的一部分：
请你根据以上信息解答下列问题：
(1)补全图1，图2；
(2)这100名学生一个学期平均每人阅读课外书籍多少本 若该校共有5000名学生，请你估计这个学校学生一个学期阅读课外书籍共多少本
5．某校对全体学生进行了“航空知识”了解情况的调查，并随机抽取了这次调查中部分同学的成绩x（分）（合格：；中等：；良好：；优秀：），根据调查成绩绘制了如下不完整的统计图：
请根据以上信息，回答下列问题：
(1)抽取的学生人数为___________，并补全频数直方图；
(2)根据上面的频数直方图，我们可以用各组的组中值（数据分组后，一个小组的组中值是指这个小组的两个端点的数的平均数．例如：的组中值为）代表该组数据的平均值，据此估计所抽取学生的平均成绩；
(3)若该校有名学生，请估计成绩在良好以上（）的学生约有多少名？
重难点4 综合利用“三数”及方差分析数据
【例4】．某校为了解学生对安全知识的掌握情况，对他们进行了安全知识测试．现随机抽取甲、乙两班各10名学生的测试成绩进行整理分析，下面给出了部分信息．甲班10名学生测试成绩分别为：79，87，88，92，90，92，97，92，99，95．乙班10名学生测试成绩中的成绩如下：88，89，89．根据信息，回答下列问题：
乙班学生测试成绩的频数分布表如下：
班级
乙 3 1 3 1 2
甲、乙两班学生测试成绩的平均数、众数、中位数、方差如下：
班级 平均数 众数 中位数 方差
甲 91.1 a 92 28.89
乙 86.5 89 b 62.86
(1)___________，___________；
(2)乙班的小明测试成绩是88分．小明认为自己的成绩高于平均分，所以他的成绩高于乙班一半学生的成绩．你认为小明的判定正确吗？请说明理由；
(3)根据以上数据，你认为哪个班本次测试的成绩较好？请说明理由（写出一条即可）．
变式训练4
1．仰卧起坐是初中生体能测试项目之一，体育老师为了解九年级甲、乙两名学生仰卧起坐的水平，分别对她们进行了10次测试，整理结果如下：
数据收集：
甲：48 54 47 49 51 48 46 48 52 47
乙：47 48 49 48 49 48 51 52 48 50
数据描述：
数据分析：
学生 众数 中位数 平均数 方差
甲 48 49 5.8
乙 48.5 49
根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空：_____，_____；
(2)求乙同学10次仰卧起坐个数的方差；
(3)根据以上数据，你认为哪位同学仰卧起坐水平更好？请说明理由（写出一条即可）．
2．近日，陕西省体育总局发布了2025年体育赛事活动名录，共有88项赛事活动，贯穿全年，涵盖了各级各类人群，做到了“周有活动、月有赛事、季有大赛”，同时也促进体育赛事活动健康有序发展，扩大赛事活动影响．为了解学生的体育锻炼情况，学校以“活跃校园 探索初中生的运动生活”为主题开展调查研究．通过问卷，收集了八、九年级学生的平均每周锻炼时长数据，现从两个年级分别随机抽取10名学生的平均每周锻炼时长（单位：小时）进行统计：
八年级：，，，，，，，，，；
九年级：，，，，，，，，，．
整理如下：
年级 平均数 中位数 众数 方差
八年级 8 8
九年级 8
根据以上信息，回答下列问题：
(1)表格中______，______；
(2)A同学说：“我平均每周锻炼小时，位于年级中等偏上水平”，由此可判断他是______年级的学生；
(3)你认为哪个年级的学生体育锻炼情况的总体水平较好？请给出一条理由．
3．为树立学生的劳动观念，某中学开展了劳动技能大赛，经过五轮比赛，最终甲、乙、丙三位选手获得一等奖．小明同学对三位选手的五轮得分（单位：分，满分10分）进行了数据的收集、整理和分析，信息如下：
信息一：甲、乙两位选手的得分折线图：
信息二：选手丙五轮比赛部分成绩：其中三个得分分别是9.0，8.9，8.3；
信息三：甲、乙、丙三位选手五轮比赛得分的平均数、中位数、方差数据如下：
选手统计量 甲 乙 丙
平均数
中位数
方差 _____
根据以上信息，回答下列问题：
(1)写出表中，，c的值：________，________，________；
(2)根据以上信息可知，选手________发挥的稳定性更好（填“甲”或“乙”）．
(3)该校现准备推荐一位选手参加市级比赛，你认为应该推荐哪位选手？请说明理由．
4．2025年4月15日是第十个全民国家安全教育日，维护国家安全是每个公民的基本义务．为增强国家安全意识，某校八、九年级部分学生参加了国家安全法知识竞赛．现从八、九年级参赛学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩进行整理、描述、分析．成绩（用表示，单位：分）分为，，，四个等级，分别是：
．；．；．；．．
下面给出了部分信息：
九年级20名学生的成绩为：1，，，，，，，，，，
，，，，，，，，，；
八年级等级的学生成绩为：，，，，，，，．
八、九年级所抽学生成绩统计表
年级 平均数 中位数 众数 方差
九年级
八年级
根据以上信息，解答下列问题：
(1)上述图表中，______，______，______；
(2)根据以上数据分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）
(3)该校八年级有200名学生、九年级有180名学生参加了此次竞赛，估计该校八、九年级参加此次竞赛成绩为等的学生人数是多少？
5．2025年4月15日是第10个全民国家安全教育日，今年的主题是“全民国家安全教育，走深走实十周年”．为切实加强安全宣传教育，提升师生安全防范意识，我校组织七年级名学生开展了安全知识测试．现随机抽取甲、乙两班各名同学的测试成绩（满分分）进行整理分析，过程如下：
【收集数据】甲班15名学生测试成绩分别为：，，，，，，，，，，，，，，．
乙班名学生测试成绩中的成绩如下：，，，，．
【整理数据】
分数段班级
甲
乙
【分析数据】
班级 平均数 众数 中位数 方差
甲
乙
【应用数据】
(1)根据以上信息，可以求出：_____分，_____分．
(2)若规定测试成绩分及其以上为优秀，请估计参加安全知识测试的名学生中成绩为优秀的学生共有多少名．
