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第5节 二次函数与一元二次方程、不等式
[课程标准要求]
1.会结合一元二次函数的图象,判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数,了解函数的零点与方程根的关系.
2.了解一元二次不等式的现实意义.
3.能借助一元二次函数求解一元二次不等式.
1.二次函数y=ax2+bx+c(a>0)与一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0),不等式ax2+bx+c>0(a>0)的解的对应关系
方程的判 别式Δ= b2－4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0
二次函数 的图象
方程的根 有两个不相等的实数根x1,x2(x1不等式 的解集 {x|xx2} {x|x≠－} R
2.分式不等式的解法
(1)>0(<0) f(x)·g(x)>0(<0).
(2)≥0(≤0)
1.(人教A版必修第一册P53练习 T1改编)不等式－3x2－2x+1<0的解集为( )
[A] {x|－1[B] {x|－[C] {x|x<－1,或x>}
[D] {x|x<－,或x>1}
2.不等式≥1的解集为( )
[A] {x|x≤或x≥4}
[B] {x|≤x≤4}
[C] {x|x<或x≥4}
[D] {x|3.关于x的不等式x2－2ax－8a2<0的解集为(x1,x2),且x2－x1=15,则a的值为( )
[A] [B] ± [C] [D] ±
4.(人教A版必修第一册P58复习参考题2 T6改编)若不等式kx2+(k－6)x+2>0的解为全体实数,则实数k的取值范围是( )
[A] [2,18] [B] (－18,－2)
[C] (2,18) [D] (0,2)
5.(人教B版必修第一册P81习题2-2B T7改编)不等式ax2+bx+2>0的解集是(－,),则a+b的值是 .
考点一 一元二次不等式的解法
角度1 不含参数的不等式的解法
[例1] (1)不等式－3<4x－4x2≤0的解集为( )
[A] {x|－[B] {x|－[C] {x|1≤x<}
[D] {x|－(2)不等式x2－3|x|+2≤0的解集为 .
(1)形如a≤f(x)≤b的不等式等价于
(2)含有绝对值的不等式问题,求解的主要方法是分类讨论去掉绝对值号转化为不等式组.
角度2 含参数的一元二次不等式的解法
[例2] 解关于x的不等式:ax2+(2a－1)x－2<0.
解含参数的一元二次不等式时分类讨论的方法
(1)当二次项系数中含有参数时,应讨论二次项系数是等于0,小于0,还是大于0,然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式.
(2)当不等式对应的一元二次方程的根的个数不确定时,讨论判别式Δ与0的关系.
(3)确定无根时可直接写出解集;确定方程有两个根时,要讨论两根的大小关系,从而确定解集形式.
[针对训练]
1.(角度1)不等式(1+x)(1－|x|)>0的解集为 .
2.(角度2)解关于x的不等式:x2+ax+1<0(a∈R).
考点二 三个“二次”关系的应用
[例3] (多选题)(2025·山东枣庄模拟)已知关于x的不等式(x+2)(x－4)+a<0(a<0)的解集是(x1,x2)(x1[A] x1+x2=2 [B] x1x2<－8
[C] －26
(1)一元二次方程的根就是相应一元二次函数的零点,也是相应一元二次不等式的解集的端点值.
(2)给出一元二次不等式的解集,相当于知道了相应一元二次函数的图象开口方向及与x轴的交点的横坐标,可以利用代入根或根与系数的关系求待定系数.
[针对训练] (2025·河南商丘模拟)某同学解关于x的不等式ax2+bx+c<0(a≠0)时,因弄错了常数c的符号,解得其解集为(－∞,－3)∪(－2,+∞),则不等式bx2+cx+a>0的解集为( )
[A] (－1,－)
[B] (－∞,－1)∪(－,+∞)
[C] (,1)
[D] (－∞,)∪(1,+∞)
考点三 一元二次不等式有关的恒成立问题
[例4] 若对于任意的x∈[0,2],不等式x2－2ax－1≤0恒成立,则实数a的取值范围是 .
一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题的求解方法
(1)最值转化法:若f(x)>0在集合A中恒成立,则函数y=f(x)在集合A中的最小值大于0.
(2)分离参数转化为函数的值域问题,即已知函数f(x)的值域为[m,n],则f(x)≥a恒成立
f(x)min≥a,即m≥a;f(x)≤a恒成立 f(x)max≤a,即n≤a.
[针对训练] 若关于x的不等式mx2－mx－1<2x2－2x的解集为R,则m的取值范围为( )
[A] (－2,2) [B] [2,+∞)
[C] (－∞,－2) [D] (－2,2]
(分值:110分)
选题明细表
知识点、方法 题号
一元二次不等式的解法 1,2,4,7,9,10,15
三个“二次”之间的关系 3,6,11
不等式的综合应用 5,8,12,13,14,16
单选每题5分,多选每题6分,填空每题5分.
