资源简介 【标题】第5章 概 率【标题】5.1 随机事件与样本空间【标题】5.1.1 随机事件[新课程标准] [新学法解读]1.结合具体实例，理解样本点和有限样本空间的含义. 2.理解随机事件与样本点的关系. 引导学生认真阅读教材，并结合日常生活中的实例，认识随机试验、样本点、样本空间和有限样本空间的含义，并理清必然事件、不可能事件及随机事件与样本点的关系.＠课前精梳理 笔记 教材知识点 有限样本空间与随机试验1.有限样本空间与随机试验（1）随机试验对随机现象进行试验、观察或观测称为 随机试验 ，简称试验，常用字母 E 表示.一般研究的是具有以下特点的随机试验：①试验可以在相同条件下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果.（2）有限样本空间把随机试验E的每个可能的结果称为 样本点 ，用 ω 表示；全体样本点的集合称为试验E的 样本空间 ，用 Ω 表示.如果样本空间中样本点的个数是有限的，则称该样本空间为 有限样本空间 .2.事件的分类（1）随机事件将样本空间Ω的子集称为 随机事件 ，简称 事件 ，并把只包含一个样本点的事件称为 基本事件 .随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示.在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为 事件A 发生.（2）必然事件Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，称Ω为 必然事件 .（3）不可能事件空集 不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，称 为 不可能事件 .注意：必然事件与不可能事件不具有随机性.为了方便统一处理，将必然事件和不可能事件作为随机事件的两个极端情形.这样，每个事件都是样本空间Ω的一个子集. 重点 理解1.随机试验的三个特点（1）试验可以在相同条件下重复进行；（2）试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；（3）每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果.2.关于样本点和样本空间（1）样本点是指随机试验的每个可能的基本结果，全体样本点的集合称为试验的样本空间；（2）只讨论样本空间为有限集的情况，即有限样本空间.3.事件与基本事件（1）随机事件是样本空间的子集.随机事件是由若干个基本事件构成的，当然，基本事件也是随机事件.（2）必然事件与不可能事件不具有随机性，是随机事件的两个极端情形. 自我 排查1.下列事件：①长度为3，4，5的三条线段可以构成一个直角三角形；②经过有信号灯的路口，遇上红灯；③下周六是晴天.其中，是随机事件的是（ B ）A.①② B.②③ C.①③ D.②解析：①为必然事件；②③为随机事件.2.（多选）已知非空集合A，B，且集合A是集合B的真子集，则下列命题为真命题的是（ ACD ）A.“若x∈A，则x∈B”是必然事件B.“若x A，则x∈B”是不可能事件C.“若x∈B，则x∈A”是随机事件D.“若x B，则x A”是必然事件解析：由真子集的定义可知A，C，D是真命题，B是假命题.3.“李晓同学一次掷出3枚骰子，3枚全是6点”的事件是（ D ）A.不可能事件B.必然事件C.可能性较大的随机事件D.可能性较小的随机事件解析：掷出的3枚骰子全是6点，可能发生，但发生的可能性较小.4.从a，b，c，d中任取两个字母，则该试验的样本空间为Ω＝ {ab，ac，ad，bc，bd，cd} .解析：含a的有ab，ac，ad；不含a，含b的有bc，bd；不含a，b，含c的有cd.∴Ω＝{ab，ac，ad，bc，bd，cd}.＠课堂强研习 研习1 事件类型的判断[典例1] 指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件：（1）某人购买福利彩票一注，中奖500万元；（2）三角形的两边之和大于第三边；（3）没有空气和水，人类可以生存下去；（4）从分别标有1，2，3，4的四张标签中任取一张，抽到1号标签；（5）科学技术达到一定水平后，不需任何能量的“永动机”将会出现.[解] （1）购买一注彩票，可能中奖，也可能不中奖，所以是随机事件.（2）所有三角形的两边之和都大于第三边，所以是必然事件.（3）空气和水是人类生存的必要条件，没有空气和水，人类无法生存，所以是不可能事件.（4）任意抽取，可能得到1，2，3，4号标签中的任一张，所以是随机事件.（5）由能量守恒定律可知，不需任何能量的“永动机”不会出现，所以是不可能事件. 