(3)根据以上数据，你认为哪个班的学生的整体成绩较好？请说明理由．（一条理由即可）
2024-2025学年人教版八年级下期末复习专题特训
专题九 数据的分析（解析版）
01 知识结构
02 重难点突破
重难点1 数据的集中趋势
【例1】．为了加强校园文明精神建设和文化建设，进一步推进全民健身运动，提高广大学子的身体素质，某中学举办了盛大的秋季运动会．下表是八年级三个班级在拔河、百米接力、跳高项目的比赛成绩积分（不完整，单位：分）．
班级 拔河 百米接力 跳高 平均分
八（1）班 8 6 7 7
八（2）班 9 4 7
八（3）班 7 5 7
(1)________，__________．
(2)若将拔河、百米接力、跳高三项得分依次按照的比例计算各班的总积分，问哪个班的总积分最高？
【答案】(1)8，9
(2)八（3）班的总积分最高．
【分析】本题考查平均数和加权平均数，掌握它们的公式是解答本题的关键．
（1）根据平均数列方程求解即可；
（2）计算出各班的加权平均数，再进行比较即可．
【详解】（1）根据题意得，
解得；
根据题意得，
解得；
（2）八（1）班的分数为
八（2）班的分数为
八（3）班的分数为
∵
∴八（3）班的总积分最高．
方法指导
分析平均数时，容易被数据的极值影响，导致错误的判断
变式训练1
1．为了解同学们一段时间以来仰卧起坐的训练情况，老师在班上各选取10位男生和10位女生，进行1分钟仰卧起坐对抗赛．负责统计的同学在女生最后一位选手没比完之前，完成如下不完整的统计表和折线统计图．
选手 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
男生（次） 34 36 37 38 35 31 39 33 39 38
女生（次） 34 37 36 35 34 35 39 39 37
根据所给信息回答下面的问题：
(1)若10位男生和女生成绩的平均数相同．
①将折线统计图补充完整，并根据折线统计图判断男生还是女生的成绩比较稳定；
②求出女生选手成绩的众数；
(2)若男女生选手成绩的中位数相等，求出女生最后一位选手成绩的最小值．
【答案】(1)①见解析，女生的成绩比较稳定；②34次
(2)37次
【分析】本题考查了折线统计图、平均数、众数、中位数，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
（1）①先求出10位男生成绩的平均数，设女生最后一位选手的成绩为次，根据10位男生和女生成绩的平均数相同，列出方程解出的值，将折线统计图补充完整，再根据折线统计图即可作出判断；②根据众数的定义即可求解；
（2）先求出10位男生成绩的中位数，设女生最后一位选手的成绩为次，分，和三种情况讨论，分别求出对应的女生选手成绩的中位数，得出的最小值即可解答．
【详解】（1）解：①10位男生成绩的平均数为（次），
设女生最后一位选手的成绩为次，
由题意得，，
解得：，
女生最后一位选手的成绩为34次，
补充折线统计图如下：
根据折线统计图可得，女生的成绩比较稳定．
②由统计表可知，女生选手成绩的众数为34次．
（2）解：将男生的成绩从小到大顺序排列，中位数为第5位和第6位的平均数，
男生选手成绩的中位数为（次），
将女生的成绩从小到大顺序排列，中位数为第5位和第6位的平均数，
设女生最后一位选手的成绩为次，
若，则女生选手成绩的中位数为（次），不符合题意；
若，则女生选手成绩的中位数为（次），不符合题意；
若，则女生选手成绩的中位数为（次），符合题意；
综上所述，的范围为，即的最小值为37，
女生最后一位选手成绩的最小值为37次．
2．某校随机调查了本学期部分学生读课外书的册数情况，整理得到如下不完整的统计表和扇形图．
册数 四册 五册 六册 七册
人数 7 a 10 8
(1)本次调查的学生人数为______；
(2)______；
(3)已知该校共有2000名学生，请估计全校本学期读四册课外书的学生人数为______；
(4)学校随后又补查了另外几名学生读课外书的册数情况，发现这几名学生读课外书的册数恰好相同．将其与之前的数据合并后，发现册数的众数变成了另外一个数，则补查的人数最少为______．
【答案】(1)40
(2)15
(3)350
(4)6
【分析】本题考查了扇形统计图、用样本估计总体、众数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
（1）用读书为六册的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数；
（2）用总人数分别减去读书为四册、六册和七册的人数得到读书五册的人数；
（3）用样本估计总体即可；
（4）根据原来的众数是读书册数为五册，且读课外书为五册的人数为15人，根据读课外书册数为六册的人数为10人，与读书册数为五册的人数最接近，再根据补查后众数发生改变，从而得到最少补查的人数．
【详解】（1）解：本次调查的学生人数为：，
故答案为：40；
（2）解：；
故答案为：15；
（3）解：估计全校本学期读四册课外书的学生人数为：，
故答案为：350；
（4）解：补查前读课外书册数最多的是五册，
补查前读课外书的册数的众数为5，
补查的几人读课外书的册数恰好相同，且补查后读课外书册数的众数变成了另一个数，
补查的人数最少为：，
故答案为：．
3．在某校园科技节中，学生们需要完成三个项目：科技小制作、科技知识竞赛和科技创新报告．每个项目的成绩都会对学生的最终评价产生影响．只有当学生的综合评价得分（满分100分）达到85分及以上时，才能被授予“科技小达人”的称号．现在我们关注两名学生小玉和小榕，她们在科技节中的部分项目成绩已经公布．
姓名 科技小制作 科技知识竞赛 科技创新报告
小玉 92 82 84
小榕 82 90
(1)如果综合评价得分是科技小制作、科技知识竞赛和科技创新报告三项成绩的平均分，请为小玉计算出这一得分，并判断她是否符合“科技小达人”的标准；
(2)学校考虑将科技小制作、科技知识竞赛和科技创新报告的权重设为计算综合评价得分．请确定小榕在科技创新报告中至少需要获得多少分才能达到“科技小达人”的标准．（分数需为整数）
【答案】(1)86分，小玉符合“科技小达人”的标准
(2)小榕在科技创新报告中至少需要获得83分才能达到“科技小达人”的标准
