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2024-2025学年人教版八年级下期末复习专题特训
专题十一 期末核心素养检测卷（一）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第Ⅰ卷
选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并填入题后括号内）
1．下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．用长分别为的四根木根，恰好能钉成一个平行四边形的木框（接头忽略不记），则的值是（　　）
A．5 B．7 C．2 D．12
3．以的各边为直径的三个半圆组成如下图形，若图中三个阴影部分的面积和为24，，则的长度是（ ）
A．6 B．8 C． D．
4．巴黎奥运会中，全红婵代表跳水队参加女子十米台跳水项目，以总分425.60分获得了金牌．在第四跳407C动作中，各裁判分别给出的得分如下：9.0、9.0、9.5、9.0、9.5、9.5、9.5，则她本次得分的平均数（保留两位小数）为（　　）
A．9.25 B．9.29 C．9.35 D．9.50
5．在解决问题“已知，，用含a，b的代数式表示”时，甲的结果是；乙的结果是；丙的结果是，则下列说法正确的是（ ）
A．甲对 B．乙、丙对 C．甲、乙对 D．甲、乙、丙都对
6．如图，将长方形放置于平面直角坐标系中，点与原点重合，点分别在轴和轴上，点，连接，并将沿翻折至长方形所在平面，点的对称点为点，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．物理学知识表明，在液体深度一定时，液体压强与液体密度有关，液体密度越大，液体压强越大．小文用如图1的装置探究两种液体压强与液体深度关系时，画出了如图2所示的图象．根据图象，两种液体的密度与的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
8．甲、乙两位同学分别进行了5次一分钟跳绳测试的成绩如下表，若乙同学跳绳成绩的方差大于甲同学跳绳成绩的方差，则的值可能是（ ）
甲 178 179 180 181 182
乙 180 181 182 183
A．179 B．182 C．184 D．185
9．如图，矩形周长为8，且．连接，作点C关于的对称点E，连接，连接交于点P，作交于点G，下列说法中正确的有（ ）个．
①；②三角形的周长为定值4
③当变大时，四边形的面积先变大后变小；④当变大时，反而变小
A．1 B．2 C．3 D．4
10．数学课上，老师给出了用图象法解二元一次方程组 时所画的图象(如图所示) ，让同学们说一说通过观察图象后自己的发现，则下列说法正确的是（ ）
①可能等于：②可能等于； ③这个方程组的解为 ；④可能等于 ．
A．①②③④ B．①③④ C．①②③ D．①②④
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．若在第二象限，则 ．
12．一根电线杆高，为了安全起见，在电线杆顶部到与电线杆底部水平距离处加一拉线．拉线工人发现所用线长为（不计捆缚部分），则电线杆与地面 （填“垂直”或“不垂直”）．
13．如图，在锐角三角形中，，延长到点，使，点在上，，是上不与点，重合的点，连接并延长到点，使，连接并延长交于点，当时， ．
14．如图是一个游戏装置，四边形是正方形，点光源为的中点．点、点为的三等分点，是一个感光元件．若从点发出的光线照向平面镜，其反射光线照射到上（含端点），该感光元件就会发光．已知点，反射光线所在直线为，当感光元件发光时，的取值范围为 ．
15．当前我国的军事国防能力稳步提升，特别是激光武器发展迅速．
（1）如图1，一束激光从点出发，射向轴上的点，经过反射后射向点，已知光线的反射满足反射定律（即反射角入射角）．若点，点，则直线与轴的交点的坐标为
（2）如图2，线段是一根激光感应器，其函数表达式为，从点射出的激光射向位于轴上的镜面，经过反射后恰好覆盖线段上的4个整数点（横纵坐标都为整数的点），则的最小值为 ．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（10分）（1）计算：．
（2）．已知，求的值．
17．（7分）如图，在平行四边形中，E是边上一点，，．
(1)过点E作的平行线，交于点F（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．
