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第四章 因式分解章末复习（2）
浙教版七年级下册
标准结构----让改变发生
把一个多项式分解成几个整式积的形式叫因式分解 .
②右边是否是整式
③右边是否是乘积形式；
①左边是否是多项式
下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A.
B.
C.
D.
首项有负常提负
。
。
最大公因数
相同字母　
一看系数　
最低指数
二看字母　
三看指数
公因式的确定：
3
xy
x2y
3x2y
各项有公先提公
B
2.将多项式﹣2a2﹣2a因式分解提取公因式后，另一个因式是（　　）
A．a B．a+1 C．a﹣1 D．﹣a+1
除：多项式除以公因式，所得的商作为另一个因式
。
。
某项提出莫漏1
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。
把下列各式分解因式
a2 +2ab + b2 = （ a+b）2
a2－2ab+b2 =（a－b）2
16x2+40x+25= ( )2+2( )( )+( )2 =( + )2
=( )2- 2( )( )+( )2 =( - )2
4x
4x
4x
5
5
5
n
n
n
完全平方结构:
分解因式：
(1)m2＋4m＋4＝________； (2)x2+2x+1＝________．
(m＋2)2
(x＋1)2
特殊的完全平方式：1.二次项系数为1，
2. 常数项为一次项系数一半的平方
按照完全平方公式填空：
我们知道4x2+9不是一个多项式的完全平方，
请你在它的后面添加一个单项式，使得结果变为一个多项式的完全平方.
a2 +2ab + b2 = （ a+b）2
a2－2ab+b2 =（a－b）2
分组分解法：
分组的原则：分组后要能使因式分解继续下去
1、分组后可以提公因式
2、分组后可以运用公式
分解因式
① 3x+x2-y2-3y ② x2-2x-4y2+1
=(x2-y2)+(3x-3y)
=(x+y)(x-y)+3(x-y)
=(x-y)(x+y+3)
=x2-2x+1-4y2
=(x-1)2-(2y)2
=(x-1+2y)(x-1-2y)
分组分解三步曲
一般地，分组分解大致分为三步：
1.将原式的项适当分组；
2.对每一组进行处理（“提”或“代”）
3.将经过处理后的每一组当作一项，再采取“提”或“代”进行分解.
一位高明的棋手，在下棋时，决不会只看一步.
同样，在进行分组时，不仅要看到第二步，而且要看到第三步---单壿
分解因式: (1) x2 - 2xy + y2 - 9
(2) a2－4ab＋4b2－2a＋4b
＝(a2－4ab＋4b2)－(2a－4b)
＝(a－2b)2－2(a－2b)
＝(a－2b)(a－2b－2)
解：∵(x－2)(mx－n)
＝mx2－2mx－nx＋2n
＝mx2－(2m＋n)x＋2n
＝x2－5x＋6，
∴m＝1，2n＝6.∴m＝1，n＝3.
x2－5x＋6＝(x－2)(mx－n)
取x=0, 6＝－2(－n)
2n＝6,n＝3.
取x=1, 1-5+6＝（1－2）(m－3)
2＝-(m－3),m＝1.
因式分解-----待定系数法
则(x2+x+1)(x2+ax+b)= x4+(a+1)x3+(a+b+1)x2+(a+b)x+b
= x4 + x2 + 1,
a= -1，
b= 1.
∴
∴另一个因式是x2-x+1.
已知多项式 因式分解后有一个因式是 ，
则另一个因式是多少？
十字相乘法：
对于二次三项式的分解因式，借用一个十字叉帮助我们分解因式，这种方法叫做十字相乘法。
即：x2 ＋(p＋q)x＋pq=(x＋p)(x＋q)
x
x
p
q
px＋qx=(p＋q)x
x2
pq
(x+p)(x+q)
x2+(p+q)x+pq
=x2+(p+q)x+pq
= (x+p)(x+q)
整式乘法：
因式分解：
①竖分二次项与常数项；
②交叉相乘，求代数和， 使和等于一次项；
③检验确定，横写因式。
十字相乘法
顺口溜：
竖分常数交叉验，
横写因式不能乱。
x2+(p+q)x+pq=
x
x
p
q
px+qx=(p+q)x
∴x2+(p+q)x+pq
=(x+p)(x+q)
x2 + 3x + 2
1 + 2
1×2
1
1
1
2
1 +2 =3
x
x
1
2
x+2x=3x
=(x+1)(x+2)
拆常数项
，凑一次项
分解因式x2 +6x+8
=(x+2)(x+4)
x
x
2
4
4x+2x=6x
解：x2 +6x+8
变式：分解因式x2 -6x+8
解：x2-6x+8
=(x-2)(x-4)
x
x
-2
-4
-4x-2x=-6x
小结：常数项分解的一般规律：
①当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，
符号与一次项系数的符号相同；
竖分常数交叉验：
横写相乘不能乱
=(x-12)(x+5)
x
x
-12
5
-12x+5x=-7x
解：x2 -7x-60
变式：分解因式x2 +7x-60
解：x2+7x-60
=(x+12)(x-5)
x
x
12
-5
12x-5x=7x
小结：常数项分解的一般规律：
②当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，
其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同；
分解因式x2 -7x-60
1
1
1
1
竖分常数交叉验
横写相乘不能乱
问题1 在 的 中填上适当的数，使这个式子能在整数范围内分解因式.
我想试一试------自古成功在尝试
在每一时每一刻，不管你在做什么事情，
也不管这件事是简单还是困难，都要带着勇气去试一试。
试一试了，即使失败，也能吸取教训，在下一次取得成功。
但如果连试一试都不敢，那你就连成功的机会都灰飞烟灭了。
谢谢
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