巧归纳对事件类型判断的两个关键点（1)条件：在一定条件下事件发生与否是与条件相对而言的，没有条件，无法判断事件是否发生；(2)结果发生与否：若一定发生的，则为必然事件，一定不发生的则为不可能事件，若不确定发生与否,则称其为随机事件,随机事件有时结果较复杂，要准确理解结果包含的各种情况．[练习1] 指出下列事件是必然事件、不可能事件，还是随机事件：（1）我国东南沿海某地明年将受到3次冷空气的侵袭；（2）抛掷硬币10次，至少有一次正面向上；（3）同一门炮向同一目标发射多枚炮弹，其中50％的炮弹击中目标；（4）没有水分，种子发芽.解：（1）我国东南沿海某地明年可能受到3次冷空气侵袭，也可能不是3次，是随机事件.（2）抛掷硬币10次，可能全是反面向上，也可能有正面向上，是随机事件.（3）同一门炮向同一目标发射，命中率可能是50％，也可能不是50％，是随机事件.（4）没有水分，种子不可能发芽，是不可能事件. 研习2 确定样本空间[典例2] 将一枚骰子先后抛掷两次，观察它们落地时朝上的面的点数，写出试验的样本空间.[解] （树状图法）一枚骰子先后抛掷两次的所有可能结果用树状图表示.如图所示： 试验的样本空间：Ω＝{（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6）}. 巧归纳确定样本空间的方法(1)当样本点个数较少时,可直接列举出所有样本点.(2)当样本点个数较多且相对复杂时，可采用树状图法，即用树状的图形把样本点列举出来（如本例).树状图法便于分析事件间的关系，对于较复杂的问题，可以作为一种分析问题的主要手段．[练习2] 袋中装有红、白、黄、黑除颜色外其他方面都相同的四个小球，从中任取一球的样本空间Ω1＝ {红，白，黄，黑} ，从中任取两球的样本空间Ω2＝ {（红，白），（红，黄），（红，黑），（白，黄），（白，黑），（黄，黑）} .解析：从中任取一球有4种可能，分别为红、白、黄、黑，构成的样本空间Ω1＝{红，白，黄，黑}.从中任取两球有6种可能，分别为（红，白），（红，黄），（红，黑），（白，黄），（白，黑），（黄，黑），构成的样本空间Ω2＝{（红，白），（红，黄），（红，黑），（白，黄），（白，黑），（黄，黑）}. 研习3 事件与事件的表示[典例3] 同时转动如图所示的两个转盘，记转盘甲得到的数为x，转盘乙得到的数为y，结果为（x，y）.（1）写出这个试验的样本空间；（2）求这个试验包含的样本点的总数；（3）用集合表示下列事件：①M＝“x＋y＝5”；②N＝“x＜3，且y＞1”；③T＝“xy＝4”.[解] （1）Ω＝{（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）}.（2）样本点总数为16.（3）①“x＋y＝5”包含以下4个样本点：（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）.所以M＝{（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）}.②“x＜3，且y＞1”包含以下6个样本点：（1，2），（1，3），（1，4），（2，2），（2，3），（2，4）.所以N＝{（1，2），（1，3），（1，4），（2，2），（2，3），（2，4）}.③“xy＝4”包含以下3个样本点：（1，4），（2，2），（4，1）.所以T＝{（1，4），（2，2），（4，1）}. 巧归纳（1)随机事件的结果是相对于条件而言的，要确定样本空间：①必须明确事件发生的条件；②根据题意,按一定的次序列出所有样本点．特别要注意结果出现的机会是均等的,按规律去写,要做到既不重复也不遗漏．(2）试验中,当试验的结果不唯一时，一定要将各种可能都考虑到,尤其是有顺序和无顺序的情况最易出错 [练习3] （1）[变设问]若本例条件不变，问题改为用集合表示事件：P＝“x＋y是偶数”.（2）[变设问]在本例的条件下，“xy是偶数”这一事件是必然事件吗？解：（1）“x＋y是偶数”包括两种情况，①x，y都是奇数；②x，y都是偶数，故“x＋y是偶数”这一事件包含以下8个样本点：（1，1），（1，3），（3，1），（3，3），（2，2），（2，4），（4，2），（4，4）.所以P＝{（1，1），（1，3），（3，1），（3，3），（2，2），（2，4），（4，2），（4，4）}.（2）当x，y均是奇数时，xy是奇数；当x，y中至少有一个是偶数时，xy是偶数，故“xy是偶数”这一事件是随机事件，而不是必然事件.＠课后提素养 1.为了丰富高一学生的课外生活，某校要组建数学、计算机、航空模型3个兴趣小组，小明要选报其中的2个，则样本点有（ C ）A.1个 B.2个C.3个 D.4个解析：样本点有（数学，计算机），（数学，航空模型），（计算机，航空模型），共3个.2.笼子中有4只鸡和3只兔，依次取出一只，直到3只兔全部取出，记录剩下的动物的脚数.