(2)在（1）的条件下，求四边形的周长．
18．（9分）2024年12月4日，中国“春节”申遗成功．为了解学生对春节文化的知晓情况，某校举办了春节文化知识竞赛，并从七、八年级学生中分别随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（竞赛成绩用表示，共分为四组：．，．，．，．，其中，竞赛成绩90分及以上为优秀），部分信息如下：
七年级20名学生的竞赛成绩是：72，74，75，76，78，78，88，88，88，89，90，92，94，94，95，96，97，98，98，100．
八年级20名学生竞赛成绩在组的数据是：89，89，88，87，86，85，83．
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级 平均数 众数 中位数 方差
七年级 88 a
八年级 88 94 b
根据以上信息，解答下列问题：
(1)上述图表中的____________，____________，____________；
(2)根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的春节文化知识竞赛成绩更好？请说明理由；
(3)若该校七年级有500名学生，八年级有600名学生参加此次春节文化知识竞赛，估计该校七、八年级学生参加此次春节文化竞赛成绩达到优秀的共有多少人？
19．（8分）如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船，河岸上一男孩拽着绳子另一端向右走，绳端从点移动到点，同时小船从点移动到点，且绳长始终保持不变，回答下列问题：
(1)根据题意，可知________（填“”“”“”）；
(2)若米，米，米，求男孩需向右移动的距离（结果保留根号）．
20．（8分）如图，直线与y轴交于点，直线分别与x轴交于点，与y轴交于点C．两条直线相交于点D，连接．
(1)求两直线交点D的坐标；
(2)根据图象，直接写出当时，自变量x的取值范围_______；
(3)求的面积．
（9分）阅读理解题：
阅读下列材料，完成相应任务．
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半如图①，在中，，是斜边上的中线．求证：．
分析：要证明等于 的一半．可以用倍长法将 延长一倍，如图②，延长到点，使得．连接，．可证四边形是矩形，由矩形的对角线相等得，将直角三角形斜边上的中线与斜边的数量关系转化为矩形对角线的数量关系，进而得到．
(1)请你按材料中的分析写出证明过程；
(2)上述证明方法中主要体现的数学思想是 ；
A. 转化思想 B. 类比思想 C. 数形结合思想 D. 从一般到特殊思想
(3)如图③，点 是线段上一点，，点是线段上一点，分别连接，，点，分别是和的中点，连接．若 ，求的长．
22．（12分）综合与实践
《九章算术》中记载，浮箭漏（图①）出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间．某学校小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究：
【实验观察】
实验小组通过观察，每2小时记录一次箭尺读数，得到如表：
供水时间x（小时） 0 2 4 6 8
箭尺读数y（厘米） 6 18 30 42 54
【探索发现】
（1）①建立平面直角坐标系，如图②，横轴表示供水时间x，纵轴表示箭尺读数y，描出以表格中数据为坐标的各点．
②观察上述各点的分布规律，发现这些点大致位于同一个函数的图象上，且这个函数的类型最有可能是______；（填“一次函数”、“反比例函数”或“二次函数”）并根据你所选择的函数类型求出函数表达式（自变量取值范围不写）
【结论应用】
（2）应用上述发现的规律估算：
①供水时间达到11小时时，箭尺的读数为多少厘米？
②如果本次实验记录的开始时间是上午，那当箭尺读数为96厘米时是几点钟？（箭尺最大读数为100厘米）．
23．（12分）综合与实践
《矩形的折叠》探究课上，刘老师让同学们裁出一个矩形纸片，且，，点为上一个动点，研究以直线为对称轴折叠矩形．并作以下操作，供同学们探究发现：
【问题提出】．
（1）如图1，点，分别为，的中点，若点与点重合，点的对应点为点，当点落在上时，展开纸片，连接交折线于点，则与的位置关系为______，与的数量关系为______；
【再次探究】