1.(多选题)与不等式x2－x+2>0的解集相同的不等式有( )
[A] x2+x－2>0 [B] －x2+x－2>0
[C] －x2+x－2<0 [D] 2x2－3x+2>0
2.已知关于x的不等式a>x+6的解集为(b,9),则a+b的值为( )
[A] 4 [B] 5
[C] 7 [D] 9
3.(2025·辽宁沈阳模拟)不等式ax2－(a+2)x+2≥0(a<0)的解集为( )
[A] [,1]
[B] [1,]
[C] (－∞,]∪[1,+∞)
[D] (－∞,1]∪[,+∞)
4.(多选题)已知不等式x2－2x－3<0的解集为A,不等式x2+x－6<0的解集为B,不等式x2+ax+b<0的解集是A∩B,则( )
[A] A∪B={x|－3[B] A∪B={x|x>－3}
[C] a+b=－1
[D] a+b=－3
5.近年来,电动自行车由于其体型小、灵活性强、易操作,成为市民出行的常用交通工具.据观测,出行高峰时段某路段内的电动自行车流量Q(千辆/小时)与电动自行车的平均速度v(千米/小时)(注:国家规定电动自行车最大设计时速为25千米/小时)具有以下函数关系:
Q(v)=.若电动自行车流量不少于10千辆/小时,则v的取值范围是( )
[A] [4,25] [B] [8,20]
[C] [8,25] [D] (0,25]
6.(2025·浙江绍兴模拟)若关于x的不等式|x2+mx+n|>0的解集为{x|x≠1且x≠2},则( )
[A] m=3,n=2 [B] m=－3,n=2
[C] m=3,n=－2 [D] m=－3,n=－2
7.(5分)若关于x的不等式x2－4x－2－a>0在区间(1,4)内有解,则实数a的取值范围是
.
8.(12分)设m∈R,关于x的不等式x2+2mx+m+2<0的解集为 .
(1)求m的取值范围;
(2)求关于x的不等式mx2+(m－2)x－2≥0的解集.
9.(2025·甘肃张掖模拟)不等式|x2－3x|<2－2x的解集是( )
[A] (－1,) [B] (－,)
[C] (－1,) [D] (,)
10.(2025·湖北恩施模拟)已知关于x的不等式x2－(a+1)x+a<0恰有三个整数解,则实数a的取值范围是( )
[A] [－3,－2)∪[4,5)
[B] (－3,－2]∪(4,5]
[C] (－3,－2]∪[4,5)
[D] [－3,－2)∪(4,5]
11.(多选题)(2025·安徽淮南模拟)若存在m,n(m[A] x2+ax+b≥0的解集为{x|x≤m+1或x≥n}
[B] x2+ax+b≤c－x的解集为{x|m+1≤x≤n}
[C] c=－n
[D] a2+2a>4b－4c
12.已知x∈(－1,5]时,>0恒成立,则实数a的取值范围是( )
[A] (－1,+∞) [B] [－1,+∞)
[C] (5,+∞) [D] [5,+∞)
13.(5分)(2025·北京模拟)若{x|0≤x≤1}∩{x|x2－2x+m>0}= ,则实数m的一个取值为 .
14.(5分)设关于x的不等式ax2+8(a+1)x+7a+16≥0(a∈Z),只有有限个整数解,且0是其中一个解,则全部不等式的整数解的和为 .
15.(15分)设函数f(x)=ax2+(1－a)x+a－2.
(1)若关于x的不等式f(x)≥－2有实数解,求实数a的取值范围;
(2)若关于x的不等式f(x)(3)若不等式f(x)≥－2对于实数a∈[－1,1]时恒成立,求实数x的取值.
16.(15分)已知函数f(x)=2x2－(a+2)x+a,a∈R.
(1)解关于x的不等式f(x)<0;
(2)若方程2x2－(a+2)x+a=x+1有两个正实数根x1,x2,求+的最小值.
第5节 二次函数与一元二次方程、不等式（解析版）
[课程标准要求]
1.会结合一元二次函数的图象,判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数,了解函数的零点与方程根的关系.
2.了解一元二次不等式的现实意义.
3.能借助一元二次函数求解一元二次不等式.
1.二次函数y=ax2+bx+c(a>0)与一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0),不等式ax2+bx+c>0(a>0)的解的对应关系
方程的判 别式Δ= b2－4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0
二次函数 的图象
方程的根 有两个不相等的实数根x1,x2(x1不等式 的解集 {x|xx2} {x|x≠－} R
2.分式不等式的解法
(1)>0(<0) f(x)·g(x)>0(<0).