则该试验的样本空间Ω＝ {0，2，4，6，8} .解析：最少需要取3次，最多需要取7次，那么剩余鸡的只数最多4只，最少0只，所以剩余动物的脚数可能是8，6，4，2，0.＠课时作业 一、选择题1.（多选）下列事件是随机事件的是（ BCD ）A.函数f（x）＝x2－2x＋1的图象关于直线x＝1对称B.某人给其朋友打电话，却忘记了朋友电话号码的最后一个数字，就随意拨了一个数字，恰巧是朋友的电话号码C.直线y＝kx＋6是定义在R上的增函数D.若｜a＋b｜＝｜a｜＋｜b｜，则a，b同号解析：A为必然事件；B，C为随机事件；对于D，当｜a＋b｜＝｜a｜＋｜b｜时，有两种可能：一种可能是a，b同号，即ab＞0，另外一种可能是a，b中至少有一个为0，即ab＝0.2.一个家庭有两个小孩儿，则两个小孩儿的性别情况的样本空间为（ C ）A.{（男，女），（男，男），（女，女）}B.{（男，女），（女，男）}C.{（男，男），（男，女），（女，男），（女，女）}D.{（男，男），（女，女）}解析：两个小孩有大小之分，所以（男，女）与（女，男）是不同的样本点，故选C.3.100件产品中，95件正品，5件次品，从中抽取6件：至少有1件正品；至少有3件是次品；6件都是次品；有2件次品、4件正品.以上四个事件中随机事件的个数是（ C ）A.3 B.4 C.2 D.1解析：100件产品中，95件正品，5件次品，从中抽取6件，在这个试验中：至少有1件产品是正品为必然事件；至少有3件次品，有2件次品、4件正品为随机事件；6件都是次品为不可能事件，所以随机事件的个数是2.4.先后抛掷均匀的一分、二分硬币各一枚，观察落地后硬币的正反面情况，则下列事件包含3个样本点的是（ A ）A.“至少一枚硬币正面向上”B.“只有一枚硬币正面向上”C.“两枚硬币都是正面向上”D.“两枚硬币一枚正面向上，另一枚反面向上”解析：“至少一枚硬币正面向上”包括“1分向上，2分向下”“1分向下，2分向上”，“1分、2分都向上”三个样本点，故选A.5.（多选）下面事件中是随机事件的是（ AB ）A.某项体育比赛出现平局B.抛掷一枚硬币，出现反面向上C.全球变暖会导致海平面上升D.一个三角形的三边长分别为1，2，36.抛掷两枚骰子一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为X，则“X≥5”表示的试验结果是（ D ）A.第一枚6点，第二枚2点B.第一枚5点，第二枚1点C.第一枚1点，第二枚6点D.第一枚6点，第二枚1点解析：接连抛掷两枚骰子，第一枚骰子和第二枚骰子点数之差是{X｜－5≤X≤5，X∈Z｜}，则“X≥5”表示的试验结果是第一枚6点，第二枚1点.二、填空题7.从1，2，3，…，10中任意选一个数，这个试验的样本空间为 Ω＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10} ，“它是偶数”这一事件包含的样本点个数为 5 .解析：任选一个数，共有10种不同选法，故样本空间为Ω＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，其中偶数共有5个，故“它是偶数”这一事件包含的样本点个数为5.8.连续抛掷一枚硬币3次，观察正面、反面朝上的情况.事件A“正面朝上的次数不超过反面朝上的次数”中含有 4 个样本点.解析：用1表示硬币“正面朝上”，用0表示硬币“反面朝上”，则A＝{（0，0，0），（1，0，0），（0，1，0），（0，0，1）.}9.质点O从直角坐标平面上的原点开始，等可能地向上、下、左、右四个方向移动，每次移动一个单位长度，观察该点平移4次后的坐标，则事件“平移后的点位于第一象限”是 随机 事件.解析：质点平移4次后，该点可能在第一象限，也可能不在第一象限，故是随机事件.10.写出下列试验的样本空间：（1）甲、乙两队进行一场足球赛，观察甲队比赛结果（包括平局） Ω＝{胜，平，负} ；（2）从含有6件次品的50件产品中任取4件，观察其中次品数 Ω＝{0，1，2，3，4} .解析：（1）对于甲队来说，有胜、平、负三种结果；（2）从含有6件次品的50件产品中任取4件，其次品的个数可能为0，1，2，3，4，不能再有其他结果.11.在200件产品中，有192件一级品，8件二级品，则下列事件：①在这200件产品中任意选出9件，全部是一级品；②在这200件产品中任意选出9件，全部是二级品；③在这200件产品中任意选出9件，不全是二级品；④在这200件产品中任意选出9件，其中不是一级品的件数小于10.其中 ③④ 是必然事件； ② 是不可能事件； ① 是随机事件.（填序号）解析：200件产品中，8件是二级品，现从中任意选出9件，当然不可能全是二级品，不是一级品的件数最多为8，小于10.12.