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2024-2025学年人教版八年级下期末复习专题特训
专题十二 期末核心素养检测卷（二）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第Ⅰ卷
选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并填入题后括号内）
1．若是二次根式，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．若式子，则括号内为（ ）
A． B． C． D．
3．赵爽弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形．图中包含四个全等的勾股形和一个小正方形，其面积称为朱实和黄实．如图，设每一个勾股形的两条直角边长分别为和，若，且，则黄实为（ ）
A．36 B．25 C．16 D．9
4．在四边形中，，其中部分线段的长已标记在图中，要使四边形为平行四边形，有如下三种添加条件的方案：甲：应添加条件“”；乙：应添加条件“”；丙：应添加条件“”．其中正确的是（ ）．
A．甲和丙 B．甲和乙 C．只有乙 D．甲、乙和丙
5．为庆祝“五一”国际劳动节，某学校举行了劳动技能比赛，经过初赛，小明和另外五名学生进入了决赛，通过实践操作、现场答辩两个环节，评委会根据这六名学生表现，经过认真评判，给出了每个学生的成绩，小明想提前知道自己的成绩，老师告诉了他两条信息：①其他五名学生的成绩（单位：分）分别为83，86，88，91，93；②你的成绩在这六个分数中既是众数，又是中位数，请你思考，小明的成绩是（ ）
A．83分 B．86分 C．88分 D．91分
6．点和点在直线上，过点作轴，垂足为点，则点坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．如图1，大树移植后常用木头支撑．将其中一根木头的支撑情况抽象为数学图形（图2），如果木头的长为1.8米，木头底端A到树底端C的距离长为1米，则的长度在（ ）
A．1.2米到1.3米之间 B．1.3米到1.4米之间
C．1.4米到1.5米之间 D．1.5米到1.6米之间
8．如图，在等腰直角三角形中，是斜边的中点，是上一点，分别过，作射线的垂线，，垂足分别为，，连结并延长交于若和的面积分别记作和，且，则的面积是（　　　）
A． B． C． D．
9．某校准备从甲，乙，丙，丁四人中选派一人去参加本市的国际奥林匹克数学竞赛（）的选拔赛，在近期的次模拟测试中，四人的成绩分析数据如下表：
甲 乙 丙 丁
平均成绩
方差
根据数据分析比较合适的人选是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
10．某商场在促销活动中，计划销售型和型两种饮水机共20台．若每台型饮水机可盈利150元，每台型饮水机可盈利200元，型饮水机的销售量不小于型饮水机的3倍．则该商场在本次促销活动中销售这两种饮水机能获得的最大利润是（ ）
A．3400元 B．3250元 C．4600元 D．4750元
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．对任意两实数a、b，定义运算“*”如下：a*b＝．根据这个规则，则方程2*x＝12的解为 ．
12．学校操场边有一块三角形的空地，三边长分别是，，，为了美化校园环境，学校决定对这块空地进行绿化，绿化费用为50元/，绿化这块空地需要 元．
13．将两块斜边长等于2的三角尺（与）的斜边完全叠合按图所示摆放，为中点，连接和，那么的而积等于 ．
14．如图是函数的图象，则点的坐标是 ．
15．如图，正方形的面积为50，以为腰作等腰，平分交于点G，交的延长线于点E，连接．若，则 ．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（10分）（1）计算：．
（2）．以下是某同学化简二次根式：的运算过程：