(2)≥0(≤0)
1.(人教A版必修第一册P53练习 T1改编)不等式－3x2－2x+1<0的解集为( )
[A] {x|－1[B] {x|－[C] {x|x<－1,或x>}
[D] {x|x<－,或x>1}
【答案】 C
【解析】 不等式－3x2－2x+1<0,即3x2+2x－1>0,即(x+1)(3x－1)>0,解得x<－1或x>.
故选C.
2.不等式≥1的解集为( )
[A] {x|x≤或x≥4}
[B] {x|≤x≤4}
[C] {x|x<或x≥4}
[D] {x|【答案】 D
【解析】 由≥1得－1≥0,
即≥0,即
解得x∈(,4].故选D.
3.关于x的不等式x2－2ax－8a2<0的解集为(x1,x2),且x2－x1=15,则a的值为( )
[A] [B] ± [C] [D] ±
【答案】 D
【解析】 方程x2－2ax－8a2=0的两根为－2a,4a,当a<0时,不等式的解集为(4a,－2a),此时－2a－4a=15,解得a=－;当a>0时,不等式的解集为(－2a,4a),此时4a－(－2a)=15,解得a=.故a=±.故选D.
4.(人教A版必修第一册P58复习参考题2 T6改编)若不等式kx2+(k－6)x+2>0的解为全体实数,则实数k的取值范围是( )
[A] [2,18] [B] (－18,－2)
[C] (2,18) [D] (0,2)
【答案】 C
【解析】 当k=0时,不等式kx2+(k－6)x+2>0可化为－6x+2>0,显然不合题意;
当k≠0时,因为kx2+(k－6)x+2>0的解为全体实数,
所以解得2综上,25.(人教B版必修第一册P81习题2-2B T7改编)不等式ax2+bx+2>0的解集是(－,),则a+b的值是 .
【答案】 －14
【解析】 由题意知－,是ax2+bx+2=0的两根且a<0,
则解得
所以a+b=－14.
考点一 一元二次不等式的解法
角度1 不含参数的不等式的解法
[例1] (1)不等式－3<4x－4x2≤0的解集为( )
[A] {x|－[B] {x|－[C] {x|1≤x<}
[D] {x|－(2)不等式x2－3|x|+2≤0的解集为 .
【答案】 (1)D (2){x|－2≤x≤－1或1≤x≤2}
【解析】 (1)原不等式可化为
解4x－4x2>－3得－解4x－4x2≤0得x≤0或x≥1.
原不等式的解集即为上述两个不等式解集的交集,即－故选D.
(2)原不等式等价于或
即或
所以原不等式的解集为{x|－2≤x≤－1或1≤x≤2}.
(1)形如a≤f(x)≤b的不等式等价于
(2)含有绝对值的不等式问题,求解的主要方法是分类讨论去掉绝对值号转化为不等式组.
角度2 含参数的一元二次不等式的解法
[例2] 解关于x的不等式:ax2+(2a－1)x－2<0.
【解】 当a=0时,不等式为－x－2<0,
解得x>－2,解集为(－2,+∞).
当a≠0时,不等式可化为(ax－1)(x+2)<0.
当a >0时,(x－)(x+2)<0,解集为(－2,);
当a=－时,(－x－1)(x+2)<0,
解集为{x|x≠－2};
当a<－时,(ax－1)(x+2)<0可化为(x－)(x+2)>0,
又>－2,故不等式的解集为(－∞,－2)∪(,+∞);
当－0,又<－2,
故解集为(－∞,)∪(－2,+∞).
综上所述,当a=0时,解集为(－2,+∞);
当a>0时,解集为(－2,);
当a=－时,解集为{x|x≠－2};
当a<－时,解集为(－∞,－2)∪(,+∞);
当－解含参数的一元二次不等式时分类讨论的方法
(1)当二次项系数中含有参数时,应讨论二次项系数是等于0,小于0,还是大于0,然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式.
(2)当不等式对应的一元二次方程的根的个数不确定时,讨论判别式Δ与0的关系.
(3)确定无根时可直接写出解集;确定方程有两个根时,要讨论两根的大小关系,从而确定解集形式.
[针对训练]
1.(角度1)不等式(1+x)(1－|x|)>0的解集为 .
【答案】 (－∞,－1)∪(－1,1)
【解析】 当x≥0时,原不等式变形为(1+x)(1－x)>0,解得0≤x<1;当x<0时,原不等式变形为(1+x)(1+x)>0,解得x<－1或－1综上所述,原不等式的解集为(－∞,－1)∪(－1,1).
2.(角度2)解关于x的不等式:x2+ax+1<0(a∈R).
【解】 ①当Δ=a2－4≤0,即－2≤a≤2时,原不等式无解.
②当Δ=a2－4>0,即a>2或a<－2时,
方程x2+ax+1=0的两根为x1=,x2=,
则原不等式的解集为(,).
综上所述,当－2≤a≤2时,原不等式无解;
当a>2或a<－2时,
原不等式的解集为(,).