【分析】本题考查求平均数和加权平均数：
（1）求出平均数，进行判断即可；
（2）设小榕在科技创新报告中需要获得分，根据题意列出方程进行求解即可．
【详解】（1）解：分；
∵，
∴小玉符合“科技小达人”的标准；
（2）设小榕在科技创新报告中需要获得分，由题意，得：
，
解得：，
故小榕在科技创新报告中至少需要获得83分才能达到“科技小达人”的标准；
答：小榕在科技创新报告中至少需要获得83分才能达到“科技小达人”的标准．
4．为积极倡导中学生“健康人生、绿色无毒”的生活理念，学校举办“禁毒知识”竞赛．初赛有45名选手参加，每位选手需要参加笔试、抢答和演讲三项比赛，每项成绩均按百分制打分．评委会将笔试、抢答和演讲三项成绩按比例计算出每人的总评成绩作为最终的初赛成绩，并对成绩进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
① 45名选手初赛成绩的频数分布直方图如图所示：（数据分6组，每组包含最小值，不含最大值）
② 其中总评在91~94分的选手成绩如下：
93 91 91.5 92 92.6 91.6 93.5 92 92.2 91 93.8 91
③ 初赛中某班的选手小文和小武三项成绩如下：
笔试成绩 抢答成绩 演讲成绩 总评成绩
小文 93 90 92 91.6
小武 90 85 96
根据以上信息，回答下列问题：
(1)将“45名选手初赛成绩的频数分布直方图”补充完整；
(2)45名选手初赛成绩的中位数为 分；
(3)总评在91~94分选手成绩的众数为 分；
(4)上表中a = 分；
(5)如果学校决定根据初赛总评成绩择优选拔23名学生参加决赛．试分析小文和小武二人中，谁能进入决赛，并说明理由．
【答案】(1)补全频数分布直方图见解析
(2)91
(3)91
(4)89.2
(5)小文，理由见解析
【分析】（1）先求出第5组人数，补全频数分布直方图即可得到答案；
（2）由45名选手初赛成绩的频数分布直方图，结合中位数求法得到中位数在第4组，将总评在91~94分的选手成绩从小到大排列即可得到答案；
（3）由总评在91~94分的选手成绩，结合众数定义求解即可得到答案；
（4）由笔试、抢答和演讲三项成绩按比例计算出每人的总评成绩，由加权平均数求解即可得到；
（5）由（4）中小文总评成绩为91.6；小武的总评成绩为89.2；由（2）知，45名选手初赛成绩的中位数为91分，比较小文、小武成绩与成绩中位数大小即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意可知第5组人数为，
补全频数分布直方图如下：
；
（2）解：如图所示：
45名选手初赛成绩的中位数是第23名的成绩，则中位数在第4组，
将总评在91~94分的选手成绩从小到大排列：
91 91 91 91.5 91.6 92 92 92.2 92.6 93 93.5 93.8
45名选手初赛成绩的中位数为91分；
（3）解：由总评在91~94分的选手成绩如下：
93 91 91.5 92 92.6 91.6 93.5 92 92.2 91 93.8 91
总评在91~94分选手成绩的众数为91；
（4）解：初赛中某班的选手小文和小武三项成绩如下：
笔试成绩 抢答成绩 演讲成绩 总评成绩
小文 93 90 92 91.6
小武 90 85 96
由小文的总评成绩即可得到小武的总评成绩为；
（5）解：小文，
理由如下：
由（4）中小文总评成绩为91.6；小武的总评成绩为89.2；
由（2）知，45名选手初赛成绩的中位数为91分，
，
根据初赛总评成绩择优选拔23名学生参加决赛，而小文的成绩大于成绩中位数，
小文能进入决赛．
【点睛】本题考查统计综合，涉及补全条形统计图、计算中位数、计算众数、计算加权平均数、利用中位数做决策等知识，熟记相关统计量的意义与求法是解决问题的关键．
5．《全国版图知识竞赛（中小学组）》有助于增强学生国家主权意识和民族自豪感．某校为了解学生国家版图等知识的掌握情况，从该校八、九年级学生中各随机抽取10名学生参加国家版图知识竞赛，对数据（百分制）进行整理和分析．下面给出了相关信息：
八年级10名学生的竞赛成绩是：72，75，80，83，84，85，89，92，92，98．
九年级10名学生的竞赛成绩是：70，71，80，81，86，86，93，93，93，97．
八、九年级各抽取10名学生党赛成绩统计表：
年级 平均数 中位数 众数
八年级 85 84.5
九年级 85 93
根据以上信息，解答下列问题：
(1)直接写出的值；
(2)根据以上数据分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的国家版图知识竞赛成绩较好？并说明理由；（写出一条理由即可）
(3)若该校八年级有400名学生、九年级有300名学生参加此次国家版图知识竞赛，请估计该校八、九年级参加此次国家版图知识竞赛成绩优秀（）的学生人数有多少名？
【答案】(1)
(2)见解析（答案不唯一）
(3)240名
【分析】本题考查了平均数，中位数，众数，以及用样本估计总体．
（1）根据中位数和众数的定义求解即可；
（2）从中位数和众数中选一个说明即可；
（3）把八、九年级优秀人数相加即可．
【详解】（1）∵八年级10名学生的竞赛成绩出现次数最多的是92，
∴．
∵九年级10名学生的竞赛成绩从小到大排列排在第5和第6位的数是86，86，
∴；
（2）九年级学生国家版图知识竞赛成绩较好．理由如下（写出一条理由即可）：
①九年级被抽取的学生国家版图知识竞赛成绩的中位数86大于八年级被抽取的学生国家版图知识竞赛成绩的中位数84.5．
②九年级被抽取的学生国家版图知识竞赛成绩的众数93大于八年级被抽取的学生国家版图知识竞赛成绩的众数92．
（3）（名）
答：估计该校八、九年级参加此次国家版图知识竞赛成绩优秀的学生人数有240名．
重难点2 数据的波动程度
【例2】．某校舞蹈社团选拔出两个舞蹈水平相当的舞蹈小组，下面的图表是两个舞蹈小组成员的身高部分信息，其中的阴影部分已被污损．
平均数 中位数 众数 方差
甲组 165 2.8
乙组 165 164 164
请根据所学的统计知识，解决下列问题：
(1)上表中，___________，___________；