将一枚质地均匀且四个面上分别标有1，2，3，4的正四面体先后抛掷两次，其底面落于桌面上，记第一次朝下面的数字为x，第二次朝下面的数字为y.用（x，y）表示一个样本点.则满足条件“为整数”这一事件包含样本点个数为 8 个.解析：先后抛掷两次正四面体，该试验的样本空间Ω＝{（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）}.共16个样本点.若A表示满足条件“为整数”的事件，则A＝{（1，1），（2，1），（2，2），（3，1），（3，3），（4，1），（4，2），（4，4）}，共8个样本点.三、解答题13.从1，2，3，4中任取三个数字组成三位数，写出该试验的样本空间.解：画出树状图，如图： 由图可知样本空间Ω＝{123，124，132，134，142，143，213，214，231，234，241，243，312，314，321，324，341，342，412，413，421，423，431，432}.14.甲、乙两人做猜拳游戏（锤、剪、布）.（1）写出样本空间；（2）写出事件“甲赢”；（3）写出事件“平局”.解：甲、乙两人猜拳，甲的出拳情况用x表示，乙的用y表示，那么实验的样本点可用（x，y）表示.（1）Ω＝{（锤，剪），（锤，布），（锤，锤），（剪，锤），（剪，剪），（剪，布），（布，锤），（布，剪），（布，布）}.（2）记“甲赢”为事件A，则A＝{（锤，剪），（剪，布），（布，锤）}.（3）记“平局”为事件B，则B＝{（锤，锤），（剪，剪），（布，布）}.15.从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的3件产品中每次任取1件，每次取出后不放回，连续取两次.（1）写出这个试验的样本空间；（2）设A为“取出的两件产品中恰有一件次品”，写出集合A；（3）把“每次取出后不放回”这一条件换成“每次取出后放回”，其余条件不变，请继续回答上述两个问题.解：（1）样本空间为Ω1＝{（a1，a2），（a1，b1），（a2，a1），（a2，b1），（b1，a1），（b1，a2）}.（2）A＝{（a1，b1），（a2，b1），（b1，a1），（b1，a2）}.（3）若改为取出后放回，则样本空间为Ω2＝{（a1，a1），（a1，a2），（a1，b1），（a2，a1），（a2，a2），（a2，b1），（b1，a1），（b1，a2），（b1，b1）}，A＝{（a1，b1），（a2，b1），（b1，a1），（b1，a2）}.16.设有一列北上的火车，已知停靠的站由南至北分别为S1，S2，…，S10站.若甲在S3站买票，乙在S6站买票，设样本空间Ω表示火车所有可能停靠的站，令A表示甲可能到达的站的集合，B表示乙可能到达的站的集合.（1）写出该事件的样本空间Ω；（2）写出事件A，事件B包含的样本点的集合；（3）铁路局需为该列车准备多少种北上的车票？解：（1）Ω＝{S1，S2，S3，S4，S5，S6，S7，S8，S9，S10}.（2）A＝{S4，S5，S6，S7，S8，S9，S10}；B＝{S7，S8，S9，S10}.（3）铁路局需要准备从S1站发车的车票共计9种，从S2站发车的车票共计8种，…，从S9站发车的车票1种，合计共9＋8＋…＋2＋1＝45种.【标题】5.1.2 事件的运算[新课程标准] [新学法解读]1.了解随机事件的并、交与互斥、对立的含义，能结合实例进行随机事件的并、交运算. 2.通过实例，了解并、交事件概率的有关性质，掌握随机事件概率的运算法则. 借助集合间的关系及运算理解事件的相等与包含、事件的和（并）、事件的积（交）以及事件的互斥与对立.＠课前精梳理 笔记 教材知识点 事件的关系和运算事件的关系和运算 含义 符号表示包含 A发生导致B发生 A B并事件（和事件） A发生或B发生 A∪B或A＋B交事件（积事件） A与B同时发生 A∩B或AB互斥（互不相容） A∩B为不可能事件 A∩B＝ A与B的差 A发生而B不发生 A\B互为对立 A与B有且仅有一个发生 A∩B＝ ，A∪B＝Ω 重点 理解事件的运算事件A与事件B的并事件（和事件） 事件A与事件B至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中 A∪B （或A＋B）事件A与事件B的交事件（积事件） 事件A与事件B同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中 A∩B （或AB）事件A与事件B的差 事件A发生而事件B不发生 A\B事件A的对立事件 事件A不发生 Ω\A或说明：1.互斥事件与对立事件的区别与联系（1）区别：两个事件A与B是互斥事件，包括如下三种情况：①若事件A发生，则事件B就不发生；②若事件B发生，则事件A就不发生；③事件A，B都不发生.