考点二 三个“二次”关系的应用
[例3] (多选题)(2025·山东枣庄模拟)已知关于x的不等式(x+2)(x－4)+a<0(a<0)的解集是(x1,x2)(x1[A] x1+x2=2 [B] x1x2<－8
[C] －26
【答案】 ABD
【解析】 因为关于x的不等式(x+2)(x－4)+a<0(a<0)的解集是(x1,x2)(x1所以x1,x2是一元二次方程x2－2x－8+a=0的两个根.所以x1+x2=2,故A正确;
x1x2=a－8<－8,故B正确;
x2－x1==2>6,故D正确;
由x2－x1>6,x1+x2=2,可得x1<－2,x2>4,故－2(1)一元二次方程的根就是相应一元二次函数的零点,也是相应一元二次不等式的解集的端点值.
(2)给出一元二次不等式的解集,相当于知道了相应一元二次函数的图象开口方向及与x轴的交点的横坐标,可以利用代入根或根与系数的关系求待定系数.
[针对训练] (2025·河南商丘模拟)某同学解关于x的不等式ax2+bx+c<0(a≠0)时,因弄错了常数c的符号,解得其解集为(－∞,－3)∪(－2,+∞),则不等式bx2+cx+a>0的解集为( )
[A] (－1,－)
[B] (－∞,－1)∪(－,+∞)
[C] (,1)
[D] (－∞,)∪(1,+∞)
【答案】 C
【解析】 由题意可知a<0,且－3+(－2)=－,－3×(－2)=－,所以b=5a,c=－6a,
所以bx2+cx+a>0可化为5x2－6x+1<0,
即(5x－1)(x－1)<0,解得考点三 一元二次不等式有关的恒成立问题
[例4] 若对于任意的x∈[0,2],不等式x2－2ax－1≤0恒成立,则实数a的取值范围是 .
【答案】 [,+∞)
【解析】 由题意可知“x2－2ax－1≤0在[0,2]上恒成立”.
设g(x)=x2－2ax－1,
则只要g(x)≤0在[0,2]上恒成立即可.
所以即解得a≥.
则实数a的取值范围为[,+∞).
一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题的求解方法
(1)最值转化法:若f(x)>0在集合A中恒成立,则函数y=f(x)在集合A中的最小值大于0.
(2)分离参数转化为函数的值域问题,即已知函数f(x)的值域为[m,n],则f(x)≥a恒成立
f(x)min≥a,即m≥a;f(x)≤a恒成立 f(x)max≤a,即n≤a.
[针对训练] 若关于x的不等式mx2－mx－1<2x2－2x的解集为R,则m的取值范围为( )
[A] (－2,2) [B] [2,+∞)
[C] (－∞,－2) [D] (－2,2]
【答案】 D
【解析】 不等式转化为(m－2)x2－(m－2)x－1<0恒成立.当m－2=0,即m=2时,－1<0恒成立,符合题意.
当m－2≠0时,解得 －2故选D.
(分值:110分)
选题明细表
知识点、方法 题号
一元二次不等式的解法 1,2,4,7,9,10,15
三个“二次”之间的关系 3,6,11
不等式的综合应用 5,8,12,13,14,16
单选每题5分,多选每题6分,填空每题5分.
1.(多选题)与不等式x2－x+2>0的解集相同的不等式有( )
[A] x2+x－2>0 [B] －x2+x－2>0
[C] －x2+x－2<0 [D] 2x2－3x+2>0
【答案】 CD
【解析】 不等式x2－x+2>0的解集为R.x2+x－2>0的解集为(－∞,－2)∪(1,+∞);
－x2+x－2>0即x2－x+2<0的解集为 ;－x2+x－2<0即x2－x+2>0,解集为R;2x2－3x+2>0,解集为R.故选CD.
2.已知关于x的不等式a>x+6的解集为(b,9),则a+b的值为( )
[A] 4 [B] 5
[C] 7 [D] 9
【答案】 D
【解析】 由a>x+6得x－a+6<0,依题意上述不等式的解集为(b,9),
故解得a=5,b=4(b=9舍去),故a+b=9.故选D.
3.(2025·辽宁沈阳模拟)不等式ax2－(a+2)x+2≥0(a<0)的解集为( )
[A] [,1]
[B] [1,]
[C] (－∞,]∪[1,+∞)
[D] (－∞,1]∪[,+∞)
【答案】 A
【解析】 因为a<0,所以原不等式可分解为(ax－2)(x－1)≥0,即(x－)(x－1)≤0,又方程
(x－)(x－1)=0的两根分别为x=1和x=<0,所以不等式ax2－(a+2)x+2≥0(a<0)的解集为
[,1].
故选A.
