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第1节　集　合
[课程标准要求]
1.了解集合的含义,体会元素与集合的属于关系,能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.
2.理解集合间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集.在具体情境中,了解全集与空集的含义.
3.理解两个集合的并集、交集与补集的含义,会求两个简单集合的并集、交集与补集.能使用Venn图表示集合间的基本关系及集合的基本运算.
1.元素与集合
(1)集合中元素的三个特性:确定性、互异性、无序性.
(2)元素与集合的关系是属于或不属于,用符号∈或 表示.
(3)集合的表示方法:列举法、描述法、Venn图法.
(4)常见数集的记法.
集合 自然 数集 正整数集 整数集 有理 数集 实数集
符号 N N*(或N+) Z Q R
2.集合间的基本关系
(1)子集:一般地,对于两个集合A,B,如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,就称集合 A为集合B的子集.记作A B(或B A).
(2)真子集:如果集合A B,但存在元素x∈B,且x A,就称集合A是集合B的真子集,记作
A B(或B A).
(3)相等:若A B,且B A,则A=B.
(4)空集的性质:空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.
3.集合的基本运算
项 目 符号 表示 图形表示 符号语言
并集 A∪B {x|x∈A,或x∈B}
交集 A∩B {x|x∈A,且x∈B}
补集 若全集为U,则集合A的补集为 UA {x|x∈U,且x A}
4.集合的运算性质
交集 A∩B=B∩A,A∩B A,A∩B B,A∩A=A,A∩ = ,A∩B=A A B
并集 A∪B=B∪A,A∪B A,A∪B B,A∪A=A,A∪ =A,A∪B=B A B
补集 U( UA)=A, U =U, UU= ,A∩( UA)= ,A∪( UA)=U
1.对于有限集合A,其元素个数为n,则集合A的子集个数为2n,真子集个数为2n－1,非空真子集个数为2n－2.
2.A B,A∩B=A,A∪B=B, UB UA以及A∩( UB)= 两两等价.
3. U(A∩B)=( UA)∪( UB), U(A∪B)=( UA)∩( UB).
1.(2025·八省联考)已知集合A={－1,0,1},B={0,1,4},则A∩B等于(　　)
[A] {0} [B] {1}
[C] {0,1} [D] {－1,0,1,4}
2.(人教A版必修第一册P35复习参考题1 T8改编)已知集合M={(x,y)|x+y=2},N={(x,y)|x－y=2},则集合M∩N等于(　　)
[A] {0,2} [B] (2,0)
[C] {(0,2)} [D] {(2,0)}
3.(人教A版必修第一册P9习题1.2 T5(1)改编)已知集合A={0,1,a2},B={1,0,2a+3},若A=B,则a等于(　　)
[A] －1或3　　[B] －1　　[C] 3　　[D] －3
4.(人教A版必修第一册P14习题1.3 T1改编)集合A={x|2≤x<4},B={x|3x－7≤8－2x},则A∪( RB)=　　　　.
5.(人教A版必修第一册P9习题1.2 T5(2)改编)已知集合A={x|0考点一　集合的概念与表示
1.(2025·广西南宁模拟)已知A={x|x2－ax+1≤0},若2∈A,且3 A,则a的取值范围是(　　)
[A] [,) [B] (,]
[C] [,+∞) [D] (－∞,)
2.(2025·广东深圳模拟)设集合A={2,a2－a+2,1－a},若4∈A,则a的值为(　　)
[A] －1或2 [B] －3
[C] －1或－3或2 [D] －3或2
3.(2025·四川资阳模拟)下列集合中有无数个元素的是(　　)
[A] {x∈N|∈N} [B] {x∈Z|∈N}
[C] {x∈N|∈Z} [D] {x∈Q|∈N}
4.(2025·河南洛阳模拟)定义集合运算:A B={z|z=xy(x+y),x∈A,y∈B},若集合A={0,2},
B={－1,1},则集合A B中所有元素之和为　　　　.
(1)研究集合问题时,首先要明确构成集合的元素的特征,然后再看集合的构成元素满足的限制条件,从而准确把握集合的含义.
(2)利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时,要检验所求参数是否满足集合中的元素的互异性.
考点二　集合间的基本关系
1.(2025·江苏南通模拟)设M={x|x=,k∈Z},N={x|x=k+,k∈Z},则(　　)
[A] M N [B] N M
[C] M=N [D] M∩N=
2.(多选题)已知集合A={x|－1≤x≤7},B={x|a+2≤x≤2a－1},若使B A成立的实数a的取值集合为M,则M的一个真子集可以是(　　)
[A] (－∞,4] [B] (－∞,3]
[C] (3,4] [D] [4,5)
3.(多选题)(2025·河南驻马店模拟)若表示集合M和N关系的Venn图如图所示,则M,N可能是(　　)
[A] M={0,2,4,6},N={4}
[B] M={x|x2<1},N={x|x>－1}
[C] M={x|y=lg x},N={y|y=ex+5}
[D] M={(x,y)|x2=y2},N={(x,y)|y=x}
4.(2025·安徽蚌埠模拟)已知集合A={1,3,2m－1},B={3,m2},若B A,则实数m的值构成的集合中子集个数是　　　　.
(1)对于用描述法表示的集合,判断集合之间的关系,要从所含元素的特征来分析;若集合的特征性质可以统一形式,则统一形式后判断更方便.
(2)已知B A,求解集合中的参数问题,若集合A,B是连续的数集,不但要注意合理利用数轴、Venn图帮助分析,而且还要分B= 和B≠ 两种情况讨论.若集合A,B是不连续的数集,要检验所求参数的值是否满足集合中元素的互异性.
(3)求解元素个数确定的集合的子集、真子集个数可以借助子集、真子集定义列出,也可以直接利用子集、真子集个数公式写出.
考点三　集合之间的运算
角度1　给定具体集合的运算
[例1](2024·新课标Ⅰ卷)已知集合A={x|－5[A] {－1,0} [B] {2,3}
[C] {－3,－1,0} [D] {－1,0,2}
(1)进行集合运算时,首先看集合能否化简,能化简的先化简,再研究其关系并进行运算.
(2)涉及与集合的补集有关的集合运算问题,首先要求出补集后再求解.
角度2　含参数的集合运算
[例2](1)(2025·山西临汾模拟)已知集合A={x|x>a},B={x|1[A] {a|a≤1} [B] {a|a<1}
[C] {a|a≥2} [D] {a|a>2}
(2)已知集合A={－2,0,2,4},B={x||x－3|≤m},若A∩B=A,则m的最小值为　　　　.
求解含参数的集合运算问题的主要方法
(1)涉及离散的集合运算求参数,要注意所求参数是否满足集合中元素的性质.
