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第二单元易错题型专项07 长方体和正方体的表面积生活实践奥数思维20题
答案解析
一．解答题
1．一个棱长是3米的正方体木块，如果把它锯成相等的8个小正方体，表面积增加多少？
【正确答案】54平方米
【解题思路】把一个棱长是3米的正方体木块锯成相等的8个小正方体，要沿着长、宽、高各切1次，共3次，增加了6个面；每个面的面积是（3×3）平方米，再乘6即可求出增加的表面积。
【详细解答】2×3＝6（个）
3×3×6
＝9×6
＝54（平方米）
答：表面积增加54平方米。
【考点点评】本题考查立体图形的切割，明确切一刀增加2个面，进而得出切3刀增加6个面。
2．如图，有一个长方体物体，底面是正方形，中间是空心的正方形。如果把这个物体浸没在水中，它与水接触的面积是多少平方厘米？
【正确答案】1470平方厘米
【解题思路】从图中可知，这个长方体物体外面的侧面是4个长22厘米、宽10厘米的长方形，物体里面的侧面是4个长22厘米、宽5厘米的长方形，根据长方形的面积＝长×宽，求出一个面的面积，再乘4，分别求出长方体外面、里面的侧面积；
这个长方体物体的底面积＝边长为10厘米的正方形的面积－边长为5厘米的正方形的面积，根据正方形的面积＝边长×边长求解；
如果把这个物体浸没在水中，它与水接触的面积＝物体外面的侧面积＋物体里面的侧面积＋物体的底面积×2，据此求出物体与水接触的面积。
【详细解答】物体外面的侧面积：10×22×4＝880（平方厘米）
物体里面的侧面积：5×22×4＝440（平方厘米）
物体的两个底面积：
（10×10－5×5）×2
＝（100－25）×2
＝75×2
＝150（平方厘米）
物体与水接触的面积：
880＋440＋150＝1470（平方厘米）
答：它与水接触的面积是1470平方厘米。
【考点点评】本题考查长方体表面积公式的灵活运用，分析出物体接触水的面是哪些面，再根据图形的面积公式求解。
3．如下图，一个正方体木块的表面积是40平方厘米，如果把它截成相等的8个小正方体木块，每个小正方体木块的表面积是多少平方厘米？
【正确答案】10平方厘米
【解题思路】把正方体截成8个相等的小正方体，可以看出切了三刀，每切一刀就增加两个相同的截面，一共增加了6个原正方体的面，也就是8个小正方体的表面积是2个原正方体的表面积，先用40乘2计算出2个原正方体的表面积，也就是8个小正方体的表面积和，再除以8即可；据此解答。
【详细解答】
＝80÷8
＝10（平方厘米）
答：每个小正方体木块的表面积是10平方厘米。
【考点点评】本题考查的是对正方体特征的实际应用，注意切开后一共增加了6个原正方体的面是解答本题的关键。
4．一个长方体，如果高增加4厘米，那么就变成一个正方体，这时表面积比原来增加128平方厘米，原来长方体的表面积是多少平方厘米？
【正确答案】256平方厘米
【解题思路】由长方体的高增加4厘米后变成了正方体可知，原长方体的长和宽相等。（如下图）表面积比原来增加128平方厘米，增加部分的面积实际上就是4个面积相等的长方形的面积和。用128÷4先求出增加的1个面的面积；再用增加的1个面的面积÷4求出长方体的长（或宽）；再用长方体的长（或宽）减去4厘米求出原来长方体的高；最后根据长方体的表面积求出原长方体的表面积。
【详细解答】长（或宽）：128÷4÷4
＝32÷4
＝8（厘米）
高：8－4＝4（厘米）
表面积：（8×8＋8×4＋8×4）×2
＝（64＋32＋32）×2
＝128×2
＝256（平方厘米）
答：原来长方体的表面积是256平方厘米。
【考点点评】一个长方体高增加一段，增加的表面积是增加的那部分前、后、左、右4个侧面的面积和。