（2）如图2，若点在上，点的对应点为点，点的对应点为点，若点始终落在上，展开纸片，连接交折线于点，判断四边形的形状，并说明理由；
【拓展延伸】
（3）如图3，若点在上，点的对应点为点，若点始终落在上，直接写出的取值范围．
2024-2025学年人教版八年级下期末复习专题特训
专题十一 期末核心素养检测卷（一）（解析版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第Ⅰ卷
选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并填入题后括号内）
1．下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查最简二次根式，最简二次根式应满足两个条件：（1）被开方数不含开得尽方的因数或因式；（2）被开方数不含分数．据此逐项判断即可．
【详解】解：A．的被开方数是分数，故不是最简二次根式；
B．满足最简二次根式的条件，故是最简二次根式；
C．的被开方数是分数，故不是最简二次根式；
D．的被开方数含有能开尽方的因数，故不是最简二次根式．
故选：B
2．用长分别为的四根木根，恰好能钉成一个平行四边形的木框（接头忽略不记），则的值是（　　）
A．5 B．7 C．2 D．12
【答案】B
【分析】根据平行四边形对边相等即可得到答案．
【详解】解：∵平行四边形的对边相等，用长分别为的四根木根，恰好能钉成一个平行四边形的木框，
∴，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，熟知平行四边形对边相等是解题的关键．
3．以的各边为直径的三个半圆组成如下图形，若图中三个阴影部分的面积和为24，，则的长度是（ ）
A．6 B．8 C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是勾股定理，半圆的面积，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
设两个小半圆的面积分别为，大半圆的面积为，根据题意得：三个阴影部分的面积和为，再由三个阴影部分的面积和为24，以及勾股定理可得，从而得到，即可求解．
【详解】解：设两个小半圆的面积分别为，大半圆的面积为，
根据题意得：三个阴影部分的面积和为，
∵三个阴影部分的面积和为24，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：C
4．巴黎奥运会中，全红婵代表跳水队参加女子十米台跳水项目，以总分425.60分获得了金牌．在第四跳407C动作中，各裁判分别给出的得分如下：9.0、9.0、9.5、9.0、9.5、9.5、9.5，则她本次得分的平均数（保留两位小数）为（　　）
A．9.25 B．9.29 C．9.35 D．9.50
【答案】B
【分析】本题考查了平均数．根据加权平均数的定义求解即可．
【详解】解：平均数（分），
故选：B．
5．在解决问题“已知，，用含a，b的代数式表示”时，甲的结果是；乙的结果是；丙的结果是，则下列说法正确的是（ ）
A．甲对 B．乙、丙对 C．甲、乙对 D．甲、乙、丙都对
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式的乘法与除法，二次根式的性质，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键．把，分别代入甲，乙，丙计算的结果验证即可．
【详解】解：∵，，
∴，故甲正确，
，故乙正确；
，故丙正确；
故选：D．
6．如图，将长方形放置于平面直角坐标系中，点与原点重合，点分别在轴和轴上，点，连接，并将沿翻折至长方形所在平面，点的对称点为点，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查轴对称，勾股定理，等腰三角形的判定及性质．
设与交点为点D，过点E作轴于点F，由可得，，由长方形与折叠的性质可得，从而，设，则，，在中，根据勾股定理得，代入即可解得，根据的面积可求得，进而在中，根据勾股定理可求得，结合点E的位置可得点E的坐标．
【详解】设与交点为点D，过点E作轴于点F，
∵，
∴，，
∵在长方形中，，
∴，
∵由折叠有，
∴，
∴，
设，则，，
∵在长方形中，，
∴在中，，
即，
解得，
∴，
由折叠可得，
∴，
∵或，
∴，
即，
∴，
∵轴，
∴在中，，
∴点E的坐标为．
故选：A．