解：原式…第一步…第二步…第三步
(1)上面的运算过程中第一步出现了两个错误，分别是：①______，②______；第二步出现了一个错误：③______．
(2)请你写出正确完整的解答过程．
17．（7分）如图，有一块等腰直角三角形的铁板，现要通过切割、焊接，得到一个含有角的平行四边形，请你设计一种简单的切割方案，画出图形并说明理由．
18．（7分）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，台风过后，某山坡上的一棵甲树从点处被拦腰折断，其树顶恰好落在另一棵乙树的根部处，已知点距离甲树的根部处为米，甲、乙两树根部的距离为米，两棵树的株距（两棵树的水平距离）为米，且点，，在一条直线上，，求甲树原来的高度．
19．（9分）排球中的对墙垫球是陕西省初中学生学业水平体育考试项目之一，体育老师为了解九年级甲、乙两班中男生对墙垫球的水平，分别在甲、乙两班男生中随机抽取了10名进行测试，整理结果如下：
数据收集
甲班：42 48 35 39 41 32 46 42 38 37
乙班：40 42 37 38 39 38 40 42 40 44
数据描述
数据分析
班级 众数 中位数 平均数 方差
甲班 42 40
乙班 40
根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空：______，______；
(2)求测得的乙班这10名男生垫球个数的平均数；
(3)根据以上数据，你认为哪个班男生的垫球水平更好？请说明理由（写出一条即可）．
20．（8分）在国家的“惠农政策”支持下，越来越多的农户将自己的农副产品销往全国各地．河源市农户张先生将种植的百香果和金桔以箱为单位售卖．已知2箱百香果和3箱金桔的价格为245元，1箱百香果和4箱金桔的价格为260元，百香果和金桔的成本价如下表所示：
品名 百香果 金桔
成本/箱 30元 40元
(1)求每箱百香果和每箱金桔的售价分别是多少元？
(2)深圳某公司决定向农户张先生采购400箱水果（对水果种类没有特别要求）．张先生目前仅有金桔和百香果各库存300箱，在只能整箱销售的情况下，张先生该如何搭配销售，在满足公司要求的情况下，获利最大．
21．（9分）【阅读理解】
定义：我们把三角形某边上高的长度与这边中点到高的距离的比值称为三角形这条边的“中偏度值”，例如图1中，和分别为的边上的高和中线，，，则的边的“中偏度值”为．
【尝试应用】
（1）如图2，在中，，，，求的边的“中偏度值”；
【拓展延伸】
（2）如图3，点为直线上方一点，点到直线的距离，点在直线上，且，若点在直线上，且，求的边的“中偏度值”．
22．（12分）下面是“智慧”小组开展综合与实践活动的片段，请仔细阅读并完成任务．
素材 如图是一款单肩包，背带由双层部分、单层部分和调节扣构成，使用时可以通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，使背带的总长度加长或缩短（总长度为单层部分与双层部分的长度和，其中调节扣的长度忽略不计）．
问题 如何确定单肩包最佳背带长度
(1)任务一：对该背包的背带长度进行测量，设双层的部分长度是，单层部分的长度是，得到如下数据：
双层部分长度 2 4 6
单层部分长度 116 112 108
在平面直角坐标系中，以所测得数据中的x为横坐标，对应的y为纵坐标，描出所表示的点，画出函数图象；
(2)任务二：求出y与x之间的关系式，并确定x的取值范围；
(3)任务三：资料显示，当单肩包的背带总长度与身高比例为时，背包效果最佳，若小宇同学身高，当背这款背包效果最佳时，求背带双层部分的长度x的值．
23．（13分）综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“特殊四边形”为主题展开数学活动．
(1)操作判断
操作一：对折菱形纸片，使点B与点D重合，得到对角线折痕，把纸片展平；
操作二：在上选一点P，连接，并在延长线上取一点E，使．
根据以上操作：在图中找出一个与相等的角________；
(2)迁移探究