而两个事件A，B是对立事件，仅有前两种情况，因此事件A与B是对立事件，则A∪B是必然事件，但若A与B是互斥事件，则A∪B不一定是必然事件，即事件A的对立事件只有一个，而事件A的互斥事件可以有多个.（2）联系：互斥事件和对立事件在一次试验中都不可能同时发生，而事件对立是互斥的特殊情况，即对立必互斥，但互斥不一定对立.2.从集合的角度理解互斥事件与对立事件（1）几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集.（2）事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集. 自我 排查1.同时掷两枚硬币，向上面都是正面的事件为A，向上面至少有一枚是正面为事件B，则有（ A ）A.A B B.A B C.A＝B D.A＜B解析：由事件的包含关系知A B.2.掷一枚质地均匀的骰子，设事件A＝{出现的点数不大于3}，B＝{出现的点数为偶数}，则事件A与事件B的关系是（ B ）A.A BB.A∩B＝{出现的点数为2}C.事件A与B互斥D.事件A与B是对立事件解析：由题意知，事件A表示出现的点数是1或2或3；事件B表示出现的点数是2或4或6.故A∩B＝{出现的点数为2}.3.一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（ D ）A.至多有一次中靶B.两次都中靶C.只有一次中靶D.两次都不中靶解析：事件“至少有一次中靶”包括“中靶一次”和“中靶两次”两种情况.由互斥事件的定义，可知“两次都不中靶”与之互斥.4.（多选）给出以下结论，正确的是（ BC ）A.互斥事件一定对立B.对立事件一定互斥C.互斥事件不一定对立D.事件A与B的和事件一定大于事件A解析：对立必互斥，互斥不一定对立，故B，C对，A错；对于D，A （A∪B），即A与B的和事件包含事件A，但两个事件不能比较大小，故D错.5.从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球观察颜色.设事件A为“所取两个球至少有一个白球”，事件B为“所取两个球恰有一个红球”，则A∩B表示的事件为 恰有一个红球 .解析：因为从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，这一随机试验的样本空间Ω＝{（白，白），（白，红），（红，红）}，且A＝{（白，红），（白，白）}，B＝{（白，红）}，所以A∩B＝{（白，红）}.故A∩B表示的事件为恰有一个红球.＠课堂强研习 研习1 事件间关系的判断[典例1] 某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，判断下列每组事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件：（1）“恰有1名男生”与“恰有2名男生”；（2）“至少有1名男生”与“全是男生”；（3）“至少有1名男生”与“全是女生”；（4）“至少有1名男生”与“至少有1名女生”.[解] 从3名男生和2名女生中任选2人有如下三种结果：2名男生，2名女生，1男1女.（1）“恰有1名男生”指1男1女，与“恰有2名男生”不能同时发生，它们是互斥事件；但是当选取的结果是2名女生时，该两事件都不发生，所以它们不是对立事件.（2）“至少有1名男生”包括2名男生和1男1女两种结果，与事件“全是男生”可能同时发生，所以它们不是互斥事件.（3）“至少有1名男生”与“全是女生”不可能同时发生，所以它们互斥，由于它们必有一个发生.所以它们是对立事件.（4）“至少有1名女生”包括1男1女与2名女生两种结果，当选出的是1男1女时，“至少有一名男生”与“至少一名女生”同时发生，所以它们不是互斥事件. 巧归纳判断事件间关系的方法(1)要考虑试验的前提条件，无论是包含、相等，还是互斥、对立，其发生的条件都是一样的.（2)考虑事件间的结果是否有交事件,可考虑利用Venn图分析,对较难判断关系的,也可列出全部结果，再进行分析．[练习1] 从40张扑克牌（红桃、黑桃、方块、梅花点数从1～10各10张）中任抽取1张，判断下列给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由.（1）“抽出红桃”与“抽出黑桃”；（2）“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；（3）“抽出牌的点数为5的倍数”与“抽出牌的点数大于9”.解：（1）是互斥事件，不是对立事件.理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件.同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此二者不是对立事件.