(2)一般认为，在两组舞蹈成员的舞蹈水平相当的情况下，如果舞蹈成员的身高比较整齐，则该组舞台呈现效果越好．你认为舞台呈现效果更好的是哪一组？请说明你的理由．
【答案】(1)
(2)甲组
【分析】此题考查了方差、中位数等知识，熟练掌握方差计算和利用方差做决策是关键．
（1）根据方差计算过程分别进行求解即可；
（2）计算乙组的方差，比较后即可得到答案．
【详解】（1）解：∵
∴，
设阴影部分为，
∴
解得，
∴甲组数据为，
∴中位数；
故答案为：
（2）甲组舞台呈现效果更好，理由如下：
∴，
∴甲组舞蹈成员的身高比较整齐，则甲组舞台呈现效果更好．
方法指导
（1）方差的单位是原数据单位的平方。
方差反映的是数据在它的平均数附近波动的情况。
对于同类问题的两组数据，方差较大的波动较大，方差较小的波动较小。
变式训练2
1．某校举办诵读比赛，设定满分8分，学生得分均为整数．在初赛中，甲、乙两组（每组8人）学生成绩如下 （单位：分）：
甲组：4， 5， 5， 5，6，7， 8，8．
乙组： 5， 5， 6，6， 6， 6，7，7．
组别 平均数 中位数 众数 方差
甲组 6 5 2
乙组 6 6
(1)以上成绩统计分析表中 ；
(2)从平均数和方差看，若从甲、乙两组学生中选择一个成绩较为稳定的小组参加与外校的比赛，应选哪个组？并说明理由
【答案】(1)；6
(2)乙组，理由见解析
【分析】本题考查了中位数，众数的定义，方差的意义，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）根据中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），和一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，分别进行解答即可得出答案；
（2）根据方差是用来衡量一组数据波动大小的量，先计算出乙组的方差，再与甲组的方差进行比较即可．
【详解】（1）解：甲组的数据按顺序排列为4， 5， 5， 5，6，7， 8，8，第4，5个数据为5，6，
故中位数；
在乙组的数据中，6出现次数最多，故众数；
故答案为：；6．
（2）解：选乙组参加比赛．
理由：甲、乙两组平均数均为6，
，
则甲、乙两组学生乘积的平均数相同，而，乙组的成绩比较稳定，
故选乙组参加比赛．
2．近日，陕西省体育总局发布了2025年体育赛事活动名录，共有88项赛事活动，贯穿全年，涵盖了各级各类人群，做到了“周有活动、月有赛事、季有大赛”，同时也促进体育赛事活动健康有序发展，扩大赛事活动影响．为了解学生的体育锻炼情况，学校以“活跃校园 探索初中生的运动生活”为主题开展调查研究．通过问卷，收集了八、九年级学生的平均每周锻炼时长数据，现从两个年级分别随机抽取10名学生的平均每周锻炼时长（单位：小时）进行统计：
八年级：，，，，，，，，，；
九年级：，，，，，，，，，．
整理如下：
年级 平均数 中位数 众数 方差
八年级 8 8
九年级 8
根据以上信息，回答下列问题：
(1)表格中______，______；
(2)A同学说：“我平均每周锻炼小时，位于年级中等偏上水平”，由此可判断他是______年级的学生；
(3)你认为哪个年级的学生体育锻炼情况的总体水平较好？请给出一条理由．
【答案】(1)8；9
(2)八
(3)九年级，理由见解析
【分析】本题考查了求中位数、求众数、方差的意义，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
（1）根据中位数和众数的定义即可求解；
（2）根据中位数的定义即可得出结论；
（3）两组数据的平均数相同，比较方差的大小即可得出结论．
【详解】（1）解：将八年级10名学生的平均每周锻炼时长从小到大顺序排列，中位数为第5位和第6位的平均数，
中位数，
由九年级10名学生的平均每周锻炼时长可得，众数，
，．
故答案为：8；9．
（2）解：A同学平均每周锻炼小时，位于年级中等偏上水平，由此可判断他是八年级的学生．
故答案为：八．
（3）解：九年级的学生体育锻炼情况的总体水平较好，理由如下：
因为八、九年级的平均数相等，而九年级的方差小于八年级的方差，所以九年级的学生体育锻炼情况的总体水平较好（答案不唯一）．
3．如果一组数据1，3，5，x的极差为6，求这组数据的平均数．
【答案】4或2
【分析】根据极差的定义求解．分两种情况：x为最大值或最小值．再根据平均数的公式求解即可．
【详解】解：一组数据1，3，5，x的极差是6，
当x为最大值时，x-1=6，则x=7，平均数是：（1+3+5+7）÷4=4；
当x是最小值时，5-x=6，解得：x=-1，平均数是：（-1+1+3+5）÷4=2．
故答案为：4或2．
【点睛】本题考查了极差的定义和算术平均数，正确理解极差的定义，能够注意到应该分两种情况讨论是解决本题的关键．
4．某校开展暑假读数学课外书活动，开学后802班小明同学在自己班进行调查，统计了全班40位同学暑假所读数学课外书的本数，得到下表：
本数（本） 0 1 2 3 4
人数（人） 1 9 21 7 2 0
(1)全班同学暑假读数学课外书本数的众数是 ，中位数是 ；
(2)求全班同学暑假读数学课外书本数的标准差．
【答案】(1)2；2
(2)
【分析】本题主要考查了求众数、中位数、标准差：
（1）根据众数、中位数的定义解答，即可求解；
（2）根据标准差的计算公式计算，即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得：所读数学课外书的本数为2本的人数最多，
∴全班同学暑假读数学课外书本数的众数是2；
∵全班40位同学，
∴由表格可知，按从小到大排列后中间第20和21位同学的本数都是2，
∴中位数也是2．
故答案为：2；2．
（2）解：平均数为，
全班同学暑假读数学课外书本数的标准差为
．
5．在一组数据x1,x2,…,xn中,各数据与它们的平均数的差的绝对值的平均数,即T=(|x1-|+|x2-|+…+|xn-|)叫做这组数据的“平均差”.“平均差”也能描述一组数据的离散程度.“平均差”越大说明数据的离散程度越大.因为“平均差”的计算比方差的计算要容易一点,所以有时人们也用它代替方差来比较数据的离散程度.最大值与最小值的差、方差(标准差)、平均差都是反映数据离散程度的量.