4.(多选题)已知不等式x2－2x－3<0的解集为A,不等式x2+x－6<0的解集为B,不等式x2+ax+b<0的解集是A∩B,则( )
[A] A∪B={x|－3[B] A∪B={x|x>－3}
[C] a+b=－1
[D] a+b=－3
【答案】 AD
【解析】 由不等式x2－2x－3<0,即(x+1)(x－3)<0,解得－1即B={x|－3A∩B={x|－1则x=－1,x=2是x2+ax+b=0的两根,
则
a=－1,b=－2,a+b=－3,C错误,D正确.故选AD.
5.近年来,电动自行车由于其体型小、灵活性强、易操作,成为市民出行的常用交通工具.据观测,出行高峰时段某路段内的电动自行车流量Q(千辆/小时)与电动自行车的平均速度v(千米/小时)(注:国家规定电动自行车最大设计时速为25千米/小时)具有以下函数关系:
Q(v)=.若电动自行车流量不少于10千辆/小时,则v的取值范围是( )
[A] [4,25] [B] [8,20]
[C] [8,25] [D] (0,25]
【答案】 C
【解析】 电动自行车流量不少于10千辆/小时,
即Q(v)=≥10,
化简可得v2－58v+400≤0,解得8≤v≤50,
又因为最高设计时速为25千米/小时,故8≤v≤25,所以欲使电动自行车流量不少于10千辆/小时,则8≤v≤25.故选C.
6.(2025·浙江绍兴模拟)若关于x的不等式|x2+mx+n|>0的解集为{x|x≠1且x≠2},则( )
[A] m=3,n=2 [B] m=－3,n=2
[C] m=3,n=－2 [D] m=－3,n=－2
【答案】 B
【解析】 由已知可得1,2为方程x2+mx+n=0的根,
由根与系数的关系可得
解得故选B.
7.(5分)若关于x的不等式x2－4x－2－a>0在区间(1,4)内有解,则实数a的取值范围是
.
【答案】 (－∞,－2)
【解析】 不等式成立等价于存在x∈(1,4),
使a即a<,
设y=x2－4x－2=(x－2)2－6,
当x∈(1,4)时,y∈[－6,－2),
所以a<－2.
8.(12分)设m∈R,关于x的不等式x2+2mx+m+2<0的解集为 .
(1)求m的取值范围;
(2)求关于x的不等式mx2+(m－2)x－2≥0的解集.
【解】 (1)因为关于x的不等式x2+2mx+m+2<0的解集为 ,
所以关于x的不等式x2+2mx+m+2≥0恒成立,
所以Δ=4m2－4(m+2)≤0,解得－1≤m≤2,
所以m的取值范围为[－1,2].
(2)不等式mx2+(m－2)x－2≥0等价于(mx－2)(x+1)≥0,
当m=0时,不等式可化为－2x－2≥0,解集为{x|x≤－1};
当0－1,此时不等式的解集为{x|x≤－1或x≥};
当－1≤m<0时,<－1,
此时不等式的解集为{x|≤x≤－1}.
综上,－1≤m<0时,解集为{x|≤x≤－1},m=0时,解集为{x|x≤－1},0解集为{x|x≤－1或x≥}.
9.(2025·甘肃张掖模拟)不等式|x2－3x|<2－2x的解集是( )
[A] (－1,) [B] (－,)
[C] (－1,) [D] (,)
【答案】 C
【解析】 当x2－3x≥0,即x≥3或x≤0时,
不等式|x2－3x|<2－2x等价于x2－3x<2－2x,即x2－x－2<0,
解得－1所以－1当x2－3x<0,即0不等式|x2－3x|<2－2x等价于不等式3x－x2<2－2x,
即x2－5x+2>0,
解得x>或x<,
所以0综上,不等式|x2－3x|<2－2x的解集是(－1,).故选C.
10.(2025·湖北恩施模拟)已知关于x的不等式x2－(a+1)x+a<0恰有三个整数解,则实数a的取值范围是( )
[A] [－3,－2)∪[4,5)
[B] (－3,－2]∪(4,5]
[C] (－3,－2]∪[4,5)
[D] [－3,－2)∪(4,5]
【答案】 D
【解析】 不等式x2－(a+1)x+a<0,可化为(x－a)(x－1)<0,
当a=1时,不等式x2－(a+1)x+a<0的解集为空集,不符合题意;
当a>1时,不等式x2－(a+1)x+a<0的解集为(1,a),
要使不等式x2－(a+1)x+a<0恰有三个整数解,则4当a<1时,不等式x2－(a+1)x+a<0的解集为(a,1),
要使不等式x2－(a+1)x+a<0恰有三个整数解,则－3≤a<－2.
综上可得,实数a的取值范围是[－3,－2)∪(4,5].故选D.