(2)与集合的运算性质有关的集合运算,要注意将运算性质转化为集合之间的关系.
(3)与连续的数集有关的集合运算,要注意借助数轴转化为与参数有关的不等式(组),此时要注意集合端点的取值.
角度3　Venn图的应用
[例3](1)(多选题)已知集合A,B,C是全集为U的非空真子集,且满足A∩B=A,A∪C=A,则下列选项正确的是(　　)
[A] C B [B] A∩( UB)=
[C] C ( UA) [D] ( UA)∪B=U
(2)(多选题)(2025·河北石家庄模拟)某校五一田径运动会上,共有12名同学参加100米、400米、1 500米三个项目,其中有8人参加100米比赛,有7人参加400米比赛,有5人
参加1 500米比赛,100米和400米都参加的有4人,100米和1 500米都参加的有3人,
400米和1 500米都参加的有3人,则下列说法正确的是(　　)
[A] 三项比赛都参加的有2人
[B] 只参加100米比赛的有3人
[C] 只参加400米比赛的有3人
[D] 只参加1 500米比赛的有1人
[溯源探本]本例题(2)源于人教A版必修第一册P15“阅读与思考”.
涉及抽象集合的运算问题,可利用集合的包含关系或者画出Venn图,结合Venn图求解.
[针对训练]
1.(角度1)(2025·河南郑州模拟)已知全集U=R,集合A={x|y=ln(x+1)},B={x|x2－x－2<0},则{x|x<2}等于(　　)
[A] ( UA)∪B [B] ( UB)∩A
[C] U(A∪B) [D] U(A∩B)
2.(角度2)(2025·广东佛山模拟)已知集合A={x|x－a≥0},B={x|x2－x－6>0},且A∩( RB)=
[－1,3],则a的值为(　　)
[A] －2 [B] －1 [C] 0 [D] 1
3.(角度3)已知全集U={x∈N|0[A] {1,2,4} [B] {1,2,7}
[C] {1,2,3} [D] {1,2,4,7}
(分值:73分)
选题明细表
知识点、方法 题号
集合的概念与表示 2,3,6,12
集合间的关系 4,7
集合的运算 1,8,9
集合的综合应用 5,10,11,13,14
单选每题5分,多选每题6分,填空每题5分.
1.(2024·全国甲卷)已知集合A={1,2,3,4,5,9},B={x|∈A},则 A(A∩B)等于(　　)
[A] {1,4,9} [B] {3,4,9}
[C] {1,2,3} [D] {2,3,5}
2.(2025·四川乐山模拟)已知集合A={(x,y)|x2+y2≤10,x∈N*,y∈N*},则集合A的元素个数为(　　)
[A] 9 [B] 8 [C] 6 [D] 5
3.(2025·云南大理模拟)已知{x|ax2－4x+1=0}={b},其中a,b∈R,则b等于(　　)
[A] 0 [B] 或
[C] [D]
4.(2025·辽宁模拟)若全集U=R,A={x|x<2},B={y|y=ex,x∈R},则下列关系正确的是(　　)
[A] A B [B] B A
[C] B UA [D] UA B
5.(2025·河北邢台模拟)下列集合关系不成立的是(　　)
[A] A∪A=A
[B] A∩ =
[C] ( UA)∩( UB)= U(A∪B)
[D] 0∈
6.(多选题)(2025·广东佛山模拟)已知集合A={1,2},B={0,1,2,3,4},集合C满足A C B,则(　　)
[A] 1∈C,2∈C [B] 集合C可以为{1,2}
[C] 集合C的个数为7 [D] 集合C的个数为8
7.(5分)设集合A={x,y,x+y},B={0,x2,xy},若A B且B A,则实数对(x,y)的取值集合是　　.
8.(5分)(2025·河北沧州模拟)已知集合A={x|x2<1},B={x|x>a}(a∈R),若A∩B≠ ,则a的取值范围为　　　　　　.
9.(2023·全国乙卷)设集合U=R,集合M={x|x<1},N={x|－1[A] U(M∪N) [B] N∪( UM)
[C] U(M∩N) [D] M∪( UN)
10.(多选题)给定集合A,B,定义A－B={x|x∈A,且x B},则A△B=(A－B)∪(B－A)叫做集合A与集合B的对称差,若集合A={y|y=x2－2x－1,0[A] A=[－2,2]
[B] A△B=[－2,1]∪(2,5)
[C] A△B=B△A
[D] A△B=(A∪B)－(A∩B)
11.(多选题)(2025·江苏南通模拟)设U为全集,集合A,B,C满足条件A∪B=A∪C,那么下列各式中不一定成立的是(　　)
[A] B A
[B] C A
[C] A∩( UB)=A∩( UC)
[D] ( UA)∩B=( UA)∩C
12.(5分)已知集合A={x|a≤x≤2－a}(a∈R)中仅有3个整数,则a的取值范围为　　　　.
13.(5分)(2025·安徽安庆模拟)已知集合A={λ,2,－1},B={y|y=x2,x∈A},若A∪B的所有元素之和为12,则实数λ=　　　　.
14.(5分)(2025·重庆模拟)设非空集合A {1,2,…,9}满足 a∈A,10－a∈A,则这样的A的个数为　 .
第1节　集　合（解析版）
[课程标准要求]
1.了解集合的含义,体会元素与集合的属于关系,能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.
2.理解集合间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集.在具体情境中,了解全集与空集的含义.
3.理解两个集合的并集、交集与补集的含义,会求两个简单集合的并集、交集与补集.能使用Venn图表示集合间的基本关系及集合的基本运算.
1.元素与集合
(1)集合中元素的三个特性:确定性、互异性、无序性.
(2)元素与集合的关系是属于或不属于,用符号∈或 表示.
(3)集合的表示方法:列举法、描述法、Venn图法.
(4)常见数集的记法.
集合 自然 数集 正整数集 整数集 有理 数集 实数集
符号 N N*(或N+) Z Q R
2.集合间的基本关系
(1)子集:一般地,对于两个集合A,B,如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,就称集合 A为集合B的子集.记作A B(或B A).
(2)真子集:如果集合A B,但存在元素x∈B,且x A,就称集合A是集合B的真子集,记作
A B(或B A).
(3)相等:若A B,且B A,则A=B.
(4)空集的性质:空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.