小华将菱形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片按照（1）中的方式操作，
①当点P为中点时，与的数量关系是_______，与的关系是________．
②改变点P在上的位置（点P不与点A，C重合），①的结论是否仍然成立？请说明理由．
(3)拓展应用
在（2）的探究中，已知正方形纸片的边长为，当时，直接写出的长．
2024-2025学年人教版八年级下期末复习专题特训
专题十二 期末核心素养检测卷（二）（解析版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第Ⅰ卷
选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并填入题后括号内）
1．若是二次根式，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查二次根式的意义，掌握被开方数大于等于零是二次根式有意义的条件是关键．
根据二次根式的意义求解即可．
【详解】解：由题意，得：，
∴；
故选：B．
2．若式子，则括号内为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据二次根式的化简即可得．
【详解】解：，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的化简方法是解题关键．
3．赵爽弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形．图中包含四个全等的勾股形和一个小正方形，其面积称为朱实和黄实．如图，设每一个勾股形的两条直角边长分别为和，若，且，则黄实为（ ）
A．36 B．25 C．16 D．9
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理的证明，全等图形，熟练掌握勾股定理是解题的关键．设大正方形的边长为，则大正方形的面积为，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】设大正方形的边长为，则大正方形的面积为，根据勾股定理的，
∴黄实的面积为．
故选：D．
4．在四边形中，，其中部分线段的长已标记在图中，要使四边形为平行四边形，有如下三种添加条件的方案：甲：应添加条件“”；乙：应添加条件“”；丙：应添加条件“”．其中正确的是（ ）．
A．甲和丙 B．甲和乙 C．只有乙 D．甲、乙和丙
【答案】D
【分析】此题考查了平行四边形的判定，全等三角形的性质和判定，解题的关键是掌握平行四边形的判定定理．
首先根据得到，然后分别利用全等三角形的性质和判定以及平行四边形的判定定理求解即可．
【详解】∵
∴
若添加条件“”
∴
∵
∴
∴
∵
∴四边形是平行四边形，故甲正确；
若添加条件“”
∴
∵
∴
∴
∵
∴四边形是平行四边形，故乙正确；
若添加条件“”
∴
∵
∴四边形是平行四边形，故丙正确；
综上所述，其中正确的是甲、乙和丙．
故选：D．
5．为庆祝“五一”国际劳动节，某学校举行了劳动技能比赛，经过初赛，小明和另外五名学生进入了决赛，通过实践操作、现场答辩两个环节，评委会根据这六名学生表现，经过认真评判，给出了每个学生的成绩，小明想提前知道自己的成绩，老师告诉了他两条信息：①其他五名学生的成绩（单位：分）分别为83，86，88，91，93；②你的成绩在这六个分数中既是众数，又是中位数，请你思考，小明的成绩是（ ）
A．83分 B．86分 C．88分 D．91分
【答案】C
【分析】本题主要考查众数和中位数．原数据的中位数为88，当小明的成绩为88分时，新数据的中位数为88，众数为88，据此可得答案．
【详解】解：原数据的中位数为88，当小明的成绩为88分时，中位数为，此时众数为88，符合题意，
所以小明的成绩为88分，
故选：C．