11.(多选题)(2025·安徽淮南模拟)若存在m,n(m[A] x2+ax+b≥0的解集为{x|x≤m+1或x≥n}
[B] x2+ax+b≤c－x的解集为{x|m+1≤x≤n}
[C] c=－n
[D] a2+2a>4b－4c
【答案】 AD
【解析】 因为m由于mn=b－c,(m+1)n=b,故b－c+n=b,所以n=c,C错误;
因为n－m>1,n－m==,
所以>1,两边平方得a2+2a>4b－4c,D正确.故选AD.
12.已知x∈(－1,5]时,>0恒成立,则实数a的取值范围是( )
[A] (－1,+∞) [B] [－1,+∞)
[C] (5,+∞) [D] [5,+∞)
【答案】 C
【解析】 设>0的解集为A,
因为x∈(－1,5]时,>0恒成立,所以(－1,5] A,
由>0得(1+x)(a－x)>0,即(1+x)(x－a)<0,
当a>－1时,解得－15;
当a<－1时,解得a当a=－1时,解集为,不合题意.
综上所述,实数a的取值范围是(5,+∞).故选C.
13.(5分)(2025·北京模拟)若{x|0≤x≤1}∩{x|x2－2x+m>0}= ,则实数m的一个取值为 .
【答案】 m=0(答案不唯一)
【解析】 由题意{x|0≤x≤1} {x|x2－2x+m≤0}.
则
得m≤0,所以实数m的一个取值可以为m=0.
14.(5分)设关于x的不等式ax2+8(a+1)x+7a+16≥0(a∈Z),只有有限个整数解,且0是其中一个解,则全部不等式的整数解的和为 .
【答案】 －10
【解析】 由题意知a<0,因为0为其中一个解,将 x=0代入不等式可得a≥－,
又a∈Z,所以a=－2或a=－1,则不等式为－2x2－8x+2≥0或－x2+9≥0,
可分别求得－2－≤x≤－2,－3≤x≤3,
因为x为整数,所以x=－4,－3,－2,－1,0和 x=－3,－2,－1,0,1,2,3,
所以全部不等式的整数解的和为－10.
15.(15分)设函数f(x)=ax2+(1－a)x+a－2.
(1)若关于x的不等式f(x)≥－2有实数解,求实数a的取值范围;
(2)若关于x的不等式f(x)(3)若不等式f(x)≥－2对于实数a∈[－1,1]时恒成立,求实数x的取值.
【解】 (1)依题意,f(x)≥－2有实数解,即不等式ax2+(1－a)x+a≥0有实数解.
当a=0时,x≥0有实数解,符合题意.
当a>0时,ax2+(1－a)x+a≥0必有实数解,符合题意.
当a<0时,二次函数y=ax2+(1－a)x+a的图象开口向下,要y≥0有解,当且仅当Δ=(1－a)2－4a2≥0 －1≤a≤,从而得－1≤a<0,
综上,实数a的取值范围是[－1,+∞).
(2)不等式f(x)由于不等式的解集为(－∞,1)∪(－,+∞),因此a<0,且－≥1,解得a≥－1,
综上可知－1≤a<0.
因此满足题意的a的取值范围是[－1,0).
(3)不等式f(x)≥－2对于实数a∈[－1,1]时恒成立,
即 a∈[－1,1],(x2－x+1)a+x≥0,
显然x2－x+1>0,函数g(a)=(x2－x+1)a+x在a∈[－1,1]上递增,
从而得g(－1)≥0,即－x2+2x－1≥0,
解得x=1,所以实数x的取值是1.
16.(15分)已知函数f(x)=2x2－(a+2)x+a,a∈R.
(1)解关于x的不等式f(x)<0;
(2)若方程2x2－(a+2)x+a=x+1有两个正实数根x1,x2,求+的最小值.
【解】 (1)不等式f(x)<0即为2x2－(a+2)x+a<0,
所以(2x－a)(x－1)<0,
当a<2,即<1时,
不等式的解集为{x|当a=2,即=1时,不等式的解集为,
当a>2,即>1时,
不等式的解集为{x|1综上可知,当a<2时,不等式的解集为{x|当a=2时,不等式的解集为,
当a>2时,不等式的解集为{x|1(2)方程2x2－(a+2)x+a=x+1有两个正实数根x1,x2,
即2x2－(a+3)x+a－1=0有两个正实数根x1,x2,
故
解得a>1,
所以+===,
令t=a－1,则t>0,故+=++2≥2+2=6,
当且仅当=,
即t=4,a=5时取得等号,
故+的最小值为6.
(
第
14
页
)(共63张PPT)
第5节 二次函数与
一元二次方程、不等式
1.会结合一元二次函数的图象,判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数,了解函数的零点与方程根的关系.
2.了解一元二次不等式的现实意义.
3.能借助一元二次函数求解一元二次不等式.