5．有一个长方体，先后沿不同方向切了三刀（如图），切完第一刀后得到的2个小长方体的表面积之和是472平方厘米，切完第二刀后得到的4个小长方体表面积之和是632平方厘米，切完第三刀后得到的8个小长方体的表面积之和是752平方厘米。那么，原来长方体六个面中面积最小的是多少平方厘米？
【正确答案】48平方厘米
【解题思路】每切一刀，切面与原来长方体中的两个平行面的面积相等，切完第三刀后，增加一个原来大长方体的表面积，根据切完第三刀后所有面的表面积之和求出原来大长方体的表面积，切完第一刀后增加两个切面的面积，是2个小长方体的表面积之和与原来大长方体的表面积之差；切完第二刀后增加的两个切面的面积，是4个小长方体的表面积之和与切完第一刀2个小长方体的表面积之和的差；切完第三刀后增加的两个切面的面积，是8个小长方体的表面积之和与切完第二刀4个小长方体的表面积之和的差，再除以2求出一个切面的面积，最后比较大小即可。
【详细解答】大长方体的表面积：752÷2＝376（平方厘米）
（472－376）÷2
＝96÷2
＝48（平方厘米）
（632－472）÷2
＝160÷2
＝80（平方厘米）
（752－632）÷2
＝120÷2
＝60（平方厘米）
因为48平方厘米＜60平方厘米＜80平方厘米，所以原来长方体六个面中面积最小的是48平方厘米。
答：原来长方体六个面中面积最小的是48平方厘米。
【考点点评】本题主要考查立体图形的切拼，根据每次增加部分的面积求出长方体三个不同面的面积是解答题目的关键。
6．两个完全相同的长方体，长是12厘米，宽是7厘米，高是4厘米，现在把它们拼成一个表面积最大的长方体后，则表面积比原来减少了多少平方厘米？。
【正确答案】56平方厘米
【解题思路】将两个完全的长方体拼成一个大长方体，要使大长方体面积最大，则拼接的一面为小长方体面积最小的一面，根据题意可得面积最小的一面是宽和高所对应的面。此时，大长方体表面积比原来减少了2个这样的面，据此可得出答案。
【详细解答】拼接后要使大长方体表面积最大，则拼接面为面积最小的一面。故表面积比原来减少：
7×4×2
＝28×2
＝56（平方厘米）。
答：表面积比原来减少了56平方厘米。
【考点点评】本题主要考查的是长方体表面积及拼接，解题的关键是根据题意中得出拼接的面为面积最小的面，进而得出答案。
7．把四个大小、形状相同的盒子包装在一起，如果每个盒子的长、宽、高分别是8cm、6cm、5cm，那么最少需要多大的包装纸？
【正确答案】592cm2
【解题思路】根据题意，要使需要的包装纸最少，就要把四个盒子的最大面重合在一起；因为8×6＞8×5＞6×5，所以要把8×6的面、8×5的面分别重合起来，拼成一个长为8cm，宽为（6×2）cm，高为（5×2）cm的长方体，这样包装纸用的最少；根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据计算即可。
【详细解答】如图：
6×2＝12（cm）
5×2＝10（cm）
（8×12＋8×10＋12×10）×2
＝（96＋80＋120）×2
＝296×2
＝592（cm2）
答：最少需要592 cm2的包装纸。
【考点点评】本题考查立体图形的拼组，先找出盒子的哪些面的面积大，把它们重合起来，这样拼成的长方体用的包装纸最少；掌握长方体的表面积公式并灵活运用。
8．下图是用24个棱长2cm的小正方体粘合而成的几何体。
（1）在A、B、C三个缺口中选一处补入一个小正方体，补在（ ） 处，能使这个几何体的表面积保持不变。
（2）在这三个缺口处都补入一个小正方体，这个几何体的表面积会增加还是会减少？增加（或减少）多少cm2？
【正确答案】（1）B