6．点和点在直线上，过点作轴，垂足为点，则点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了求一次函数解析式，坐标与图形的性质，解题的关键是掌握用待定系数法求函数解析式的方法和步骤．先求出直线的解析式，由轴，垂足为点可知点B的纵坐标为2，代入解析式求出即可求解．
【详解】解：∵点在直线上，
∴
∴，
∴，
∵轴，垂足为点，
∴点B的纵坐标为2，
∴，
∴，
∴点坐标为．
故选A．
7．如图1，大树移植后常用木头支撑．将其中一根木头的支撑情况抽象为数学图形（图2），如果木头的长为1.8米，木头底端A到树底端C的距离长为1米，则的长度在（ ）
A．1.2米到1.3米之间 B．1.3米到1.4米之间
C．1.4米到1.5米之间 D．1.5米到1.6米之间
【答案】C
【分析】本题考查勾股定理的应用，无理数的估算，先由勾股定理求出的长度，再用“夹逼法”估算即可求解．
【详解】解：由勾股定理，得
(米)
∵，，
∴
∴的长度在1.4米到1.5米之间
故选：C．
8．如图，在等腰直角三角形中，是斜边的中点，是上一点，分别过，作射线的垂线，，垂足分别为，，连结并延长交于若和的面积分别记作和，且，则的面积是（　　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，掌握知识点的应用是解题的关键．
连接，由是等腰斜边中点，则，证明，，设，，由可得，故面积．
【详解】解：连接，
∵是等腰斜边中点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
设，
由，得，
设，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴面积，
故选：．
9．某校准备从甲，乙，丙，丁四人中选派一人去参加本市的国际奥林匹克数学竞赛（）的选拔赛，在近期的次模拟测试中，四人的成绩分析数据如下表：
甲 乙 丙 丁
平均成绩
方差
根据数据分析比较合适的人选是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】D
【分析】本题考查了方差和平均数，平均数反映了一组数据的集中趋势，但是平均分容易受到极端数据的影响；方差反映了一组数据的波动大小，方差越小，这组数据越稳定．本题中乙和丁的平均成绩较好，但是乙的方差大、丁的方差小，说明丁的成绩更稳定，所以应让丁去参加比赛．
【详解】解：从甲、乙、丙、丁四人的成绩可以看出乙和丁的平均分相同都是分，比甲和丙的平均分高，
但是乙的方差是，丁的方差是，
丁的成绩比乙的成绩移稳定，
应选择丁去参加比赛．
故选：D．
10．某商场在促销活动中，计划销售型和型两种饮水机共20台．若每台型饮水机可盈利150元，每台型饮水机可盈利200元，型饮水机的销售量不小于型饮水机的3倍．则该商场在本次促销活动中销售这两种饮水机能获得的最大利润是（ ）
A．3400元 B．3250元 C．4600元 D．4750元
【答案】B
【分析】本题考查一元一次不等式的应用，涉及一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出不等式求出的范围．
设该商场在这一时期内销售获得的利润是元，销售型饮水机台，则销售型饮水机台，根据在同一时期内，型饮水机的销售量不小于型饮水机销售量的3倍可得：，而，由一次函数性质可得答案．
【详解】解：设该商场在这一时期内销售获得的利润是元，销售型饮水机台，则销售型饮水机台，
根据题意得：．
解得：，
，
∴随的增大而减小，
∴当时，取最大值，最大值为(元)，
答：该商场在这一时期内销售这两种饮水机能获得的最大利润是元．
故选：B．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．对任意两实数a、b，定义运算“*”如下：a*b＝．根据这个规则，则方程2*x＝12的解为 ．
【答案】
【分析】分两种情况讨论：当时，当＜时，再根据自定义的提示公式列方程，解方程可得答案.
【详解】解：当时，
但是＞，不合题意，舍去，
当＜时，
但是＜
综上： 或
故答案为：
【点睛】本题考查的是利用平方根解方程，弄懂自定义的含义，分情况列方程是解题的关键.