一水产养殖户李大爷要了解鱼塘中鱼的质量的离散程度,因为个头大小差异太大会出现“大鱼吃小鱼”的情况.为防止出现“大鱼吃小鱼”的情况,在能反映数据离散程度的几个量中某些值超标时就要捕捞,分开养殖或出售.他从甲、乙两个鱼塘各随机捕捞10条鱼称得质量(单位:千克)如下:
甲鱼塘:3、5、5、5、7、7、5、5、5、3
乙鱼塘:4、4、5、6、6、5、6、6、4、4
(1)分别计算从甲、乙两个鱼塘中抽取的10条鱼的质量的极差(极差:最大值与最小值的差)、方差、平均差.完成下面的表格:
极差(千克) 方差 平均差(千克)
甲鱼塘
乙鱼塘
(2)如果你是技术人员,你会告诉李大爷哪个鱼塘的风险更大些 哪些量更能说明鱼质量的离散程度
【答案】（1）（6分）
极差 方差 平均差
A 4 1.6 0.8
B 2 0.8 0.8
（2）极差与方差 （4分）
【详解】试题分析：（1）根据极差、方差、平均差的定义分别计算即可；（2）因为要防止出现“大鱼吃小鱼”的情况，所以注意了解鱼塘中鱼的重量的离散程度，即波动大小，波动大的风险更大，根据（1）中的数据可得极差与方差更能说明鱼重量的离散程度.
试题解析：（1）甲组数据中最大的值7，最小值3，故极差=7-3=4，
甲=（3×2+6×5+2×7）÷10=5，S2甲==1.6，
=（|3-5|+|5-5|+…+|3-5|）=0.8；
乙组数据中最大的值6，最小值4，故极差=6-4=2；乙=（4×4+6×4+5×2）÷10=5，
=（|4-5|+|4-5|+…+|4-5|）=0.8；
S2乙=[（4-5）2+（4-5）2+（5-5）2+（6-5）2+（6-5）2+（5-5）2+（6-5）2+（6-5）2+（4-5）2+（4-5）2]÷10=0.8，
极差 方差 平均差
A 4 1.6 0.8
B 2 0.8 0.8
（2）∵S2甲＜S2乙；所以根据A，B的极差与方差可以得出A鱼塘风险更大．极差与方差更能说明鱼重量的离散程度
考点：1. 极差；2. 方差；3. 平均差.
重难点3 用样本平均数估计总体平均数
【例3】．综合与实践
【项目背景】
为增强学生的安全意识，某校针对七、八年级学生进行了一次安全知识竞赛．竞赛结束，学校对七、八年级的安全知识竞赛成绩进行统计，并对学生今后的安全意识培养提出了意见和建议．
【数据收集与整理】
从七年级和八年级中各抽取10名学生的成绩(用表示)(单位：分)进行整理，将结果制成下表．
等级 A B C D
成绩/分
整理数据样本，将结果绘制如图所示的扇形统计图和频数分布直方图．
根据以上信息，解答下列问题．
(1)扇形图中，的值为______．
(2)已知，，，四个等级成绩的平均数分别为82.5分、87.5分、92.5分、97.5分，计算八年级学生成绩的平均数．
(3)若该校七、八年级各有1500名学生，请估计七、八年级学生成绩为优秀(竞赛成绩不低于90分的记为优秀)的总人数．
【答案】(1)20
(2)92.5
(3)2100
【分析】本题考查扇形统计图和频数分布直方图，加权平均数，用样本估计总体等知识，掌握相关结论和方法是解题的关键．
（1）用1减去其他等级所占百分比求出七年级B等级所占百分比即可的解；
（2）运用加权平均数公式求解即可；
（3）用1500乘以各年级优秀所占比，再求和即可．
【详解】（1）解：七年级B等级所占百分比是：，
∴的值为20，
故答案为：20；
（2）解：由图可知八年级A、B、C、D等级的人数分别为：2、1、2、5，
∴八年级学生成绩的平均数为：；
（3）解：(人)，
答：估计七、八年级学生成绩为优秀(竞赛成绩不低于90分的记为优秀)的总人数为2100人．
方法指导
从总体中随机抽取具有代表性的样本，确保样本能反映总体的特征，避免偏差，
使用公式计算样本平均数，将样本平均数作为总体平均数的近似值
变式训练3
1．生活中很多矿泉水没有喝完便被扔掉，造成极大的浪费，为此数学兴趣小组的同学对某单位的某次会议所用矿泉水的浪费情况进行调查，为期半天的会议中，每人发一瓶的矿泉水，会后对所发矿泉水喝的情况进行统计，大致可分为四种：A．全部喝完；B．剩约；C．剩约一半；D．开瓶但基本未喝．同学们根据统计结果绘制如下两个统计图，根据统计图提供的信息，解答下列问题：
(1)参加这次会议的有___________人；图中D所在扇形的圆心角是___________．
(2)补全条形统计图；
(3)若开瓶但基本未喝算全部浪费，试计算估计这次会议平均每人浪费矿泉水多少毫升？
【答案】(1)，
(2)见解析
(3)毫升
【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图的综合运用，加权平均数，画条形统计图，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
（1）根据扇形统计图和条形统计图中B所对应的人数和所占的百分比，即可求出总人数，再根据D所对应的人数占总人数的百分比即可求出圆心角的度数；
（2）根据总人数求出C种情况的人数，即可补全条形统计图；
（3）用总的浪费量除以总人数就能得到平均每人的浪费量．
【详解】（1）解：参加这次会议的有（人），
图中D所在扇形的圆心角是，
故答案为：，；
（2）解：C的人数为（人），
补全条形统计图如下：
；
（3）解：（毫升），
答：估计这次会议平均每人浪费矿泉水毫升．
2．为了解某校八年级学生每周参加科学教育的时间（单位：h），随机调查了该校八年级a名学生，根据统计的结果，绘制出如图的统计图①和图②．
请根据相关信息，解答下列问题：
(1)填空：a的值为______，图①中m的值为______；
(2)求统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的平均数；
(3)根据样本数据，若该校八年级共有学生500人，估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间是的人数约为多少？
【答案】(1)，
(2)
(3)150人