3.集合的基本运算
项 目 符号 表示 图形表示 符号语言
并集 A∪B {x|x∈A,或x∈B}
交集 A∩B {x|x∈A,且x∈B}
补集 若全集为U,则集合A的补集为 UA {x|x∈U,且x A}
4.集合的运算性质
交集 A∩B=B∩A,A∩B A,A∩B B,A∩A=A,A∩ = ,A∩B=A A B
并集 A∪B=B∪A,A∪B A,A∪B B,A∪A=A,A∪ =A,A∪B=B A B
补集 U( UA)=A, U =U, UU= ,A∩( UA)= ,A∪( UA)=U
1.对于有限集合A,其元素个数为n,则集合A的子集个数为2n,真子集个数为2n－1,非空真子集个数为2n－2.
2.A B,A∩B=A,A∪B=B, UB UA以及A∩( UB)= 两两等价.
3. U(A∩B)=( UA)∪( UB), U(A∪B)=( UA)∩( UB).
1.(2025·八省联考)已知集合A={－1,0,1},B={0,1,4},则A∩B等于(　　)
[A] {0} [B] {1}
[C] {0,1} [D] {－1,0,1,4}
【答案】 C
【解析】 由题意得A∩B={0,1}.故选C.
2.(人教A版必修第一册P35复习参考题1 T8改编)已知集合M={(x,y)|x+y=2},N={(x,y)|x－y=2},则集合M∩N等于(　　)
[A] {0,2} [B] (2,0)
[C] {(0,2)} [D] {(2,0)}
【答案】 D
【解析】 解方程组得故M∩N={(2,0)}.故选D.
3.(人教A版必修第一册P9习题1.2 T5(1)改编)已知集合A={0,1,a2},B={1,0,2a+3},若A=B,则a等于(　　)
[A] －1或3　　[B] －1　　[C] 3　　[D] －3
【答案】 C
【解析】 因为A=B,所以a2=2a+3,解得a=－1或3.当a=－1时,a2=2a+3=1,不满足集合中元素的互异性,舍去;当a=3时,a2=2a+3=9,此时A=B={0,1,9},满足题意.综上,a=3.
故选C.
4.(人教A版必修第一册P14习题1.3 T1改编)集合A={x|2≤x<4},B={x|3x－7≤8－2x},则A∪( RB)=　　　　.
【答案】 {x|x≥2}
【解析】 不等式3x－7≤8－2x的解集为{x|x≤3},因此 RB={x|x>3},
故A∪( RB)={x|2≤x<4}∪{x|x>3}={x|x≥2}.
5.(人教A版必修第一册P9习题1.2 T5(2)改编)已知集合A={x|0【答案】 {a|a≥2}
【解析】 由A∪B=A可知B A,由图可知a≥2.
考点一　集合的概念与表示
1.(2025·广西南宁模拟)已知A={x|x2－ax+1≤0},若2∈A,且3 A,则a的取值范围是(　　)
[A] [,) [B] (,]
[C] [,+∞) [D] (－∞,)
【答案】 A
【解析】 由题意得22－2a+1≤0,且32－3a+1>0,解得≤a<.故选A.
2.(2025·广东深圳模拟)设集合A={2,a2－a+2,1－a},若4∈A,则a的值为(　　)
[A] －1或2 [B] －3
[C] －1或－3或2 [D] －3或2
【答案】 D
【解析】 因为集合A={2,a2－a+2,1－a},4∈A,所以a2－a+2=4或1－a=4.当a2－a+2=4时,a=－1或a=2,若a=－1,则1－a=2,不满足集合中元素的互异性,故a≠－1;若a=2,则集合A={2,4,－1},满足题意.当1－a=4时,a=－3,则a2－a+2=14,集合A={2,14,4},满足题意,综上所述,a=2或－3.
故选D.
3.(2025·四川资阳模拟)下列集合中有无数个元素的是(　　)
[A] {x∈N|∈N} [B] {x∈Z|∈N}
[C] {x∈N|∈Z} [D] {x∈Q|∈N}
【答案】 D
【解析】 {x∈N|∈N}={1,2,4},A错误;{x∈Z|∈N}={1,2,4},B错误;{x∈N|∈Z}={1,2,4},
C错误;{x∈Q|∈N}中,当x=1,,,,,,…时,∈N,集合中有无数个元素,D正确.故选D.
4.(2025·河南洛阳模拟)定义集合运算:A B={z|z=xy(x+y),x∈A,y∈B},若集合A={0,2},
B={－1,1},则集合A B中所有元素之和为　　　　.
【答案】 4
【解析】 由A={0,2},B={－1,1}可知当x=0,y=±1时,z=0;当x=2,y=－1时,z=－2;当x=2,y=1时,z=6.所以A B={0,－2,6},所以集合A B中所有元素之和为0+(－2)+6=4.
(1)研究集合问题时,首先要明确构成集合的元素的特征,然后再看集合的构成元素满足的限制条件,从而准确把握集合的含义.
(2)利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时,要检验所求参数是否满足集合中的元素的互异性.
考点二　集合间的基本关系
1.(2025·江苏南通模拟)设M={x|x=,k∈Z},N={x|x=k+,k∈Z},则(　　)
[A] M N [B] N M
[C] M=N [D] M∩N=
【答案】 B
【解析】 因为x=k+=(2k+1),k∈Z,所以集合N是由所有奇数的一半组成的,而集合M是由所有整数的一半组成的,故N M.故选B.
2.(多选题)已知集合A={x|－1≤x≤7},B={x|a+2≤x≤2a－1},若使B A成立的实数a的取值集合为M,则M的一个真子集可以是(　　)
[A] (－∞,4] [B] (－∞,3]
[C] (3,4] [D] [4,5)
【答案】 BC
【解析】 由题意,当B= 时,a+2>2a－1,即a<3;当B≠ 时,－1≤a+2≤2a－1≤7,解得3≤a≤4,故M=(－∞,4],则M的一个真子集可以是(－∞,3]或(3,4].故选BC.
3.(多选题)(2025·河南驻马店模拟)若表示集合M和N关系的Venn图如图所示,则M,N可能是(　　)
[A] M={0,2,4,6},N={4}
[B] M={x|x2<1},N={x|x>－1}
[C] M={x|y=lg x},N={y|y=ex+5}
[D] M={(x,y)|x2=y2},N={(x,y)|y=x}
【答案】 ACD
【解析】 由题中Venn图可得N M,A中M={0,2,4,6},N={4},N M,故A正确;B中M={x|x2<1}={x|－1－1},M N,故B错误;C中M={x|y=lg x}={x|x>0},
N={y|y=ex+5>5},N M,故C正确;D中M={(x,y)|x2=y2}={(x,y)|y=x或y=－x},
N={(x,y)|y=x},N M,故D正确.故选ACD.
4.(2025·安徽蚌埠模拟)已知集合A={1,3,2m－1},B={3,m2},若B A,则实数m的值构成的集合中子集个数是　　　　.