[课程标准要求]
知识梳理
1.二次函数y=ax2+bx+c(a>0)与一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0),不等式ax2+bx+c>0(a>0)的解的对应关系
{x|xx2}
知识梳理
2.分式不等式的解法
对点自测
1.(人教A版必修第一册P53练习 T1改编)不等式－3x2－2x+1<0的解集为
( )
C
对点自测
D
对点自测
对点自测
对点自测
D
3.关于x的不等式x2－2ax－8a2<0的解集为(x1,x2),且x2－x1=15,则a的值为
( )
对点自测
C
4.(人教A版必修第一册P58复习参考题2 T6改编)若不等式kx2+(k－6)x+2>0的解为全体实数,则实数k的取值范围是( )
[A] [2,18] [B] (－18,－2)
[C] (2,18) [D] (0,2)
C
对点自测
C
对点自测
－14
[例1] (1)不等式－3<4x－4x2≤0的解集为( )
考点一 一元二次不等式的解法
角度1 不含参数的不等式的解法
D
{x|－2≤x≤－1或1≤x≤2}
(2)不等式x2－3|x|+2≤0的解集为 .
解题策略
(2)含有绝对值的不等式问题,求解的主要方法是分类讨论去掉绝对值号转化为不等式组.
角度2 含参数的一元二次不等式的解法
[例2] 解关于x的不等式:ax2+(2a－1)x－2<0.
解题策略
解含参数的一元二次不等式时分类讨论的方法
(1)当二次项系数中含有参数时,应讨论二次项系数是等于0,小于0,还是大于0,然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式.
(2)当不等式对应的一元二次方程的根的个数不确定时,讨论判别式Δ与0的关系.
(3)确定无根时可直接写出解集;确定方程有两个根时,要讨论两根的大小关系,从而确定解集形式.
1.(角度1)不等式(1+x)(1－|x|)>0的解集为 .
[针对训练]
(－∞,－1)∪(－1,1)
【解析】 当x≥0时,原不等式变形为(1+x)(1－x)>0,解得0≤x<1;当x<0时,原不等式变形为(1+x)(1+x)>0,解得x<－1或－1综上所述,原不等式的解集为(－∞,－1)∪(－1,1).
2.(角度2)解关于x的不等式:x2+ax+1<0(a∈R).
【解】 ①当Δ=a2－4≤0,即－2≤a≤2时,原不等式无解.
考点二 三个“二次”关系的应用
[例3] (多选题)(2025·山东枣庄模拟)已知关于x的不等式(x+2)(x－4)+a<0
(a<0)的解集是(x1,x2)(x1[A] x1+x2=2 [B] x1x2<－8
[C] －26
ABD
解题策略
(1)一元二次方程的根就是相应一元二次函数的零点,也是相应一元二次不等式的解集的端点值.
(2)给出一元二次不等式的解集,相当于知道了相应一元二次函数的图象开口方向及与x轴的交点的横坐标,可以利用代入根或根与系数的关系求待定系数.
[针对训练] (2025·河南商丘模拟)某同学解关于x的不等式ax2+bx+c<0(a≠0)时,因弄错了常数c的符号,解得其解集为(－∞,－3)∪(－2,+∞),则不等式bx2+cx+a>0的解集为( )
C
[例4] 若对于任意的x∈[0,2],不等式x2－2ax－1≤0恒成立,则实数a的取值
范围是 .
考点三 一元二次不等式有关的恒成立问题
解题策略
一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题的求解方法
(1)最值转化法:若f(x)>0在集合A中恒成立,则函数y=f(x)在集合A中的最小值大于0.
(2)分离参数转化为函数的值域问题,即已知函数f(x)的值域为[m,n],则f(x)≥a恒成立 f(x)min≥a,即m≥a;f(x)≤a恒成立 f(x)max≤a,即n≤a.
[针对训练] 若关于x的不等式mx2－mx－1<2x2－2x的解集为R,则m的取值范围为( )
[A] (－2,2) [B] [2,+∞)
[C] (－∞,－2) [D] (－2,2]
D
选题明细表
单选每题5分,多选每题6分,填空每题5分.
知识点、方法 题号
一元二次不等式的解法 1,2,4,7,9,10,15
三个“二次”之间的关系 3,6,11
不等式的综合应用 5,8,12,13,14,16
基础巩固练
1.(多选题)与不等式x2－x+2>0的解集相同的不等式有( )
[A] x2+x－2>0 [B] －x2+x－2>0
[C] －x2+x－2<0 [D] 2x2－3x+2>0
CD
【解析】 不等式x2－x+2>0的解集为R.x2+x－2>0的解集为(－∞,－2)∪
(1,+∞);－x2+x－2>0即x2－x+2<0的解集为 ;－x2+x－2<0即x2－x+2>0,解集为R;2x2－3x+2>0,解集为R.故选CD.