7．物理学知识表明，在液体深度一定时，液体压强与液体密度有关，液体密度越大，液体压强越大．小文用如图1的装置探究两种液体压强与液体深度关系时，画出了如图2所示的图象．根据图象，两种液体的密度与的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了函数图象和物理知识，正确从函数图象上获取所需信息成为解题的关键．
由图1可知液体1的压强大，然后根据在液体深度一定时，液体压强与液体密度有关，液体密度越大，液体压强越大解答即可．
【详解】解：由图1结合物理知识可得：液体1的压强大，
∵在液体深度一定时，液体压强与液体密度有关，液体密度越大，液体压强越大，
∴．
故选A．
8．甲、乙两位同学分别进行了5次一分钟跳绳测试的成绩如下表，若乙同学跳绳成绩的方差大于甲同学跳绳成绩的方差，则的值可能是（ ）
甲 178 179 180 181 182
乙 180 181 182 183
A．179 B．182 C．184 D．185
【答案】D
【分析】本题考查了方差，掌握方差的定义与计算公式是解答本题的关键．
先计算出甲的平均数和方差，再根据方差的定义解答即可．
【详解】解：甲的平均数为：，
故甲的方差为：；
当乙为179或184时，乙的五个数是相邻的正整数，其方差与甲相等，即为2；
当乙为182时，乙的五个数的波动比相邻的正整数小，方差比2小；
当乙为185时，乙的五个数的波动比相邻的正整数大，方差比2大；
所以的值可能是185．
故选：D．
9．如图，矩形周长为8，且．连接，作点C关于的对称点E，连接，连接交于点P，作交于点G，下列说法中正确的有（ ）个．
①；②三角形的周长为定值4
③当变大时，四边形的面积先变大后变小；④当变大时，反而变小
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据矩形的性质可得，再结合，可得，进而判断①正确，连接，令与交于点，再证，可证得则的周长，进而判断②正确，再证四边形是菱形，则，，，得，可知四边形的面积，进而可知当时，四边形的面积随着增大而增大，进而判断③错误；由题意得，，则在中，，整理得，进而判断④错误．
【详解】解：在矩形中，，，，
∵矩形周长为8，
∴，则，，
∵，
∴，则，
∴，故①正确；
连接，令与交于点，
由折叠可知，，
∵
∴，则
∴，
则的周长，故②正确；
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，则
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是菱形，则，
∴，
∴，
∴四边形的面积，
当时，四边形的面积随着增大而增大，故③错误；
∵，，
则在中，，
整理得：，
∴当变大时，也变大，故④错误，
综上，正确的有①②，共2个，
故选：B．
【点睛】本题考查矩形与折叠问题，勾股定理，菱形的判定及性质，全等三角形的判定等知识点，理解并掌握相关图形的性质是解决问题的关键．
10．数学课上，老师给出了用图象法解二元一次方程组 时所画的图象(如图所示) ，让同学们说一说通过观察图象后自己的发现，则下列说法正确的是（ ）
①可能等于：②可能等于； ③这个方程组的解为 ；④可能等于 ．
A．①②③④ B．①③④ C．①②③ D．①②④
【答案】C
【分析】此题考查了图象法解二元一次方程组，一次函数的图像与性质，熟知根据图象交点即可得到方程组的解是解题的关键．根据一次函数图象的交点为方程组的解可判断③；根据其中一条直线与轴的交点是，可判断①；当时，将代入求出，可判断②；根据一次函数的图象与性质求出的取值情况，可判断④．
【详解】解：由图象可知，两条直线的交点为，则该方程组的解为，故③正确；
其中一条直线与轴的交点是，
可能等于，故①正确；
当时，第一个方程为，将代入得：，
解得：，故②正确；
当的图像过和时，将和代入得：
，
解得：，
，
当的图像过和时，，
可能等于或，故④错误；
正确的是①②③，
故选：C．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．若在第二象限，则 ．
【答案】/
【分析】本题考查平面直角坐标系内各点的坐标特征，二次根式的性质．掌握第二象限内的点的横坐标为负，纵坐标为正和二次根式的性质是解题关键．根据在第二象限，得出，，再根据二次根式的性质化简即可．
【详解】解：∵在第二象限，
∴，，
∴．
故答案为：．
12．一根电线杆高，为了安全起见，在电线杆顶部到与电线杆底部水平距离处加一拉线．拉线工人发现所用线长为（不计捆缚部分），则电线杆与地面 （填“垂直”或“不垂直”）．
【答案】垂直