【答案】 2
【解析】 因为集合A={1,3,2m－1},B={3,m2},B A,所以m2=1或m2=2m－1,解得m=－1或m=1.当m=－1时,A={1,3,－3},B={3,1},成立;当m=1时,2m－1=1,集合A不满足元素的互异性,不成立.综上,实数m的值为－1.所以实数m的值构成的集合中只有一个元素,即m={－1},其子集是 ,{－1},共2个.
(1)对于用描述法表示的集合,判断集合之间的关系,要从所含元素的特征来分析;若集合的特征性质可以统一形式,则统一形式后判断更方便.
(2)已知B A,求解集合中的参数问题,若集合A,B是连续的数集,不但要注意合理利用数轴、Venn图帮助分析,而且还要分B= 和B≠ 两种情况讨论.若集合A,B是不连续的数集,要检验所求参数的值是否满足集合中元素的互异性.
(3)求解元素个数确定的集合的子集、真子集个数可以借助子集、真子集定义列出,也可以直接利用子集、真子集个数公式写出.
考点三　集合之间的运算
角度1　给定具体集合的运算
[例1](2024·新课标Ⅰ卷)已知集合A={x|－5[A] {－1,0} [B] {2,3}
[C] {－3,－1,0} [D] {－1,0,2}
【答案】A
【解析】 因为A={x|－从而A∩B={－1,0}.
故选A.
(1)进行集合运算时,首先看集合能否化简,能化简的先化简,再研究其关系并进行运算.
(2)涉及与集合的补集有关的集合运算问题,首先要求出补集后再求解.
角度2　含参数的集合运算
[例2](1)(2025·山西临汾模拟)已知集合A={x|x>a},B={x|1[A] {a|a≤1} [B] {a|a<1}
[C] {a|a≥2} [D] {a|a>2}
(2)已知集合A={－2,0,2,4},B={x||x－3|≤m},若A∩B=A,则m的最小值为　　　　.
【答案】 (1)A　(2)5
【解析】 (1)因为B={x|12},又A∪( RB)=R,如图所示,所以a≤1.故选A.
(2)A∩B=A,则A B,
又B={x||x－3|≤m},
所以B={x|3－m≤x≤3+m},
所以所以m≥5,所以mmin=5.
求解含参数的集合运算问题的主要方法
(1)涉及离散的集合运算求参数,要注意所求参数是否满足集合中元素的性质.
(2)与集合的运算性质有关的集合运算,要注意将运算性质转化为集合之间的关系.
(3)与连续的数集有关的集合运算,要注意借助数轴转化为与参数有关的不等式(组),此时要注意集合端点的取值.
角度3　Venn图的应用
[例3](1)(多选题)已知集合A,B,C是全集为U的非空真子集,且满足A∩B=A,A∪C=A,则下列选项正确的是(　　)
[A] C B [B] A∩( UB)=
[C] C ( UA) [D] ( UA)∪B=U
(2)(多选题)(2025·河北石家庄模拟)某校五一田径运动会上,共有12名同学参加100米、400米、1 500米三个项目,其中有8人参加100米比赛,有7人参加400米比赛,有5人
参加1 500米比赛,100米和400米都参加的有4人,100米和1 500米都参加的有3人,
400米和1 500米都参加的有3人,则下列说法正确的是(　　)
[A] 三项比赛都参加的有2人
[B] 只参加100米比赛的有3人
[C] 只参加400米比赛的有3人
[D] 只参加1 500米比赛的有1人
[溯源探本]本例题(2)源于人教A版必修第一册P15“阅读与思考”.
【答案】(1)ABD　(2)ABD
【解析】 (1)因为A∩B=A,A∪C=A,所以A B,C A,
所以C A B,如图用Venn图表示,
由图可知C B,故A正确;A∩( UB)= ,故B正确;C∩( UA)= ,故C错误;
( UA)∪B=U,故D正确.故选ABD.
(2)设参加100米、400米、1 500米三个项目的集合分别为A,B,C,则card(A)=8,
card(B)=7,card(C)=5,
card(A∩B)=4,
card(A∩C)=3,
card(B∩C)=3,则由Venn图知card(A∩B∩C)=12－[(8+7+5)－(4+3+3)]=2,所以三项比赛都参加的有2人,只参加100米比赛的有3人,只参加400米比赛的有2人,只参加1 500米比赛的有1人.故选ABD.
涉及抽象集合的运算问题,可利用集合的包含关系或者画出Venn图,结合Venn图求解.
[针对训练]
1.(角度1)(2025·河南郑州模拟)已知全集U=R,集合A={x|y=ln(x+1)},B={x|x2－x－2<0},则{x|x<2}等于(　　)
[A] ( UA)∪B [B] ( UB)∩A
[C] U(A∪B) [D] U(A∩B)
【答案】 A
【解析】 因为A={x|y=ln(x+1)}={x|x>－1},B={x|x2－x－2<0}={x|－1{x|－1－1},因为全集U=R,所以 UA={x|x≤－1}, UB={x|x≤－1或x≥2},
所以( UA)∪B={x|x<2},A正确;( UB)∩A={x|x≥2},B错误; U(A∪B)={x|x≤－1},C错误;
U(A∩B)={x|x≤－1或x≥2},D错误.故选A.
2.(角度2)(2025·广东佛山模拟)已知集合A={x|x－a≥0},B={x|x2－x－6>0},且A∩( RB)=
[－1,3],则a的值为(　　)
[A] －2 [B] －1 [C] 0 [D] 1
【答案】 B
【解析】 B={x|x2－x－6>0},则 RB={x|x2－x－6≤0}=[－2,3],A={x|x－a≥0}=[a,+∞),
由A∩( RB)=[－1,3],得a=－1.故选B.
3.(角度3)已知全集U={x∈N|0[A] {1,2,4} [B] {1,2,7}
[C] {1,2,3} [D] {1,2,4,7}
【答案】 C
【解析】 U={1,2,3,4,5,6,7},根据题意得到如图所示的Venn图,
所以A={1,2,3}.故选C.
(分值:73分)
选题明细表
知识点、方法 题号
集合的概念与表示 2,3,6,12
集合间的关系 4,7
集合的运算 1,8,9
集合的综合应用 5,10,11,13,14
单选每题5分,多选每题6分,填空每题5分.
1.(2024·全国甲卷)已知集合A={1,2,3,4,5,9},B={x|∈A},则 A(A∩B)等于(　　)
[A] {1,4,9} [B] {3,4,9}
[C] {1,2,3} [D] {2,3,5}
【答案】 D
【解析】 因为A={1,2,3,4,5,9},B={x|∈A},所以B={1,4,9,16,25,81},则A∩B={1,4,9},
A(A∩B)={2,3,5}.故选D.