【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图，用样本估计总体，平均数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
（1）根据的人数和百分比可以求得本次接受调查的学生人数，再由总人数和的人数即可求出m；
（2）根据平均数的定义进行解答即可；
（3）在所抽取的样本中，每周参加科学教育的时间是的学生占，用八年级共有学生数乘以即可得到答案．
【详解】（1）解：（人，
，
，
（2）解：，
这组数据的平均数是8.36．
（3）解：在所抽取的样本中，每周参加科学教育的时间是的学生占，
根据样本数据，估计该校八年级学生500人中，每周参加科学教育的时间是的学生占，有．
估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间是的人数约为150．
3．【调查背景】人工智能作为当下科技领域的热门议题，展现出广泛的应用场景与巨大的发展潜力．某学校为全面了解该校学生对人工智能的关注和认知程度，对全校学生开展了问卷测试．
【数据收集与整理】测试得分采用得分制．得分越高，表明学生对人工智能的关注与了解程度就越高．现从该校学生中随机抽取80名学生的测试得分进行整理和分析（得分用表示，且为整数），共分为4组：组，组，组，组，并绘制了如下不完整的统计图表．
被抽取学生的测试得分频数分布表
组别 频数 百分比
A
30
24
D 10
被抽取学生的测试得分扇形统计图
【数据分析与应用】
任务一：___________，___________，扇形统计图中组对应的圆心角度数为___________．
任务二：计算所抽取学生的测试得分的平均数（取组中值）；
任务三：若得分不少于4分记为“合格”，已知该校共有5000名学生，请估计该校对人工智能的了解程度“合格”的人数．
【答案】任务一：，，；任务二：分；任务三：估计该校对人工智能的了解程度“合格”的人数为人
【分析】本题考查了频数分布表，扇形统计图，加权平均数和样本估计总体等，能从频数分布表及扇形统计图中获取正确信息，并能熟练求解加权平均数及样本估计总体是解题的关键．
任务一：根据四个组的总频数为80可求出m的值，再用C组的频数除以总人数为求出n的值，组对应的圆心角度数为所占百分比，即可求解；
任务二：先求出组中值，由加权平均数的定义即可求解；
任务三：得分不少于4分记为“合格”所占百分比，即可求解；
【详解】解：任务一：
，
，
组对应的圆心角度数为：，
故答案为：，，；
任务二：组的组中值为，组的组中值为，组的组中值为，组的组中值为，
（分），
答：所抽取学生的测试得分的平均数为分；
任务三：（人），
答：估计该校对人工智能的了解程度“合格”的人数为人．
4．书籍是培植智慧的工具。联合国教科文组织把每年的4月23日确定为“世界读书日”，某校为了了解该校学生一个学期阅读课外书籍的情况，在全校范围内随机对100名学生进行了问卷调查，根据调查的结果，绘制了如下统计图表的一部分：
请你根据以上信息解答下列问题：
(1)补全图1，图2；
(2)这100名学生一个学期平均每人阅读课外书籍多少本 若该校共有5000名学生，请你估计这个学校学生一个学期阅读课外书籍共多少本
【答案】(1)补全图1，图2见解析
(2)这100名学生一个学期平均每人阅读课外书籍3本，估计这个学校学生一个学期阅读课外书籍共15000本
【分析】本题考查了扇形统计图和条形统计图、平均数的概念，掌握扇形统计图和条形统计图、平均数的概念是解题的关键．
（1）根据条形统计图和扇形统计图，求出阅读本的人数和阅读传记类的人数的比例，补全图1，图2；
（2）根据平均数的概念求出一个学期平均每人阅读课外书的本数．再求出这个学校学生一个学期阅读课外书籍的总数．
【详解】（1）阅读6本的人数人，并补全图1
阅读科普类的人数的比例，并补全图2
（2）（本），
即这100名学生一个学期平均每人阅读课外书籍3本；
（本），
估计这个学校学生一个学期阅读课外书籍共15000本。
5．某校对全体学生进行了“航空知识”了解情况的调查，并随机抽取了这次调查中部分同学的成绩x（分）（合格：；中等：；良好：；优秀：），根据调查成绩绘制了如下不完整的统计图：
请根据以上信息，回答下列问题：
(1)抽取的学生人数为___________，并补全频数直方图；
(2)根据上面的频数直方图，我们可以用各组的组中值（数据分组后，一个小组的组中值是指这个小组的两个端点的数的平均数．例如：的组中值为）代表该组数据的平均值，据此估计所抽取学生的平均成绩；
(3)若该校有名学生，请估计成绩在良好以上（）的学生约有多少名？
【答案】(1)60，见解析
(2)分
(3)1530名
【分析】本题主要考查调查与统计的相关计算，掌握由样本百分比估算总体数量，加权平均数的计算是解题的关键．
（1）根据优秀组的人数及百分比即可求解；
（2）根据加权平均数的计算方法即可求解；
（3）先算出抽样中良好及以上的百分比，再根据样本百分比估算总体数的方法即可求解．
【详解】（1）解：直方图中优秀组的人数为人，扇形统计图中优秀的百分比为，
∴（人），
∴抽取的学生人数为人，
∴中等组的人数为：（人），
∴补全直方图如下，
（2）解：合格组的平均值为，人数是人，
中等组的平均值为，人数是人，
良好组的平均值为，人数为人，
优秀组的平均值为，人数为人，
∴，
∴所抽取学生的平均成绩为；
（3）解：抽样中成绩在良好以上（）的学生约有（人），
∴（人），
∴该校有名学生，请估计成绩在良好以上（）的学生约有名．
重难点4 综合利用“三数”及方差分析数据
【例4】．某校为了解学生对安全知识的掌握情况，对他们进行了安全知识测试．现随机抽取甲、乙两班各10名学生的测试成绩进行整理分析，下面给出了部分信息．甲班10名学生测试成绩分别为：79，87，88，92，90，92，97，92，99，95．乙班10名学生测试成绩中的成绩如下：88，89，89．根据信息，回答下列问题：
乙班学生测试成绩的频数分布表如下：
班级
乙 3 1 3 1 2
甲、乙两班学生测试成绩的平均数、众数、中位数、方差如下：
班级 平均数 众数 中位数 方差
甲 91.1 a 92 28.89
乙 86.5 89 b 62.86