（2）减少；减少24cm2
【解题思路】（1）在A、B、C三个缺口中分别补入一个小正方体，对比补入前后表面积是否有改变，选出表面积保持不变的一处即可；
（2）在这三个缺口处都补入一个小正方体，对比补入前后表面积的变化情况，数出相差的面，计算出相差面的面积即可。
【详细解答】据分析知：（1）补在B处，能使这个几何体的表面积保持不变；
（2）在这三个缺口处都补入一个小正方体后，少了6个正方形的面，即表面积减少了；减少的面积：2×2＝4（平方厘米），6×4＝24（平方厘米）。
答：这个几何体的表面积会减少，减少24cm2。
【考点点评】具有一定的空间想象能力，并能理解好正方体的表面积，这是解决此题的关键。
9．一个长42厘米，宽30厘米，高18厘米的长方体的木块，在一面挖一个深是10厘米的正方体方槽．那么这个长方体的外表面积是多少平方厘米？
【解题思路】根据题意可知，在长方体木块一面上挖去一个深是10厘米的正方体方槽，则这个长方体的表面积比原来的表面积增加了所挖小正方体的4个侧面的面积，根据长方体的表面积公式解答即可．
【详细解答】解：
（平方厘米）
答：这个长方体的外表面积是5512平方厘米．
【考点点评】此题主要考查长方体表面积公式的灵活运用，关键是明确：在长方体木块一面上挖去一个深是10厘米的正方体方槽，则这个长方体的表面积比原来的表面积增加了所挖小正方体的4个侧面的面积．
10．科技馆大门前有8级台阶，每节台阶长5米，宽0.3米，高0.2米．
（1）8级台阶共占地多少平方米？
（2）给这些台阶铺上地砖，一共需要多少平方米地砖？
【解题思路】（1）求出一阶台阶的占地面积，再乘8即可，一阶台阶的长是5米，宽是0.3米，根据长方形的面积公式可求出它的面积；
（2）根据题意可知：每级台阶的形状是长方体，长5米，宽0.3米，高0.2米；铺地砖不仅要铺每节台阶的上面，而且还要铺每节台阶的前面．因此求出长方体上面和前面的面积和就是铺一节台阶需要的地砖，再乘8即可．
【详细解答】解：（1）占地面积：
（平方米）；
答：8级台阶共占地12平方米．
（2）需要地砖的面积：
（平方米）；
答：给这些台阶铺上地砖，一共需要20平方米地砖．
【考点点评】解答有关长方体计算的实际问题，一定要搞清所求的是什么，再进一步选择合理的计算方法进行计算解答问题．
11．如图是用三个正方体黏合而成的模型，它们的棱长分别是2分米，4分米和8分米．要把这个模型表面喷漆，喷漆的面积是多少？
【解题思路】三个正方体黏合后，从上面看只有一个的正方形，计算喷漆面积时相当于大正方体喷了6个面，而其余两个小正方体分别只喷了4个侧面．
【详细解答】解：
（分米
答：喷漆的面积是464平方分米．
【考点点评】弄清楚需要喷漆的面分别是三个正方体的哪些面组成，问题即可得解．
12．如图，在棱长为3的正方体中由上到下，由左到右，由前到后，有三个底面积是1的正方形高为3的长方体的洞，求所得形体的表面积是多少？
【解题思路】先计算没打洞之前正方体表面积，再计算打洞后表面积减少的和增加的（洞的表面积）面积各是多少，原面积减去减少的加上增加的，就是所得形体的表面积．
这三个洞在正方体中间有交叉连接，在正方体的中心的表面积为0，洞的表面积为6个棱长为1的正方体的4个面的面积．
【详细解答】解：没打洞之前正方体表面积共：，
打洞后，表面积减少：，
增加的面积：（洞的表面积），
所得形体的表面积是：．
答：所得形体的表面积是72．
【考点点评】此题关键是知道洞的表面积为6个棱长为1的正方体的4个面的面积．
13．一个无盖长方体纸箱的两个面如图。（每个小方格的边长代表1厘米）
（1）请你画出长方体纸箱其他三个面。
（2）计算长方体纸箱的表面积。