2.(2025·四川乐山模拟)已知集合A={(x,y)|x2+y2≤10,x∈N*,y∈N*},则集合A的元素个数为(　　)
[A] 9 [B] 8 [C] 6 [D] 5
【答案】 C
【解析】 因为集合A={(x,y)|x2+y2≤10,x∈N*,y∈N*}={(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1)},共6个元素.故选C.
3.(2025·云南大理模拟)已知{x|ax2－4x+1=0}={b},其中a,b∈R,则b等于(　　)
[A] 0 [B] 或
[C] [D]
【答案】 B
【解析】 由题意知,b为方程ax2－4x+1=0的根,当a=0时,b=;当a≠0时,二次方程有两个相同的根,则有此时b=.故选B.
4.(2025·辽宁模拟)若全集U=R,A={x|x<2},B={y|y=ex,x∈R},则下列关系正确的是(　　)
[A] A B [B] B A
[C] B UA [D] UA B
【答案】 D
【解析】 全集U=R,A={x|x<2},则 UA={x|x≥2},B={y|y=ex,x∈R}={y|y>0},所以 UA B.
故选D.
5.(2025·河北邢台模拟)下列集合关系不成立的是(　　)
[A] A∪A=A
[B] A∩ =
[C] ( UA)∩( UB)= U(A∪B)
[D] 0∈
【答案】 D
【解析】 因为A∪A=A∩A=A,故A正确;由空集的定义可知A∩ = ,故B正确;由图可知C正确;
因为空集中不包含任何元素,故D错误.故选D.
6.(多选题)(2025·广东佛山模拟)已知集合A={1,2},B={0,1,2,3,4},集合C满足A C B,则(　　)
[A] 1∈C,2∈C [B] 集合C可以为{1,2}
[C] 集合C的个数为7 [D] 集合C的个数为8
【答案】 AC
【解析】 A={1,2},B={0,1,2,3,4},又A C B,所以1∈C,2∈C,故A正确;当C={1,2}时,不满足A C,故B错误;集合C的个数等价于集合{0,3,4}的非空子集的个数,所以集合C的个数为23－1=7,故C正确,D错误.故选AC.
7.(5分)设集合A={x,y,x+y},B={0,x2,xy},若A B且B A,则实数对(x,y)的取值集合是　　.
【答案】{(1,－1),(－1,1)}
【解析】 0∈B,由集合中元素的互异性可知,集合B中的元素x2≠0且xy≠0,故x≠0且y≠0,由A B且B A,可知A=B,则集合A中只能是x+y=0,此时在x+y=0的条件下,有{x,y}={x2,xy},即或又x+y=0,解得或实数对(x,y)的取值集合是
{(1,－1),(－1,1)}.
8.(5分)(2025·河北沧州模拟)已知集合A={x|x2<1},B={x|x>a}(a∈R),若A∩B≠ ,则a的取值范围为　　　　　　.
【答案】 (－∞,1)
【解析】 由题意知,A={x|－1a}(a∈R)且A∩B≠ ,故a<1,即a的取值范围为(－∞,1).
9.(2023·全国乙卷)设集合U=R,集合M={x|x<1},N={x|－1[A] U(M∪N) [B] N∪( UM)
[C] U(M∩N) [D] M∪( UN)
【答案】 A
【解析】 由题意可得M∪N={x|x<2},则 U(M∪N)={x|x≥2},故A正确;
UM={x|x≥1},则N∪( UM)={x|x>－1},故B错误;
M∩N={x|－1 UN={x|x≤－1或x≥2},则M∪( UN)={x|x<1或x≥2},故D错误.故选A.
10.(多选题)给定集合A,B,定义A－B={x|x∈A,且x B},则A△B=(A－B)∪(B－A)叫做集合A与集合B的对称差,若集合A={y|y=x2－2x－1,0[A] A=[－2,2]
[B] A△B=[－2,1]∪(2,5)
[C] A△B=B△A
[D] A△B=(A∪B)－(A∩B)
【答案】 ACD
【解析】 因为A={y|y=x2－2x－1,0因为A=[－2,2],B=[1,5),所以A△B=(A－B)∪(B－A)=[－2,1)∪(2,5),故B错误;
A△B=(A－B)∪(B－A)=(B－A)∪(A－B)=B△A,故C正确;
因为(A∪B)－(A∩B)=[－2,5)－[1,2]=[－2,1)∪(2,5),又因为A△B=(A－B)∪(B－A)=[－2,1)∪(2,5),所以A△B=(A∪B)－(A∩B),故D正确.故选ACD.
11.(多选题)(2025·江苏南通模拟)设U为全集,集合A,B,C满足条件A∪B=A∪C,那么下列各式中不一定成立的是(　　)
[A] B A
[B] C A
[C] A∩( UB)=A∩( UC)
[D] ( UA)∩B=( UA)∩C
【答案】 ABC
【解析】 当U={1,2,3},A={1},B={2,3},C={1,2,3}时,满足A∪B=A∪C,
此时,B,C不是A的子集,所以A,B不一定成立;
UB={1}, UC= ,A∩( UB)={1},A∩( UC)= ,所以C不一定成立;
对于D,若 x∈( UA)∩B,则x A,但x∈B,因为A∪B=A∪C,
所以x∈C,于是x∈( UA)∩C,
所以( UA)∩B ( UA)∩C,
同理,若 x∈( UA)∩C,
则x∈( UA)∩B,( UA)∩C ( UA)∩B,
因此,( UA)∩B=( UA)∩C成立,所以D成立.故选ABC.
12.(5分)已知集合A={x|a≤x≤2－a}(a∈R)中仅有3个整数,则a的取值范围为　　　　.
【答案】 (－1,0]
【解析】 因为=1,所以在数轴上集合A的端点关于点1对称,从而A中的三个整数为0,1,2,所以－113.(5分)(2025·安徽安庆模拟)已知集合A={λ,2,－1},B={y|y=x2,x∈A},若A∪B的所有元素之和为12,则实数λ=　　　　.
【答案】 －3
【解析】 由题意可知,λ≠－1且λ≠2,
当x=λ时,y=λ2;当x=2时,y=4;当x=－1时,y=1;若λ=1,则B={1,4},此时A∪B的所有元素之和为6,不符合题意,舍去;若λ=－2,则B={1,4},此时A∪B的所有元素之和为4,不符合题意,舍去;若λ≠1且λ≠－2,则B={1,4,λ2},故λ2+λ+6=12,解得λ=－3或λ=2(舍去).综上所述,
λ=－3.
14.(5分)(2025·重庆模拟)设非空集合A {1,2,…,9}满足 a∈A,10－a∈A,则这样的A的个数为　 .