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理得出“电线杆、地面、拉线围成了直角三角形”，得出电线杆与地面的垂直关系即可，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
【详解】解：∵电线杆高，在电线杆顶部到与电线杆底部水平距离处加一拉线，拉线工人发现所用线长为，
∴，
∴电线杆、地面、拉线围成了直角三角形，电线杆与地面的线段是直角边，
∴电线杆与地面垂直，
故答案为：垂直．
13．如图，在锐角三角形中，，延长到点，使，点在上，，是上不与点，重合的点，连接并延长到点，使，连接并延长交于点，当时， ．
【答案】
【分析】本题考查了中位线定理，勾股定理，直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键．
连接，取中点，连接，作于点，根据中位线定理得，，，则有，由等腰三角形的判定得，通过角所对直角边是斜边的一半得出，最后由勾股定理即可求解．
【详解】解：连接，取中点，连接，作于点，
∵，，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
14．如图是一个游戏装置，四边形是正方形，点光源为的中点．点、点为的三等分点，是一个感光元件．若从点发出的光线照向平面镜，其反射光线照射到上（含端点），该感光元件就会发光．已知点，反射光线所在直线为，当感光元件发光时，的取值范围为 ．
【答案】
【分析】本题考查一次函数的应用．取点关于轴的对称点，根据点的坐标得到的坐标，根据光的反射定律，反射光线所在的直线经过点；设反射光线所在的直线的解析式为为常数，且，将的坐标代入，将用含的代数式表示出来；再分别将点、的坐标代入得到对应的值，从而得到的取值范围，进而求得的整数值．
【详解】解：如图，取点关于轴的对称点．
∵点为的中点，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∵点、点为的三等分点，
∴，，
∵点关于轴的对称点，
∴，根据光的反射定律，反射光线所在的直线经过点，
设反射光线所在的直线的解析式为为常数，且，
将代入，
得，∴，
∴，
当反射光线经过时，得，
解得；
当反射光线经过时，得，
解得，
∴，
故答案为：．
15．当前我国的军事国防能力稳步提升，特别是激光武器发展迅速．
（1）如图1，一束激光从点出发，射向轴上的点，经过反射后射向点，已知光线的反射满足反射定律（即反射角入射角）．若点，点，则直线与轴的交点的坐标为
（2）如图2，线段是一根激光感应器，其函数表达式为，从点射出的激光射向位于轴上的镜面，经过反射后恰好覆盖线段上的4个整数点（横纵坐标都为整数的点），则的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数的几何应用、三角形全等的判定与性质等知识，较难的是题（2），正确找出临界位置是解题关键．
（1）先证出，再根据全等三角形的性质可得，由此即可得；
（2）先求出线段上共有5个整数点：，，，，，再找出两个临界位置：①当点的坐标为，点的坐标为时，②当点的坐标为，点的坐标为时，分别求出点的坐标，由此即可得．
【详解】解：（1）如图，由题意得：，
由对顶角相等得：，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵点位于轴的负半轴上，
∴直线与轴的交点的坐标为，
故答案为：．
（2）对于函数，
要使得y为整数，则x为偶数，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
∴线段上共有5个整数点：，，，，，
∵，
∴由（1）可知，直线与轴的交点坐标均为，
则有以下两个临界位置：
①当点的坐标为，点的坐标为时，
设直线的解析式为，
将点和代入得：，解得，
则直线的解析式为，
当时，，解得，即，
同理可得：直线的解析式为，
当时，，解得，即，
∴此时的最小值为；
②当点的坐标为，点的坐标为时，
同理可得：直线的解析式为，直线的解析式为，
当时，，解得，即，
当时，，解得，即，
∴此时的最小值为；
∵，
∴当镜面的端点放在点、端点放在点的位置上时，的值最小，最小值为，
故答案为：．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（10分）（1）计算：．
【答案】
【分析】先算乘方，乘法，再算加减即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键．