【解题思路】（1）根据长方体的特征，答案不唯一，可以用已知的长6厘米，宽3厘米的面作底面，用长4厘米，宽3里面的面作侧面，拼成的长方体的长是6厘米，宽是3厘米，高是4厘米，据此画出其他面。
（2）根据无盖长方体的表面积公式：，把数据代入公式解答。
【详细解答】解：（1）答案不唯一。作图如下：
（2）
（平方厘米）
答：这个纸箱的表面积是90平方厘米。
【考点点评】此题考查的目的是理解掌握长方体的特征，长方体的表面积公式的灵活运用。
14．王大爷的房间长8米、宽3.5米、高2.8米，现要给四面墙的底下部分刷上1.2米高的浅绿色油漆（开门处1平方米不刷），每平方米需要油漆0.6千克，共需要多少千克油漆？
【解题思路】根据题意可知，要给四面墙的底下部分刷上1.2米高的浅绿色油漆，也就是求长是8米，宽是3.5米，高是1.2米长方体的四个侧面的面积，根据长方形表面积公式，求出四个侧面的面积有多少平方米，再减去开门处不涂的1平方米，即可求出油漆面积。
【详细解答】解：
（千克）
答：共需要15.96千克油漆。
【考点点评】解答有关长方体计算的实际问题，一定要搞清所求的是什么，再进一步选择合理的计算方法进行计算解答问题。
15．一种长80厘米、宽20厘米、高130厘米的长方体广告灯箱，框架由铝合金条制成，各个面由灯箱布围成．制作一个这样的广告灯箱，至少需要铝合金条多少分米？需要灯箱布多少平方分米？
【解题思路】根据题意可知，求至少需要铝合金条多少分米，是求长方体的棱长总和，根据棱长总和（长宽高）解答；需要灯箱布多少平方分米是求它的表面积；表面积公式是，把数据代入公式解答即可．
【详细解答】解：80厘米分米、20厘米分米、130厘米分米，
，
，
（分米）；
，
，
，
（平方分米）；
答：至少需要铝合金条92分米，需要灯箱布292平方分米．
【考点点评】此题主要考查长方体的特征以及棱长总和、表面积的计算，直接根据棱长总和公式、表面积公式解答．
16．学校要粉刷一间长8米，宽6.5米，高3米教室的墙和顶，扣除门窗和黑板面积16平方米后，需要粉刷的面积是多少？如果用一桶油漆可以粉刷30平方米，粉刷这间教室需要买油漆多少桶？
【解题思路】要求粉刷的面积，也就是求长方体五个面的面积（缺少下面）减去门窗面积，再把求出的面积除以一桶油漆可以粉刷的面积，由此列式解答即可．
【详细解答】解：
（平方米）
（桶
答：需要粉刷的面积是123平方米，粉刷这间教室需要买油漆5桶．
【考点点评】此题属于长方体表面积的实际应用，主要弄清求粉刷的面积，即求长方体五个面的面积（缺少下面）减去门窗面积．
17．从一个长为、宽为、高为的长方体木块上挖去一个长为、宽和高均为的小长方体，剩下部分的表面积是多少？
【解题思路】从面上挖、从棱上挖和从中间挖三种情况剩下部分的表面积不同。
①从面上挖时，增加了2个长为、宽为的长方形面，减少了2个边长为的正方形面；
②从中间挖时，增加了4个长为、宽为的长方形面，减少了2个边长为的正方形面；
③从棱上挖时，表面积减少了2个边长是2厘米的正方形的面；根据长方体的表面积公式解答。
【详细解答】解：如图①，从面上挖：
如图②，从中间挖：
如图③，从棱上挖：
答：剩下部分的表面积可能是312平方厘米、352平方厘米、272平方厘米。
【考点点评】此题考查的目的是理解掌握组合图形表面积的方法及应用，关键是明确：从不同的位置挖，剩下的表面积不同。
18．一个纸盒，正好能放进两个完全一样的长方体（如图，单位：分米），这个纸盒的表面积是多少平方分米？请画图说明你的结论。
【解题思路】根据题意可知，一个纸盒正好能装进两个完全一样的小长方体，每个小长方体的长是5分米，宽是3分米，高是4分米，有三种情况，长乘高的面重合，长乘宽的面重合，宽乘高的重合，根据长方体的表面积公式：，把数据代入公式解答。