【答案】 31
【解析】 由题设可得{1,9},{2,8},{3,7},{4,6},{5},这5组中的每一组中的元素必定同时出现在集合A中,故这样的非空集合A的个数即为将这5组中的每一组看做一个元素构成的非空子集的个数,因此有25－1=31(个).
(
第
13
页
)(共58张PPT)
第1节　集　合
1.了解集合的含义,体会元素与集合的属于关系,能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.
2.理解集合间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集.在具体情境中,了解全集与空集的含义.
3.理解两个集合的并集、交集与补集的含义,会求两个简单集合的并集、
交集与补集.能使用Venn图表示集合间的基本关系及集合的基本运算.
[课程标准要求]
知识梳理
1.元素与集合
(1)集合中元素的三个特性: 、 、 .
(2)元素与集合的关系是 或 ,用符号 或 表示.
(3)集合的表示方法: 、 、Venn图法.
确定性
互异性
无序性
属于
不属于
∈

列举法
描述法
集合 自然 数集 正整数集 整数集 有理 数集 实数集
符号
知识梳理
(4)常见数集的记法.
N
N*(或N+)
Z
Q
R
2.集合间的基本关系
(1)子集:一般地,对于两个集合A,B,如果集合A中任意一个元素都是集合B中的 ,就称集合 A为集合B的子集.记作A B(或B A).
(2)真子集:如果集合A B,但 元素x∈B,且x A,就称集合A是集合B的
,记作A B(或B A).
(3)相等:若A B,且 ,则A=B.
(4)空集的性质:空集是任何集合的子集,是任何 集合的真子集.
知识梳理
元素
存在
真子集

B A
非空
项目 符号表示 图形表示 符号语言
并集 A∪B
交集 A∩B
补集 若全集为U,则集合A的补集为 UA
3.集合的基本运算
知识梳理
{x|x∈A,或x∈B}
{x|x∈A,且x∈B}
{x|x∈U,且x A}
交集 A∩B= ,A∩B A,A∩B B,A∩A=A,A∩ = ,A∩B= A B
并集 A∪B= ,A∪B A,A∪B B,A∪A= ,A∪ = ,A∪B= A B
补集 U( UA)= , U = , UU= ,A∩( UA)= ,A∪( UA)=
4.集合的运算性质
知识梳理
B∩A
A

B∪A
A
A
B
A
U
U
重要结论
1.对于有限集合A,其元素个数为n,则集合A的子集个数为2n,真子集个数为2n－1,非空真子集个数为2n－2.
2.A B,A∩B=A,A∪B=B, UB UA以及A∩( UB)= 两两等价.
3. U(A∩B)=( UA)∪( UB), U(A∪B)=( UA)∩( UB).
对点自测
1.(2025·八省联考)已知集合A={－1,0,1},B={0,1,4},则A∩B等于(　　)
[A] {0} [B] {1}
[C] {0,1} [D] {－1,0,1,4}
C
【解析】 由题意得A∩B={0,1}.故选C.
对点自测
2.(人教A版必修第一册P35复习参考题1 T8改编)已知集合M={(x,y)|x+y=2},
N={(x,y)|x－y=2},则集合M∩N等于(　　)
[A] {0,2} [B] (2,0)
[C] {(0,2)} [D] {(2,0)}
D
对点自测
3.(人教A版必修第一册P9习题1.2 T5(1)改编)已知集合A={0,1,a2},
B={1,0,2a+3},若A=B,则a等于(　　)
[A] －1或3　　[B] －1　　[C] 3　　[D] －3
C
【解析】 因为A=B,所以a2=2a+3,解得a=－1或3.当a=－1时,a2=2a+3=1,不满足集合中元素的互异性,舍去;当a=3时,a2=2a+3=9,此时A=B={0,1,9},满足
题意.综上,a=3.
故选C.
4.(人教A版必修第一册P14习题1.3 T1改编)集合A={x|2≤x<4},B={x|3x－7≤
8－2x},则A∪( RB)=　　 　　.
【解析】 不等式3x－7≤8－2x的解集为{x|x≤3},因此 RB={x|x>3},
故A∪( RB)={x|2≤x<4}∪{x|x>3}={x|x≥2}.
对点自测
{x|x≥2}
5.(人教A版必修第一册P9习题1.2 T5(2)改编)已知集合A={x|0B={x|1【解析】 由A∪B=A可知B A,由图可知a≥2.
对点自测
{a|a≥2}
1.(2025·广西南宁模拟)已知A={x|x2－ax+1≤0},若2∈A,且3 A,则a的取值范围是(　　)
考点一　集合的概念与表示
A
2.(2025·广东深圳模拟)设集合A={2,a2－a+2,1－a},若4∈A,则a的值为(　　)
[A] －1或2 [B] －3
[C] －1或－3或2 [D] －3或2
D
【解析】 因为集合A={2,a2－a+2,1－a},4∈A,所以a2－a+2=4或1－a=4.
当a2－a+2=4时,a=－1或a=2,若a=－1,则1－a=2,不满足集合中元素的互异性,故a≠－1;若a=2,则集合A={2,4,－1},满足题意.当1－a=4时,a=－3,
则a2－a+2=14,集合A={2,14,4},满足题意,综上所述,a=2或－3.
故选D.
3.(2025·四川资阳模拟)下列集合中有无数个元素的是(　　)
D
4.(2025·河南洛阳模拟)定义集合运算:A B={z|z=xy(x+y),x∈A,y∈B},
若集合A={0,2},B={－1,1},则集合A B中所有元素之和为　　　　.
【解析】 由A={0,2},B={－1,1}可知当x=0,y=±1时,z=0;当x=2,y=－1时,
z=－2;当x=2,y=1时,z=6.所以A B={0,－2,6},所以集合A B中所有元素之和为0+(－2)+6=4.
4
(1)研究集合问题时,首先要明确构成集合的元素的特征,然后再看集合的构成元素满足的限制条件,从而准确把握集合的含义.
(2)利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时,要检验所求参数是否满足集合中的元素的互异性.
题后悟通
考点二　集合间的基本关系
B
[A] M N [B] N M
[C] M=N [D] M∩N=
2.(多选题)已知集合A={x|－1≤x≤7},B={x|a+2≤x≤2a－1},若使B A成立的实数a的取值集合为M,则M的一个真子集可以是(　 　)
[A] (－∞,4] [B] (－∞,3]
[C] (3,4] [D] [4,5)
BC
【解析】 由题意,当B= 时,a+2>2a－1,即a<3;当B≠ 时,－1≤a+2≤2a－1≤7,解得3≤a≤4,故M=(－∞,4],则M的一个真子集可以是(－∞,3]或(3,4].故选BC.