(1)___________，___________；
(2)乙班的小明测试成绩是88分．小明认为自己的成绩高于平均分，所以他的成绩高于乙班一半学生的成绩．你认为小明的判定正确吗？请说明理由；
(3)根据以上数据，你认为哪个班本次测试的成绩较好？请说明理由（写出一条即可）．
【答案】(1)92，88.5
(2)小明的判定错误．理由见解析
(3)甲班成绩更好，见解析
【分析】本题考查了众数和中位数的概念理解，用中位数和方差做决策，灵活运用所学知识是解题的关键．
（1）由中位数和众数的定义即可求解；
（2）根据中位数的定义即可判断；
（3）可从平均数或方差的两个角度进行分析即可．
【详解】（1）解：甲班10名学生测试成绩分别为：79，87，88，92，90，92，97，92，99，95，其中92出现的次数最多，
∴众数；
由于乙班有10人，那么中位数是第5，6人成绩的平均数，由表格可知第5，6人在这一档，而乙班10名学生测试成绩中的成绩如下：88，89，89，
∴中位数为，
∴，
故答案为：92，88.5；
（2）解：小明的判定错误．
理由：虽然小明的成绩88高于乙班的平均分86.5，但是乙班成绩的中位数是88.5，乙班约有一半学生的成绩大于或等于88，而，所以小明的成绩低于乙班一半学生的成绩，小明的判定不正确；
（3）解：甲班本次的测试成绩更好．
理由：①从平均数角度看，甲班的平均数是91.1，乙班的平均数是86.5分，，所以从平均数来看，甲班本次的测试成绩更好；
②从方差角度看，甲班的方差是28.89，乙班的方差是62.86，，说明甲班学生的成绩比乙班学生的成绩更稳定，所以从方差来看，甲班本次的测试成绩更好．
变式训练4
1．仰卧起坐是初中生体能测试项目之一，体育老师为了解九年级甲、乙两名学生仰卧起坐的水平，分别对她们进行了10次测试，整理结果如下：
数据收集：
甲：48 54 47 49 51 48 46 48 52 47
乙：47 48 49 48 49 48 51 52 48 50
数据描述：
数据分析：
学生 众数 中位数 平均数 方差
甲 48 49 5.8
乙 48.5 49
根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空：_____，_____；
(2)求乙同学10次仰卧起坐个数的方差；
(3)根据以上数据，你认为哪位同学仰卧起坐水平更好？请说明理由（写出一条即可）．
【答案】(1)48，48
(2)2.2
(3)乙同学水平更好，理由见解析
【分析】本题考查了中位数、众数、方差，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）根据中位数和众数的定义求解即可；
（2）根据方差的计算公式计算即可得解；
（3）根据方差和中位数比较即可得解．
【详解】（1）解：将甲组数据从小到大排列为：46，47，47，48，48，48，49，51，52，54，
故中位数，
乙组数据中48出现的次数最多，故众数；
（2）解：由题意可得：；
（3）解：乙同学水平更好，理由如下：
理由一：因为甲、乙平均数相同，且乙的方差小于甲的方差，所以乙同学的仰卧起坐水平更好．
理由二：因为甲、乙的平均数、众数相同，且乙的中位数大于甲的中位数，所以乙同学的仰卧起坐水平更好．
2．近日，陕西省体育总局发布了2025年体育赛事活动名录，共有88项赛事活动，贯穿全年，涵盖了各级各类人群，做到了“周有活动、月有赛事、季有大赛”，同时也促进体育赛事活动健康有序发展，扩大赛事活动影响．为了解学生的体育锻炼情况，学校以“活跃校园 探索初中生的运动生活”为主题开展调查研究．通过问卷，收集了八、九年级学生的平均每周锻炼时长数据，现从两个年级分别随机抽取10名学生的平均每周锻炼时长（单位：小时）进行统计：
八年级：，，，，，，，，，；
九年级：，，，，，，，，，．
整理如下：
年级 平均数 中位数 众数 方差
八年级 8 8
九年级 8
根据以上信息，回答下列问题：
(1)表格中______，______；
(2)A同学说：“我平均每周锻炼小时，位于年级中等偏上水平”，由此可判断他是______年级的学生；
(3)你认为哪个年级的学生体育锻炼情况的总体水平较好？请给出一条理由．
【答案】(1)8；9
(2)八
(3)九年级，理由见解析
【分析】本题考查了求中位数、求众数、方差的意义，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
（1）根据中位数和众数的定义即可求解；
（2）根据中位数的定义即可得出结论；
（3）两组数据的平均数相同，比较方差的大小即可得出结论．
【详解】（1）解：将八年级10名学生的平均每周锻炼时长从小到大顺序排列，中位数为第5位和第6位的平均数，
中位数，
由九年级10名学生的平均每周锻炼时长可得，众数，
，．
故答案为：8；9．
（2）解：A同学平均每周锻炼小时，位于年级中等偏上水平，由此可判断他是八年级的学生．
故答案为：八．
（3）解：九年级的学生体育锻炼情况的总体水平较好，理由如下：
因为八、九年级的平均数相等，而九年级的方差小于八年级的方差，所以九年级的学生体育锻炼情况的总体水平较好（答案不唯一）．
3．为树立学生的劳动观念，某中学开展了劳动技能大赛，经过五轮比赛，最终甲、乙、丙三位选手获得一等奖．小明同学对三位选手的五轮得分（单位：分，满分10分）进行了数据的收集、整理和分析，信息如下：
信息一：甲、乙两位选手的得分折线图：
信息二：选手丙五轮比赛部分成绩：其中三个得分分别是9.0，8.9，8.3；
信息三：甲、乙、丙三位选手五轮比赛得分的平均数、中位数、方差数据如下：
选手统计量 甲 乙 丙
平均数
中位数
方差 _____
根据以上信息，回答下列问题：
(1)写出表中，，c的值：________，________，________；
(2)根据以上信息可知，选手________发挥的稳定性更好（填“甲”或“乙”）．
(3)该校现准备推荐一位选手参加市级比赛，你认为应该推荐哪位选手？请说明理由．
【答案】(1)9.2，8.9，9.0
(2)甲