【详细解答】解：如图：
（1）（厘米）
（平方分米）
（2）（分米）
（平方分米）
（3）（分米）
（平方分米）
答：这个盒子的表面积是164平方分米或158平方分米或148平方分米。
【考点点评】此题主要考查长方体表面积公式的灵活运用，关键是熟记公式，注意：分三种情况解答。
19．一本涂色书《我爱涂色》的长是，宽是，高是。
（1）把4本书包装成一包，分别算出下面三种包装方法所需包装纸的大小。（接口处不计）
草图 长 宽 高 表面积
方法一
方法二
方法三
（2）上述三种方法中，最节省包装纸的方法需要多少平方厘米的包装纸？
（3）不用列式计算，你能很快地知道用哪一种包装方法最节省包装纸吗？你是怎么想的？
【解题思路】（1）通过观察图形可知，方法一，拼成的长方体的长是厘米，宽是厘米，高是0.4厘米；
方法二，拼成的长方体的长是厘米，宽是12厘米，高是厘米；
方法三，拼成长方体的长是16厘米，宽是12厘米，高的厘米；
（2）根据长方体的表面积公式：，把数据代入公式解答。
（3）不用列式计算，我能很快地知道用第三种包装方法最节省包装纸，因为最大面重合摞起来进行包装最节省包装纸。
【详细解答】解：（1）把4本书包装成一包，分别算出下面三种包装方法所需包装纸的大小。（接口处不计）
草图 长 宽 高 表面积
方法一 32 24 0.4 1580.8
方法二 32 12 0.8 838.4
方法三 16 12 1.6 473.6
（2）方法一：
（平方厘米）
方法二：
（平方厘米）
方法三：
（平方厘米）
答：最节省包装纸的方法需要473.6平方厘米的包装纸。
（3）用列式计算，我能很快地知道用第三种包装方法最节省包装纸，因为最大面重合摞起来进行包装最节省包装纸。
【考点点评】此题考查的目的是理解掌握长方体的拼组方法及应用，长方体的表面积公式及应用，关键是熟记公式。
20．太阳是一个巨大的能源，它以光辐射的形式每秒钟向太空发射约能量，有22亿分之一投射到地球上，太阳光被大气层反射、吸收之后，还有透射到地面．尽管如此，地球上一年中接受到的太阳能仍然高达．太阳能电池板是通过吸收太阳光，将太阳辐射通过光电效应或者光化学效应直接或间接转换成电能的装置．图中大太阳能板是由6块同样的小太阳能板拼成，每块小太阳能板长，宽，高，在它的四周和上面涂上一层吸热材料．
（1）大太阳能板的占地面积是多少？
（2）涂吸热材料的面积是多少平方分米？
【解题思路】（1）根据长方形的面积公式：，把数据代入公式解答．
（2）根据长方体的表面积公式：，把数据代入公式解答．
【详细解答】解：（1）
（平方分米）；
答：答太阳板的占地面积是216平方分米．
（2）
（平方分米）；
答：涂吸热材料的面积是381平方分米．
【考点点评】解答有关长方体计算的实际问题，一定要搞清所求的是什么，再进一步选择合理的计算方法进行计算解答问题．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)第二单元易错题型专项07 长方体和正方体的表面积生活实践奥数思维20题
一．解答题
1．一个棱长是3米的正方体木块，如果把它锯成相等的8个小正方体，表面积增加多少？
2．如图，有一个长方体物体，底面是正方形，中间是空心的正方形。如果把这个物体浸没在水中，它与水接触的面积是多少平方厘米？
3．如下图，一个正方体木块的表面积是40平方厘米，如果把它截成相等的8个小正方体木块，每个小正方体木块的表面积是多少平方厘米？
4．一个长方体，如果高增加4厘米，那么就变成一个正方体，这时表面积比原来增加128平方厘米，原来长方体的表面积是多少平方厘米？