3.(多选题)(2025·河南驻马店模拟)若表示集合M和N关系的Venn图如图所示,则M,N可能是(　 　)
[A] M={0,2,4,6},N={4}
[B] M={x|x2<1},N={x|x>－1}
[C] M={x|y=lg x},N={y|y=ex+5}
[D] M={(x,y)|x2=y2},N={(x,y)|y=x}
ACD
【解析】 由题中Venn图可得N M,A中M={0,2,4,6},N={4},N M,故A正确;
B中M={x|x2<1}={x|－1－1},M N,故B错误;C中M={x|y=lg x}=
{x|x>0},N={y|y=ex+5>5},N M,故C正确;D中M={(x,y)|x2=y2}={(x,y)|y=x或
y=－x},N={(x,y)|y=x},N M,故D正确.故选ACD.
4.(2025·安徽蚌埠模拟)已知集合A={1,3,2m－1},B={3,m2},若B A,则实数m的值构成的集合中子集个数是　　　　.
【解析】 因为集合A={1,3,2m－1},B={3,m2},B A,所以m2=1或m2=2m－1,解得m=－1或m=1.当m=－1时,A={1,3,－3},B={3,1},成立;当m=1时,2m－1=1,集合A不满足元素的互异性,不成立.综上,实数m的值为－1.所以实数m的值构成的集合中只有一个元素,即m={－1},其子集是 ,{－1},共2个.
2
(1)对于用描述法表示的集合,判断集合之间的关系,要从所含元素的特征来分析;若集合的特征性质可以统一形式,则统一形式后判断更方便.
(2)已知B A,求解集合中的参数问题,若集合A,B是连续的数集,不但要注意合理利用数轴、Venn图帮助分析,而且还要分B= 和B≠ 两种情况讨论.若集合A,B是不连续的数集,要检验所求参数的值是否满足集合中元素的互异性.
(3)求解元素个数确定的集合的子集、真子集个数可以借助子集、真子集定义列出,也可以直接利用子集、真子集个数公式写出.
题后悟道
考点三　集合之间的运算
角度1　给定具体集合的运算
[例1](2024·新课标Ⅰ卷)已知集合A={x|－5[A] {－1,0} [B] {2,3}
[C] {－3,－1,0} [D] {－1,0,2}
A
解题策略
(1)进行集合运算时,首先看集合能否化简,能化简的先化简,再研究其关系并进行运算.
(2)涉及与集合的补集有关的集合运算问题,首先要求出补集后再求解.
角度2　含参数的集合运算
[例2](1)(2025·山西临汾模拟)已知集合A={x|x>a},B={x|1[A] {a|a≤1} [B] {a|a<1}
[C] {a|a≥2} [D] {a|a>2}
A
【解析】 (1)因为B={x|12},又A∪( RB)=R,如图所示,所以a≤1.故选A.
(2)已知集合A={－2,0,2,4},B={x||x－3|≤m},若A∩B=A,则m的最小值为　　.
5
解题策略
求解含参数的集合运算问题的主要方法
(1)涉及离散的集合运算求参数,要注意所求参数是否满足集合中元素的性质.
(2)与集合的运算性质有关的集合运算,要注意将运算性质转化为集合之间的关系.
(3)与连续的数集有关的集合运算,要注意借助数轴转化为与参数有关的不等式(组),此时要注意集合端点的取值.
[例3](1)(多选题)已知集合A,B,C是全集为U的非空真子集,且满足A∩B=A,
A∪C=A,则下列选项正确的是(　 　)
[A] C B [B] A∩( UB)=
[C] C ( UA) [D] ( UA)∪B=U
角度3　Venn图的应用
ABD
【解析】 (1)因为A∩B=A,A∪C=A,所以A B,C A,
所以C A B,如图用Venn图表示,
由图可知C B,故A正确;A∩( UB)= ,故B正确;C∩( UA)= ,故C错误;
( UA)∪B=U,故D正确.故选ABD.
(2)(多选题)(2025·河北石家庄模拟)某校五一田径运动会上,共有12名同学参加100米、400米、1 500米三个项目,其中有8人参加100米比赛,有7人参加400米比赛,有5人参加1 500米比赛,100米和400米都参加的有4人,100米和
1 500米都参加的有3人,400米和1 500米都参加的有3人,则下列说法正确的是(　 　)
[A] 三项比赛都参加的有2人
[B] 只参加100米比赛的有3人
[C] 只参加400米比赛的有3人
[D] 只参加1 500米比赛的有1人
ABD
【解析】 (2)设参加100米、400米、1 500米三个项目的集合分别为A,B,C,则card(A)=8,
card(B)=7,card(C)=5,
card(A∩B)=4,
card(A∩C)=3,
card(B∩C)=3,则由Venn图知card(A∩B∩C)=12－[(8+7+5)－(4+3+3)]=2,所以三项比赛都参加的有2人,只参加100米比赛的有3人,只参加400米比赛的有
2人,只参加1 500米比赛的有1人.故选ABD.
解题策略
涉及抽象集合的运算问题,可利用集合的包含关系或者画出Venn图,结合Venn图求解.
1.(角度1)(2025·河南郑州模拟)已知全集U=R,集合A={x|y=ln(x+1)},
B={x|x2－x－2<0},则{x|x<2}等于(　　)
[A] ( UA)∪B [B] ( UB)∩A
[C] U(A∪B) [D] U(A∩B)
[针对训练]
A
【解析】 因为A={x|y=ln(x+1)}={x|x>－1},B={x|x2－x－2<0}={x|－1－1},因为全集U=R,所以 UA={x|x≤－1},
UB={x|x≤－1或x≥2},所以( UA)∪B={x|x<2},A正确;( UB)∩A={x|x≥2},B错误;
U(A∪B)={x|x≤－1},C错误; U(A∩B)={x|x≤－1或x≥2},D错误.故选A.
2.(角度2)(2025·广东佛山模拟)已知集合A={x|x－a≥0},B={x|x2－x－6>0},且A∩( RB)=[－1,3],则a的值为(　　)
[A] －2 [B] －1 [C] 0 [D] 1
B
【解析】 B={x|x2－x－6>0},则 RB={x|x2－x－6≤0}=[－2,3],A={x|x－a≥0}=
[a,+∞),由A∩( RB)=[－1,3],得a=－1.故选B.
3.(角度3)已知全集U={x∈N|0B∩( UA)={4,7},则集合A为(　　)
[A] {1,2,4} [B] {1,2,7}
[C] {1,2,3} [D] {1,2,4,7}
C
【解析】 U={1,2,3,4,5,6,7},根据题意得到如图所示的Venn图,
所以A={1,2,3}.故选C.