(3)应该推荐甲选手，甲的五轮比赛平均得分大于乙的平均得分，等于丙的平均得分；甲的五轮比赛得分的中位数最高，且甲的得分最稳定，所以应该推荐甲选手
【分析】本题考查平均数、方差，中位数以及折线统计图，理解中位数、平均数以及方差的定义，掌握中位数、平均数以及方差的计算方法是正确解答的关键．
（1）根据中位数、平均数的计算方法进行计算即可；
（2）计算甲、丙两位选手的五轮成绩的方差即可；
（3）根据平均数、方差进行判断即可．
【详解】（1）解：选手甲的五轮成绩分别为9.2，8.8，9.3，8.7，9.5，选手丙的五轮成绩分别为8.3，9.1，9.3，8.4，9.4，
将选手甲的五轮成绩从小到大排列，处在中间位置的一个数是9.2，因此甲选手五轮成绩的中位数是9.2，即，
选手丙的五轮成绩的平均数（分），
选手丙五轮比赛总成绩为分，其中三个得分分别是9.0，8.9，8.3，
所以，另两个成绩和为，
故另两个成绩均大于9.0，
所以，；
故答案为：9.2，8.9；9.0‘
（2）解：选手甲五轮成绩的方差 ，
选手乙五轮成绩的方差，
∵，
∴甲发挥稳定，
故答案为：甲；
（3）解：应该推荐甲选手，甲的五轮比赛平均得分大于乙的平均得分，等于丙的平均得分；甲的五轮比赛得分的中位数最高，且甲的得分最稳定，所以应该推荐甲选手
4．2025年4月15日是第十个全民国家安全教育日，维护国家安全是每个公民的基本义务．为增强国家安全意识，某校八、九年级部分学生参加了国家安全法知识竞赛．现从八、九年级参赛学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩进行整理、描述、分析．成绩（用表示，单位：分）分为，，，四个等级，分别是：
．；．；．；．．
下面给出了部分信息：
九年级20名学生的成绩为：1，，，，，，，，，，
，，，，，，，，，；
八年级等级的学生成绩为：，，，，，，，．
八、九年级所抽学生成绩统计表
年级 平均数 中位数 众数 方差
九年级
八年级
根据以上信息，解答下列问题：
(1)上述图表中，______，______，______；
(2)根据以上数据分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）
(3)该校八年级有200名学生、九年级有180名学生参加了此次竞赛，估计该校八、九年级参加此次竞赛成绩为等的学生人数是多少？
【答案】(1)，，；
(2)见解析
(3)人
【分析】本题主要考查了统计表、扇形统计图、平均数、中位数、众数、方差、用样本估计总体．平均数、中位数、众数反映的是一组数据的集中趋势，方差反映的是一组数据的波动大小，方差越小说明这组数据的波动越小．
（1）根据众数是一组数据中出现次数最多的数，可知；根据八年级学生成绩达到的人数为人，根据八年级级名学生竞赛成绩在组的数据共有8个，得出组人数的占比为，进而求得组的占比为，得出组人数是，进而根据八年级学生的成绩从大到小排列第和名的成绩分别为和，所以可知八年级的中位数为；
（2）根据八年级学生与九年级学生的平均分相等，八年级学生的众数比九年级学生的众数高，且八年级学生的方差小，说明八年级学生的成绩波动较小，成绩稳定；
（3）用样本估计总体，分别求出九年级和八年级达到优秀的人数，两数之和即为该校九、八年级学生参加此次春节文化竞赛成绩达到优秀的人数．
【详解】（1）解：从九年级名学生的竞赛成绩可以看出，九年级的成绩众数是分，
；
八年级等级的学生成绩为：，，，，，，，．
八年级名学生竞赛成绩在组的人数为，
∴组的占比为
∴从扇形统计图中可知：组的占比为，
∴
则组人数为人
八年级名学生竞赛成绩在组和组的共有人，
中位数为第和名的成绩分别为和，
∴；
故答案为：，，；
（2）解：我认为八年级学生的成绩更好，因为八年级学生与九年级学生的平均分相等，八年级学生的众数比九年级学生的众数高，且八年级学生的方差小，说明八年级学生的成绩波动较小，成绩稳定；
（3）解：八年级参加竞赛的人中成绩为等的有人，九年级参加竞赛的人中成绩为等的有11人，
估计该校八、九年级参加此次竞赛成绩为等的学生人数是人．
5．2025年4月15日是第10个全民国家安全教育日，今年的主题是“全民国家安全教育，走深走实十周年”．为切实加强安全宣传教育，提升师生安全防范意识，我校组织七年级名学生开展了安全知识测试．现随机抽取甲、乙两班各名同学的测试成绩（满分分）进行整理分析，过程如下：
【收集数据】甲班15名学生测试成绩分别为：，，，，，，，，，，，，，，．
乙班名学生测试成绩中的成绩如下：，，，，．
【整理数据】
分数段班级
甲
乙
【分析数据】
班级 平均数 众数 中位数 方差
甲
乙
【应用数据】
(1)根据以上信息，可以求出：_____分，_____分．
(2)若规定测试成绩分及其以上为优秀，请估计参加安全知识测试的名学生中成绩为优秀的学生共有多少名．
(3)根据以上数据，你认为哪个班的学生的整体成绩较好？请说明理由．（一条理由即可）
【答案】(1)，
(2)估计参加测试的名学生中成绩为优秀的学生共有名
(3)甲班学生测试的整体成绩较好，理由见解析
【分析】本题主要考查了众数和中位数的定义，用样本估计总体，利用平均数与方差做决策，准确从表格中获取相关信息是解题关键．
（1）根据众数和中位数的定义即可求解；
（2）用总人数乘以样本中甲、乙班测试成绩分及其以上人数和所占比例即可求解；
（3）根据平均数、方差的意义即可求解．
【详解】（1）解：抽取的甲班成绩中分出现次数最多，有次，
抽取的甲班成绩的众数；
将抽取的乙班成绩按照从低到高的顺序排列，排在第位的是，
抽取的乙班成绩的中位数．
故答案为：，．
（2）解：甲班测试成绩92分及其以上的有9名，乙班测试成绩92分及其以上的有7名，
（名），
答：估计参加测试的名学生中成绩为优秀的学生共有名．
（3）解：甲班学生测试的整体成绩较好，理由如下：
甲班成绩的平均数大于乙班，方差小于乙班，
甲班的整体成绩较好．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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