12．学校操场边有一块三角形的空地，三边长分别是，，，为了美化校园环境，学校决定对这块空地进行绿化，绿化费用为50元/，绿化这块空地需要 元．
【答案】3000
【分析】根据勾股定理的逆定理得出这块空地是直角边为和的直角三角形，求出这块空地的面积，然后再计算需要的费用即可．
【详解】解：∵，
∴这块空地是直角边为和的直角三角形，
∴这块空地的面积为，
∴绿化这块空地需要的费用为元，
故答案为：3000．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形是直角三角形．
13．将两块斜边长等于2的三角尺（与）的斜边完全叠合按图所示摆放，为中点，连接和，那么的而积等于 ．
【答案】/
【分析】过点C作于点F，根据直角三角形的性质得出，，，证明为等边三角形，得出，求出，得出，根据三角形面积公式求出．
【详解】解：过点C作于点F，如图所示：
根据三角尺的特点可知：，，，
∵为中点，
∴，，，
∴，
∵，，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，含30度角的直角三角形的性质，三角形面积计算，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握直角三角形的性质．
14．如图是函数的图象，则点的坐标是 ．
【答案】
【分析】本题考查分段函数图象，一次函数的性质．由图象获取到点是函数增减性的转折点是解题的关键．
根据点是函数增减性的转折点，则点的横坐标是4，把代入函数解析式计算即可求解．
【详解】解：由图象可知：点是函数增减性的转折点，
点的横坐标是4，
当时，则
∴．
故答案为：．
15．如图，正方形的面积为50，以为腰作等腰，平分交于点G，交的延长线于点E，连接．若，则 ．
【答案】
【分析】过点作于点，连接，交于点，先根据等腰三角形的性质和勾股定理求出的长，再求出，从而可得，，然后根据等腰三角形的性质求出的长，最后在和中，利用勾股定理求解即可得．
【详解】解：如图，过点作于点，连接，交于点，
∵正方形的面积为50，
∴，，
∵，，
∴，平分，，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，，
∴，
∴，
又∵，平分，
∴垂直平分，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
设，则，
在和中，，
即，
解得，
即，
则，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定与性质、勾股定理、二次根式的化简等知识，熟练掌握等腰三角形的三线合一是解题关键．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（10分）（1）计算：．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键．根据二次根式除法和乘法，进行计算即可．
【详解】解：
．
（2）．以下是某同学化简二次根式：的运算过程：
解：原式…第一步…第二步…第三步
(1)上面的运算过程中第一步出现了两个错误，分别是：①______，②______；第二步出现了一个错误：③______．
(2)请你写出正确完整的解答过程．
【答案】(1)①；②；③
(2)见解析
【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，绝对值的意义以及算术平方根的定义等知识．
（1）根据完全平方公式，绝对值的意义以及算术平方根的定义求解即可．
（2）按照二次根式的混合运算法则计算即可．
【详解】（1）解：①
②
③
故答案为：；；
（2）
17．（7分）如图，有一块等腰直角三角形的铁板，现要通过切割、焊接，得到一个含有角的平行四边形，请你设计一种简单的切割方案，画出图形并说明理由．
【答案】见详解
【分析】本题考查了平行四边形的判定，等腰直角三角形，熟练掌握并灵活运用等腰三角形的性质及平行四边形的判定是解决问题的关键．根据等腰三角形的性质及平行四边形的判定来解．
【详解】解：如图，取的中点，连接，沿切割，固定点，旋转使点与点重合即可．理由如下：
在中，
，
又分别是的中点，
，
，
，
，
在一条直线上．
又，
．
又，
∴四边形是平行四边形，且．
18．（7分）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，台风过后，某山坡上的一棵甲树从点处被拦腰折断，其树顶恰好落在另一棵乙树的根部处，已知点距离甲树的根部处为米，甲、乙两树根部的距离为米，两棵树的株距（两棵树的水平距离）为米，且点，，在一条直线上，，求甲树原来的高度．
【答案】甲树原来的高度为米
【分析】问题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
根据勾股定理计算即可．
【详解】解：，
，
米，米，
（米），
（米），
（米），
甲树原来的高度为（米），
答：甲树原来的高度为米.