（2）．已知，求的值．
【答案】
【分析】根据完全平方公式、算术平方根的非负数的性质，列出关于、的方程组，通过解该方程组求得、的值，然后将其代入所求的代数式求值即可．
【详解】解：由题意可得，
解得，．
当时、时，
原式．
【点睛】本题综合考查了完全平方公式、算术平方根的非负数的性质、解二元一次方程组、二次根式有意义的条件、二次根式的混合运算．解题的关键是掌握式子叫二次根式．二次根式的性质是：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．另外，几个非负数的和为0，这几个非负数都为0．
17．（7分）如图，在平行四边形中，E是边上一点，，．
(1)过点E作的平行线，交于点F（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．
(2)在（1）的条件下，求四边形的周长．
【答案】(1)见解析
(2)20
【分析】本题考查尺规作图-作一个角等于已知角，平行四边形的判定与性质，正确作出平行线是解答的关键．
（1）转化为作，利用内错角相等，两直线平行可得；
（2）利用平行四边形的判定和性质证明四边形是平行四边形即可求解．
【详解】（1）解：如图，射线即为所求作：
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，又，
∴四边形是平行四边形，
∴，,
∵，，
∴四边形的周长为．
18．（9分）2024年12月4日，中国“春节”申遗成功．为了解学生对春节文化的知晓情况，某校举办了春节文化知识竞赛，并从七、八年级学生中分别随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（竞赛成绩用表示，共分为四组：．，．，．，．，其中，竞赛成绩90分及以上为优秀），部分信息如下：
七年级20名学生的竞赛成绩是：72，74，75，76，78，78，88，88，88，89，90，92，94，94，95，96，97，98，98，100．
八年级20名学生竞赛成绩在组的数据是：89，89，88，87，86，85，83．
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级 平均数 众数 中位数 方差
七年级 88 a
八年级 88 94 b
根据以上信息，解答下列问题：
(1)上述图表中的____________，____________，____________；
(2)根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的春节文化知识竞赛成绩更好？请说明理由；
(3)若该校七年级有500名学生，八年级有600名学生参加此次春节文化知识竞赛，估计该校七、八年级学生参加此次春节文化竞赛成绩达到优秀的共有多少人？
【答案】(1)88；，
(2)八年级成绩更好，见解析
(3)该校七、八年级学生参加此次春节文化竞赛成绩达到优秀的约有490人
【分析】（1）根据众数是一组数据中出现次数最多的数，可知；根据八年级学生成绩达到的人数为人，可知八年级学生的成绩从大到小排列第和名的成绩分别为和，所以可知八年级的中位数为；根据八年级级名学生竞赛成绩在组的数据共有个，可以求出；
（2）根据八年级学生与七年级学生的平均分相等，八年级学生的众数比七年级学生的众数高，且八年级学生的方差小，说明八年级学生的成绩波动较小，成绩稳定；
（3）用样本估计总体，分别求出七年级和八年级达到优秀的人数，两数之和即为该校七、八年级学生参加此次春节文化竞赛成绩达到优秀的人数．
【详解】（1）解：从七年级名学生的竞赛成绩可以看出，七年级的成绩众数是分，
；
从扇形统计图中可知：八年级学生成绩达到组的占，
八年级学生成绩达到的人数为：，
八年级名学生竞赛成绩在组的数据是89，89，88，87，86，85，83，
八年级名学生竞赛成绩在组的人数为，
八年级名学生竞赛成绩在组和组的共有人，
八年级名学生竞赛成绩的中位数为，
；
八年级名学生竞赛成绩在组的人数为，
八年级名学生竞赛成绩在组的百分率为，
，
故答案为：，，；
（2）解：我认为八年级学生的成绩更好，因为八年级学生与七年级学生的平均分相等，八年级学生的众数比七年级学生的众数高，且八年级学生的方差小，说明八年级学生的成绩波动较小，成绩稳定；
（3）解：七年级参加竞赛的人中达到优秀的有人，占总人数的，
估计七年级的名学生达到优秀的有人，
八年级参加竞赛的人中达到优秀的有，