5．有一个长方体，先后沿不同方向切了三刀（如图），切完第一刀后得到的2个小长方体的表面积之和是472平方厘米，切完第二刀后得到的4个小长方体表面积之和是632平方厘米，切完第三刀后得到的8个小长方体的表面积之和是752平方厘米。那么，原来长方体六个面中面积最小的是多少平方厘米？
6．两个完全相同的长方体，长是12厘米，宽是7厘米，高是4厘米，现在把它们拼成一个表面积最大的长方体后，则表面积比原来减少了多少平方厘米？。
7．把四个大小、形状相同的盒子包装在一起，如果每个盒子的长、宽、高分别是8cm、6cm、5cm，那么最少需要多大的包装纸？
8．下图是用24个棱长2cm的小正方体粘合而成的几何体。
（1）在A、B、C三个缺口中选一处补入一个小正方体，补在（ ） 处，能使这个几何体的表面积保持不变。
（2）在这三个缺口处都补入一个小正方体，这个几何体的表面积会增加还是会减少？增加（或减少）多少cm2？
9．一个长42厘米，宽30厘米，高18厘米的长方体的木块，在一面挖一个深是10厘米的正方体方槽．那么这个长方体的外表面积是多少平方厘米？
10．科技馆大门前有8级台阶，每节台阶长5米，宽0.3米，高0.2米．
（1）8级台阶共占地多少平方米？
（2）给这些台阶铺上地砖，一共需要多少平方米地砖？
11．如图是用三个正方体黏合而成的模型，它们的棱长分别是2分米，4分米和8分米．要把这个模型表面喷漆，喷漆的面积是多少？
12．如图，在棱长为3的正方体中由上到下，由左到右，由前到后，有三个底面积是1的正方形高为3的长方体的洞，求所得形体的表面积是多少？
13．一个无盖长方体纸箱的两个面如图。（每个小方格的边长代表1厘米）
（1）请你画出长方体纸箱其他三个面。
（2）计算长方体纸箱的表面积。
14．王大爷的房间长8米、宽3.5米、高2.8米，现要给四面墙的底下部分刷上1.2米高的浅绿色油漆（开门处1平方米不刷），每平方米需要油漆0.6千克，共需要多少千克油漆？
15．一种长80厘米、宽20厘米、高130厘米的长方体广告灯箱，框架由铝合金条制成，各个面由灯箱布围成．制作一个这样的广告灯箱，至少需要铝合金条多少分米？需要灯箱布多少平方分米？
16．学校要粉刷一间长8米，宽6.5米，高3米教室的墙和顶，扣除门窗和黑板面积16平方米后，需要粉刷的面积是多少？如果用一桶油漆可以粉刷30平方米，粉刷这间教室需要买油漆多少桶？
17．从一个长为、宽为、高为的长方体木块上挖去一个长为、宽和高均为的小长方体，剩下部分的表面积是多少？
18．一个纸盒，正好能放进两个完全一样的长方体（如图，单位：分米），这个纸盒的表面积是多少平方分米？请画图说明你的结论。
19．一本涂色书《我爱涂色》的长是，宽是，高是。
（1）把4本书包装成一包，分别算出下面三种包装方法所需包装纸的大小。（接口处不计）
草图 长 宽 高 表面积
方法一
方法二
方法三
（2）上述三种方法中，最节省包装纸的方法需要多少平方厘米的包装纸？
（3）不用列式计算，你能很快地知道用哪一种包装方法最节省包装纸吗？你是怎么想的？
20．太阳是一个巨大的能源，它以光辐射的形式每秒钟向太空发射约能量，有22亿分之一投射到地球上，太阳光被大气层反射、吸收之后，还有透射到地面．尽管如此，地球上一年中接受到的太阳能仍然高达．太阳能电池板是通过吸收太阳光，将太阳辐射通过光电效应或者光化学效应直接或间接转换成电能的装置．图中大太阳能板是由6块同样的小太阳能板拼成，每块小太阳能板长，宽，高，在它的四周和上面涂上一层吸热材料．
（1）大太阳能板的占地面积是多少？
（2）涂吸热材料的面积是多少平方分米？
（3）要把大太阳能板装入长为，宽为，高为的长方体包装箱中，最多能装几个？
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