19．（9分）排球中的对墙垫球是陕西省初中学生学业水平体育考试项目之一，体育老师为了解九年级甲、乙两班中男生对墙垫球的水平，分别在甲、乙两班男生中随机抽取了10名进行测试，整理结果如下：
数据收集
甲班：42 48 35 39 41 32 46 42 38 37
乙班：40 42 37 38 39 38 40 42 40 44
数据描述
数据分析
班级 众数 中位数 平均数 方差
甲班 42 40
乙班 40
根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空：______，______；
(2)求测得的乙班这10名男生垫球个数的平均数；
(3)根据以上数据，你认为哪个班男生的垫球水平更好？请说明理由（写出一条即可）．
【答案】(1)40；40
(2)
(3)乙班男生的垫球水平更好，理由见解析
【分析】本题主要考查了平均数、中位数、众数和方差等知识，正确理解题意得到相关信息是解题的关键．
（1）根据中位数和众数的定义求解即可；
（2）根据平均数的定义计算求解即可；
（3）从方差的角度出发，描述结论和理由即可．
【详解】（1）解：∵乙班中，成功垫球个数为40个的人数最多，
∴乙班的众数为40个，即；
把甲班成功垫球个数按照从低到高排列，处在第5名和第6名分别为39个，41个，
∴甲班的中位数为个，即；
（2）解：；
（3）解：乙班男生的垫球水平更好，理由如下：
从方差来看，甲班的方差大于乙班的方差，说明甲班同学之间的水平差距很大，而乙班同学之间水平差距不大，故乙班男生的垫球水平更好．
20．（8分）在国家的“惠农政策”支持下，越来越多的农户将自己的农副产品销往全国各地．河源市农户张先生将种植的百香果和金桔以箱为单位售卖．已知2箱百香果和3箱金桔的价格为245元，1箱百香果和4箱金桔的价格为260元，百香果和金桔的成本价如下表所示：
品名 百香果 金桔
成本/箱 30元 40元
(1)求每箱百香果和每箱金桔的售价分别是多少元？
(2)深圳某公司决定向农户张先生采购400箱水果（对水果种类没有特别要求）．张先生目前仅有金桔和百香果各库存300箱，在只能整箱销售的情况下，张先生该如何搭配销售，在满足公司要求的情况下，获利最大．
【答案】(1)每箱百香果和每箱金桔的售价分别为40元，55元
(2)张先生将100箱百香果和300箱金桔进行搭配销售时，获利最大
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系列出方程组和函数关系式．
（1）先每箱百香果的售价为元，每箱金桔的售价为元，根据已知条件列出二元一次方程组求解每箱百香果和金桔的售价；
（2）设设张先生将箱金桔和箱百香果进行搭配销售，获利为元，然后列出获利的函数关系式，根据库存和采购要求得出取值范围，根据函数性质求出获利最大时的搭配方案．
【详解】（1）解：设每箱百香果的售价为元，每箱金桔的售价为元，
根据题意，得
解这个方程组，得，
答：每箱百香果和每箱金桔的售价分别为40元，55元．
（2）解：每箱百香果的利润为：（元），
每箱金桔的利润为：（元），
设张先生将箱金桔和（400－m）箱百香果进行搭配销售，获利为元，
则，
，
随的增大而增大．
又，当时，最大，
此时百香果的箱数为：（箱）．
答：张先生将100箱百香果和300箱金桔进行搭配销售时，获利最大．
21．（9分）【阅读理解】
定义：我们把三角形某边上高的长度与这边中点到高的距离的比值称为三角形这条边的“中偏度值”，例如图1中，和分别为的边上的高和中线，，，则的边的“中偏度值”为．
【尝试应用】
（1）如图2，在中，，，，求的边的“中偏度值”；
【拓展延伸】
（2）如图3，点为直线上方一点，点到直线的距离，点在直线上，且，若点在直线上，且，求的边的“中偏度值”．
【答案】（1）；（2）的边的“中偏度值”为6或．
【分析】本题考查勾股定理及应用，解答本题的关键是明确题意．
（1）根据题意和题目中的数据，可以计算出中边上的高和该边上的中点到的距离，即可求解；
（2）分两种情况：当当在外部时，当在内部时，画出图形，分别计算即可．
【详解】解：（1）作的中线，高线，如图，
，，，
，
，
，
，
，
为斜边上的中线，，
，
则的边的“中偏度值”为；
（2）①当在外部时，
作的中线，如下图：
，，，，
，，
，
为的中线，
，
，
即点到的距离为，
则的边的“中偏度值”为；
②当在内部时，
作的中线，如下图：
，，，，
，，
，
为的中线，
，