估计八年级的名学生中达到优秀的有人，
估计该校七、八年级学生参加此次春节文化竞赛成绩达到优秀的共有人．
【点睛】本题主要考查了统计表、扇形统计图、平均数、中位数、众数、方差、用样本估计总体．平均数、中位数、众数反映的是一组数据的集中趋势，方差反映的是一组数据的波动大小，方差越小说明这组数据的波动越小．
19．（8分）如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船，河岸上一男孩拽着绳子另一端向右走，绳端从点移动到点，同时小船从点移动到点，且绳长始终保持不变，回答下列问题：
(1)根据题意，可知________（填“”“”“”）；
(2)若米，米，米，求男孩需向右移动的距离（结果保留根号）．
【答案】(1)
(2)男孩需向右移动的距离为米
【分析】（1）由绳长始终保持不变即可求解；
（2）由勾股定理求出、的长，然后根据即可求解．
【详解】（1）解：的长度是男孩未拽之前的绳子长，的长度是男孩拽之后的绳子长，绳长始终保持不变，
，
（2）解：连接，则点、、三点共线，
在中，（米，
（米，
在中，（米，
，
（米，
男孩需向右移动的距离为米．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理求出、的长是解题的关键．
20．（8分）如图，直线与y轴交于点，直线分别与x轴交于点，与y轴交于点C．两条直线相交于点D，连接．
(1)求两直线交点D的坐标；
(2)根据图象，直接写出当时，自变量x的取值范围_______；
(3)求的面积．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）将代入，即可求出m的值，将代入即可求出k的值，联立求D的坐标；
（2）由图可直接得出时自变量x的取值范围；
（3）由可知，C点坐标为，分别求出和的面积，相加即可．
【详解】（1）解：将代入得，，
∴；
将代入得，
解得：，
∴，
联立：，
解得：，
故D点坐标为；
（2）解：根据函数图象可知：当时，函数的图象在函数图象的下面，
∴当时，自变量x的取值范围为：；
（3）解：把代入得，
∴C点坐标为，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了两函数的交点问题，解二元一次方程组，用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征等知识点，能灵活运用知识点进行计算是解此题的关键．
（9分）阅读理解题：
阅读下列材料，完成相应任务．
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半如图①，在中，，是斜边上的中线．求证：．
分析：要证明等于 的一半．可以用倍长法将 延长一倍，如图②，延长到点，使得．连接，．可证四边形是矩形，由矩形的对角线相等得，将直角三角形斜边上的中线与斜边的数量关系转化为矩形对角线的数量关系，进而得到．
(1)请你按材料中的分析写出证明过程；
(2)上述证明方法中主要体现的数学思想是 ；
A. 转化思想 B. 类比思想 C. 数形结合思想 D. 从一般到特殊思想
(3)如图③，点 是线段上一点，，点是线段上一点，分别连接，，点，分别是和的中点，连接．若 ，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)A
(3)的长为
【分析】（1）延长到，使得，连接、，证四边形是平行四边形，再由，得平行四边形是矩形，则，进而得出结论；
（2）由（1）的证明方法即可得出结论；
（3）连接并延长到点，使，连接，，连接并延长到点，使，连接，，延长交于点，连接，
则四边形，四边形，四边形都为矩形，得，，再由勾股定理得，然后证是的中位线，即可求解．
【详解】（1）证明：如解图①，延长到点，使得 连接，，
图①
是斜边上的中线，
，
又，
四边形是平行四边形，
又
平行四边形是矩形，
，
，
；
（2）由上述证明方法中主要体现的数学思想是转化思想，
故答案为：A
（3）解：如解图②，连接并延长到点，使，连接，，连接并延长到点，使，连接，，延长交于点，连接，
则四边形，四边形，四边形都为矩形，
四边形，四边形均为矩形，
在 中，由勾股定理得：
点，分别是，的中点，四边形，四边形都是矩形，
点，分别是，的中点，
是的中位线，
的长为
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理、三角形中位线定理以及转化思想等知识，熟练掌握矩形的判定与性质，证明为的中位线是解题的关键．