[A] 4 [B] 5
[C] 7 [D] 9
D
3.(2025·辽宁沈阳模拟)不等式ax2－(a+2)x+2≥0(a<0)的解集为( )
A
4.(多选题)已知不等式x2－2x－3<0的解集为A,不等式x2+x－6<0的解集为B,不等式x2+ax+b<0的解集是A∩B,则( )
[A] A∪B={x|－3[B] A∪B={x|x>－3}
[C] a+b=－1
[D] a+b=－3
AD
[A] [4,25] [B] [8,20]
[C] [8,25] [D] (0,25]
C
6.(2025·浙江绍兴模拟)若关于x的不等式|x2+mx+n|>0的解集为{x|x≠1且x≠2},则( )
[A] m=3,n=2 [B] m=－3,n=2
[C] m=3,n=－2 [D] m=－3,n=－2
B
7.(5分)若关于x的不等式x2－4x－2－a>0在区间(1,4)内有解,则实数a的取值范围是 .
(－∞,－2)
8.(12分)设m∈R,关于x的不等式x2+2mx+m+2<0的解集为 .
(1)求m的取值范围;
【解】 (1)因为关于x的不等式x2+2mx+m+2<0的解集为 ,
所以关于x的不等式x2+2mx+m+2≥0恒成立,
所以Δ=4m2－4(m+2)≤0,解得－1≤m≤2,
所以m的取值范围为[－1,2].
8.(12分)设m∈R,关于x的不等式x2+2mx+m+2<0的解集为 .
(2)求关于x的不等式mx2+(m－2)x－2≥0的解集.
9.(2025·甘肃张掖模拟)不等式|x2－3x|<2－2x的解集是( )
C
综合运用练
【解析】 当x2－3x≥0,即x≥3或x≤0时,
不等式|x2－3x|<2－2x等价于x2－3x<2－2x,即x2－x－2<0,
解得－1所以－1当x2－3x<0,即0不等式|x2－3x|<2－2x等价于不等式3x－x2<2－2x,
即x2－5x+2>0,
10.(2025·湖北恩施模拟)已知关于x的不等式x2－(a+1)x+a<0恰有三个整数解,则实数a的取值范围是( )
[A] [－3,－2)∪[4,5)
[B] (－3,－2]∪(4,5]
[C] (－3,－2]∪[4,5)
[D] [－3,－2)∪(4,5]
D
【解析】 不等式x2－(a+1)x+a<0,可化为(x－a)(x－1)<0,
当a=1时,不等式x2－(a+1)x+a<0的解集为空集,不符合题意;
当a>1时,不等式x2－(a+1)x+a<0的解集为(1,a),
要使不等式x2－(a+1)x+a<0恰有三个整数解,则4当a<1时,不等式x2－(a+1)x+a<0的解集为(a,1),
要使不等式x2－(a+1)x+a<0恰有三个整数解,则－3≤a<－2.
综上可得,实数a的取值范围是[－3,－2)∪(4,5].故选D.
11.(多选题)(2025·安徽淮南模拟)若存在m,n(m[A] x2+ax+b≥0的解集为{x|x≤m+1或x≥n}
[B] x2+ax+b≤c－x的解集为{x|m+1≤x≤n}
[C] c=－n
[D] a2+2a>4b－4c
AD
[A] (－1,+∞) [B] [－1,+∞)
[C] (5,+∞) [D] [5,+∞)
C
13.(5分)(2025·北京模拟)若{x|0≤x≤1}∩{x|x2－2x+m>0}= ,则实数m的一个取值为 .
m=0(答案不唯一)
14.(5分)设关于x的不等式ax2+8(a+1)x+7a+16≥0(a∈Z),只有有限个整数解,且0是其中一个解,则全部不等式的整数解的和为 .
－10
15.(15分)设函数f(x)=ax2+(1－a)x+a－2.
(1)若关于x的不等式f(x)≥－2有实数解,求实数a的取值范围;
15.(15分)设函数f(x)=ax2+(1－a)x+a－2.
15.(15分)设函数f(x)=ax2+(1－a)x+a－2.
(3)若不等式f(x)≥－2对于实数a∈[－1,1]时恒成立,求实数x的取值.
【解】 (3)不等式f(x)≥－2对于实数a∈[－1,1]时恒成立,
即 a∈[－1,1],(x2－x+1)a+x≥0,
显然x2－x+1>0,函数g(a)=(x2－x+1)a+x在a∈[－1,1]上递增,
从而得g(－1)≥0,即－x2+2x－1≥0,
解得x=1,所以实数x的取值是1.
16.(15分)已知函数f(x)=2x2－(a+2)x+a,a∈R.
(1)解关于x的不等式f(x)<0;
16.(15分)已知函数f(x)=2x2－(a+2)x+a,a∈R.
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