选题明细表
单选每题5分,多选每题6分,填空每题5分.
知识点、方法 题号
集合的概念与表示 2,3,6,12
集合间的关系 4,7
集合的运算 1,8,9
集合的综合应用 5,10,11,13,14
基础巩固练
D
[A] {1,4,9} [B] {3,4,9}
[C] {1,2,3} [D] {2,3,5}
2.(2025·四川乐山模拟)已知集合A={(x,y)|x2+y2≤10,x∈N*,y∈N*},则集合A的元素个数为(　　)
[A] 9 [B] 8 [C] 6 [D] 5
C
【解析】 因为集合A={(x,y)|x2+y2≤10,x∈N*,y∈N*}={(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),
(2,2),(3,1)},共6个元素.故选C.
3.(2025·云南大理模拟)已知{x|ax2－4x+1=0}={b},其中a,b∈R,则b等于(　　)
B
4.(2025·辽宁模拟)若全集U=R,A={x|x<2},B={y|y=ex,x∈R},则下列关系正确的是(　　)
[A] A B [B] B A
[C] B UA [D] UA B
D
【解析】 全集U=R,A={x|x<2},则 UA={x|x≥2},B={y|y=ex,x∈R}={y|y>0},所以 UA B.故选D.
5.(2025·河北邢台模拟)下列集合关系不成立的是(　　)
[A] A∪A=A
[B] A∩ =
[C] ( UA)∩( UB)= U(A∪B)
[D] 0∈
D
【解析】 因为A∪A=A∩A=A,故A正确;由空集的定义可知A∩ = ,故B正确;由图可知C正确;
因为空集中不包含任何元素,故D错误.故选D.
6.(多选题)(2025·广东佛山模拟)已知集合A={1,2},B={0,1,2,3,4},集合C满足A C B,则(　 　)
[A] 1∈C,2∈C [B] 集合C可以为{1,2}
[C] 集合C的个数为7 [D] 集合C的个数为8
AC
【解析】 A={1,2},B={0,1,2,3,4},又A C B,所以1∈C,2∈C,故A正确;
当C={1,2}时,不满足A C,故B错误;集合C的个数等价于集合{0,3,4}的非空子集的个数,所以集合C的个数为23－1=7,故C正确,D错误.故选AC.
7.(5分)设集合A={x,y,x+y},B={0,x2,xy},若A B且B A,则实数对(x,y)的取值集合是　　　　　 　　　.
{(1,－1),(－1,1)}
8.(5分)(2025·河北沧州模拟)已知集合A={x|x2<1},B={x|x>a}(a∈R),
若A∩B≠ ,则a的取值范围为　　　　　　.
(－∞,1)
【解析】 由题意知,A={x|－1a}(a∈R)且A∩B≠ ,故a<1,
即a的取值范围为(－∞,1).
综合运用练
9.(2023·全国乙卷)设集合U=R,集合M={x|x<1},N={x|－1[A] U(M∪N) [B] N∪( UM)
[C] U(M∩N) [D] M∪( UN)
A
【解析】 由题意可得M∪N={x|x<2},则 U(M∪N)={x|x≥2},故A正确;
UM={x|x≥1},则N∪( UM)={x|x>－1},故B错误;
M∩N={x|－1 UN={x|x≤－1或x≥2},则M∪( UN)={x|x<1或x≥2},故D错误.故选A.
10.(多选题)给定集合A,B,定义A－B={x|x∈A,且x B},则A△B=(A－B)∪(B－A)叫做集合A与集合B的对称差,若集合A={y|y=x2－2x－1,0[A] A=[－2,2]
[B] A△B=[－2,1]∪(2,5)
[C] A△B=B△A
[D] A△B=(A∪B)－(A∩B)
ACD
【解析】 因为A={y|y=x2－2x－1,0故A正确;
因为A=[－2,2],B=[1,5),所以A△B=(A－B)∪(B－A)=[－2,1)∪(2,5),故B错误;
A△B=(A－B)∪(B－A)=(B－A)∪(A－B)=B△A,故C正确;
因为(A∪B)－(A∩B)=[－2,5)－[1,2]=[－2,1)∪(2,5),
又因为A△B=(A－B)∪(B－A)=[－2,1)∪(2,5),所以A△B=(A∪B)－(A∩B),
故D正确.故选ACD.
11.(多选题)(2025·江苏南通模拟)设U为全集,集合A,B,C满足条件A∪B=A∪C,那么下列各式中不一定成立的是(　 　)
[A] B A
[B] C A
[C] A∩( UB)=A∩( UC)
[D] ( UA)∩B=( UA)∩C
ABC
【解析】 当U={1,2,3},A={1},B={2,3},C={1,2,3}时,满足A∪B=A∪C,
此时,B,C不是A的子集,所以A,B不一定成立;
UB={1}, UC= ,A∩( UB)={1},A∩( UC)= ,所以C不一定成立;
对于D,若 x∈( UA)∩B,则x A,但x∈B,因为A∪B=A∪C,
所以x∈C,于是x∈( UA)∩C,
所以( UA)∩B ( UA)∩C,
同理,若 x∈( UA)∩C,
则x∈( UA)∩B,( UA)∩C ( UA)∩B,
因此,( UA)∩B=( UA)∩C成立,所以D成立.故选ABC.
12.(5分)已知集合A={x|a≤x≤2－a}(a∈R)中仅有3个整数,则a的取值范围为　　　　.
(－1,0]
13.(5分)(2025·安徽安庆模拟)已知集合A={λ,2,－1},B={y|y=x2,x∈A},
若A∪B的所有元素之和为12,则实数λ=　　　　.
－3
【解析】 由题意可知,λ≠－1且λ≠2,
当x=λ时,y=λ2;当x=2时,y=4;当x=－1时,y=1;若λ=1,则B={1,4},此时A∪B的所有元素之和为6,不符合题意,舍去;若λ=－2,则B={1,4},此时A∪B的所有元素之和为4,不符合题意,舍去;若λ≠1且λ≠－2,则B={1,4,λ2},故λ2+λ+6=12,解得λ=－3或λ=2(舍去).综上所述,λ=－3.
14.(5分)(2025·重庆模拟)设非空集合A {1,2,…,9}满足 a∈A,10－a∈A,则这样的A的个数为　 .
31
【解析】 由题设可得{1,9},{2,8},{3,7},{4,6},{5},这5组中的每一组中的元素必定同时出现在集合A中,故这样的非空集合A的个数即为将这5组中的每一组看做一个元素构成的非空子集的个数,因此有25－1=31(个).

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