22．（12分）综合与实践
《九章算术》中记载，浮箭漏（图①）出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间．某学校小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究：
【实验观察】
实验小组通过观察，每2小时记录一次箭尺读数，得到如表：
供水时间x（小时） 0 2 4 6 8
箭尺读数y（厘米） 6 18 30 42 54
【探索发现】
（1）①建立平面直角坐标系，如图②，横轴表示供水时间x，纵轴表示箭尺读数y，描出以表格中数据为坐标的各点．
②观察上述各点的分布规律，发现这些点大致位于同一个函数的图象上，且这个函数的类型最有可能是______；（填“一次函数”、“反比例函数”或“二次函数”）并根据你所选择的函数类型求出函数表达式（自变量取值范围不写）
【结论应用】
（2）应用上述发现的规律估算：
①供水时间达到11小时时，箭尺的读数为多少厘米？
②如果本次实验记录的开始时间是上午，那当箭尺读数为96厘米时是几点钟？（箭尺最大读数为100厘米）．
【答案】（1）①图见解析，②一次函数，；（2）①供水时间达到小时时，箭尺的读数为厘米，②当箭尺读数为厘米时是点钟．
【分析】本题考查了一次函数的应用，利用了待定系数法求解析式，利用函数值求自变量的值，掌握相关知识是解题的关键．
（1）①在平面直角坐标系中描出以表格中数据为坐标的各点即可；
②观察上述各点的分布规律，可知它们在同一条直线上，是一次函数，设这条直线所对应的函数表达式为，利用待定系数法即可求解；
（2）①利用前面求得的函数表达式求出时，的值即可得出箭尺的读数；
②利用前面求得的函数表达式求出时，的值，由本次实验记录的开始时间是上午，即可求解．
【详解】解：（1）①根据题意，建立平面直角坐标系描点，如图，
②观察上述各点的分布规律，可知它们在同一条直线上，是一次函数，
设这条直线所对应的函数表达式为：，把点，代入得：
，
解得：，
∴一次函数表达式为：，
故答案为：一次函数，；
（2）当时，，
∴供水时间达到小时时，箭尺的读数为厘米；
当时，则，
解得：，
∴供水时间为15小时，
∵本次实验记录的开始时间是上午8：00，
，
∴当箭尺读数为厘米时是点钟．
23．（12分）综合与实践
《矩形的折叠》探究课上，刘老师让同学们裁出一个矩形纸片，且，，点为上一个动点，研究以直线为对称轴折叠矩形．并作以下操作，供同学们探究发现：
【问题提出】．
（1）如图1，点，分别为，的中点，若点与点重合，点的对应点为点，当点落在上时，展开纸片，连接交折线于点，则与的位置关系为______，与的数量关系为______；
【再次探究】
（2）如图2，若点在上，点的对应点为点，点的对应点为点，若点始终落在上，展开纸片，连接交折线于点，判断四边形的形状，并说明理由；
【拓展延伸】
（3）如图3，若点在上，点的对应点为点，若点始终落在上，直接写出的取值范围．
【答案】（1）；；（2）菱形，理由见解析；（3）
【分析】（1）由折叠的性质即可得到答案；
（2）先根据全等得到，进而得到证明四边形是平行四边形，再根据对角线垂直即可得到答案；
（3）分两种情况讨论，当点与点重合时，的长最大；当点与点重合时，的长最小，根据勾股定理求解即可．
【详解】解：（1）∵以直线为对称轴折叠矩形，点与点重合，点的对应点为点，
∴，，
∴垂直平分，
∴，，
∴与的位置关系为，与的数量关系为，
故答案为：；；
（2）四边形是菱形．理由如下：
∵折叠矩形纸片，使点落在边上的点处，
∴，，，
∴垂直平分，
∴，，
∵，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
（3）长的取值范围是．
【提示】如图，当点与点重合时，的长最大，
此时，
∴长的最大值为；
如图2，当点与点重合时，的长最小，
设，则，
∵折叠矩形纸片，使点落在边上的点处，
∴，，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
解得：，
∴长的最小值为，
∴长的取值范围是．
【点睛】本题考查矩形的折叠问题，矩形的性质，垂直平分线的判定和性质，勾股定理，平行四边形的判定，菱形的判定等知识点，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键．
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