，
即点到的距离为，
则的边的“中偏度值”为；
综上所述，的边的“中偏度值”为6或．
22．（12分）下面是“智慧”小组开展综合与实践活动的片段，请仔细阅读并完成任务．
素材 如图是一款单肩包，背带由双层部分、单层部分和调节扣构成，使用时可以通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，使背带的总长度加长或缩短（总长度为单层部分与双层部分的长度和，其中调节扣的长度忽略不计）．
问题 如何确定单肩包最佳背带长度
(1)任务一：对该背包的背带长度进行测量，设双层的部分长度是，单层部分的长度是，得到如下数据：
双层部分长度 2 4 6
单层部分长度 116 112 108
在平面直角坐标系中，以所测得数据中的x为横坐标，对应的y为纵坐标，描出所表示的点，画出函数图象；
(2)任务二：求出y与x之间的关系式，并确定x的取值范围；
(3)任务三：资料显示，当单肩包的背带总长度与身高比例为时，背包效果最佳，若小宇同学身高，当背这款背包效果最佳时，求背带双层部分的长度x的值．
【答案】(1)图见解析
(2)，
(3)背带双层部分的长度x的值为18
【分析】本题考查一次函数的实际应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键．
（1）描点，连线，画出图象即可；
（2）根据（1）中图象可知，与满足一次函数的关系，设出关系式，待定系数法求出函数解析式即可；
（3）先根据比例关系求出单肩包的背带总长度，再根据总长度等于，进行求解即可．
【详解】（1）解：描点，连线画出函数图象如图：
（2）根据图象可知，变量、满足一次函数关系．
设、为常数，且，
将，和，代入，
得，
解得，
．
当背带都为单层部分时，；
当背带都为双层部分时，，即，解得，
的取值范围是；
（3）由题意，当背这款背包效果最佳时：
单肩包的背带总长度为；
∴，
解得：，
即：背带双层部分的长度x的值为18．
23．（13分）综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“特殊四边形”为主题展开数学活动．
(1)操作判断
操作一：对折菱形纸片，使点B与点D重合，得到对角线折痕，把纸片展平；
操作二：在上选一点P，连接，并在延长线上取一点E，使．
根据以上操作：在图中找出一个与相等的角________；
(2)迁移探究
小华将菱形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片按照（1）中的方式操作，
①当点P为中点时，与的数量关系是_______，与的关系是________．
②改变点P在上的位置（点P不与点A，C重合），①的结论是否仍然成立？请说明理由．
(3)拓展应用
在（2）的探究中，已知正方形纸片的边长为，当时，直接写出的长．
【答案】(1)（答案不唯一）
(2)①； ②成立；理由见解析
(3)
【分析】（1）根据菱形的性质与轴对称的性质，即可得到答案；
（2）①当点P为中点时，连结，点P为对角线的交点，点E与点C重合，根据正方形的性质即得答案；
②改变点P在上的位置（点P不与点A，C重合），过点P作于点F，交于点G，证明，得到，再证明，即可进一步推得，即得答案；
（3）设，即可求得，从而得方程，解得，因此，最后根据勾股定理即得答案．
【详解】（1）解：对折菱形纸片，使点B与点D重合，得到对角线折痕，
，
故答案为：（答案不唯一）．
（2）解：①当点P为中点时，连结，
四边形是正方形，
点P为对角线的交点，且，，
点E与点C重合，
，；
故答案为：；．
②改变点P在上的位置（点P不与点A，C重合），①的结论是否仍然成立．
理由如下：
过点P作于点F，交于点G，
，
四边形是矩形，
，，
四边形是正方形，
，
，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：．
理由如下:
如第（2）题②的图中，设，
则，
，，
，
，
，
，
解得，
，
．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，轴对称的性质，菱形的性质，勾股定理等知识，添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键．
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