（2）既是互斥事件，又是对立事件.理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”两个事件不可能同时发生，且其中必有一个发生，因此它们既是互斥事件，又是对立事件.（3）不是互斥事件，当然不可能是对立事件.理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张.“抽出牌的点数为5的倍数”与“抽出牌的点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽出牌的点数为10，因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件. 研习2 事件的运算[典例2] 在掷骰子的试验中，可以定义许多事件.例如，事件C1＝{出现1点}，事件C2＝{出现2点}，事件C3＝{出现3点}，事件C4＝{出现4点}，事件C5＝{出现5点}，事件C6＝{出现6点}，事件D1＝{出现的点数不大于1}，事件D2＝{出现的点数大于3}，事件D3＝{出现的点数小于5}，事件E＝{出现的点数小于7}，事件F＝{出现的点数为偶数}，事件G＝{出现的点数为奇数}，请根据上述定义的事件，回答下列问题：（1）请举出符合包含关系、相等关系的事件；（2）利用和事件的定义，判断上述哪些事件是和事件.[解] （1）因为事件C1，C2，C3，C4发生，则事件D3必发生，所以C1 D3，C2 D3，C3 D3，C4 D3.同理可得，事件E包含事件C1，C2，C3，C4，C5，C6；事件D2包含事件C4，C5，C6；事件F包含事件C2，C4，C6；事件G包含事件C1，C3，C5.且易知事件C1与事件D1相等，即C1＝D1.（2）因为事件D2＝{出现的点数大于3}＝{出现4点或出现5点或出现6点}，所以D2＝C4∪C5∪C6（或D2＝C4＋C5＋C6）.同理可得，D3＝C1∪C2∪C3∪C4，E＝C1∪C2∪C3∪C4∪C5∪C6，F＝C2∪C4∪C6，G＝C1∪C3∪C5. 巧归纳事件运算应注意的2个问题(1)进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考查同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可利用Venn图或列出全部的试验结果进行分析.(2)在一些比较简单的题目中,需要判断事件之间的关系时,可以根据常识来判断．但如果遇到比较复杂的题目，就得严格按照事件之间关系的定义来推理. [练习2] 盒中有标号1～3的同样的白球各1个，标号1～2的同样黑球各1个，从中倒出3个，观察结果，写出样本空间.（1）用集合A表示事件“3个都是白球”；（2）用集合B表示事件“至少2个白球”；（3）用集合C表示事件“至少1个白球”；（4）计算A∪B，A∩B，A\B，C\B，并解释它们的含义.解：设标号1～3的白球为a，b，c，标号1～2的黑球为e，f，则全集Ω＝{abc，abe，abf，ace，acf，bce，bcf，aef，bef，cef}.（1）A＝{abc}.（2）B＝{abe，abf，ace，acf，bce，bcf，abc}.（3）C＝Ω＝{abc，abe，abf，ace，acf，bce，bcf，aef，bef，cef}.（4）A∪B＝B，至少2个白球.A∩B＝A，3个都是白球.A\B＝ ，不可能事件.C\B＝{aef，bef，cef}，有1个白球.＠课后提素养 1.给出事件A与B的关系示意图，如图所示，则（ C ）A.A BB.A BC.A与B互斥D.A与B互为对立事件解析：由互斥事件的定义可知，C正确.故选C.2.抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，事件E＝{向上的点数为偶数}，F＝{向上的点数为质数}，则E∩F＝ {向上的点数为2} .解析：E＝{向上的点数为偶数}＝{2，4，6}，F＝{向上的点数为质数}＝{2，3，5}，∴E∩F＝{向上的点数为2}.3.盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝{3个球中有1个红球、2个白球}，事件B＝{3个球中有2个红球、1个白球}，事件C＝{3个球中至少有1个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}.问：（1）事件D与A，B是什么样的运算关系？（2）事件C与A的交事件是什么事件？（3）设事件E＝{3个红球}，事件F＝{3个球中至少有1个白球}，那么事件C与B，E是什么运算关系？C与F的交事件是什么？解：（1）对于事件D，可能的结果为1个红球、2个白球或2个红球、1个白球，故D＝A∪B.（2）对于事件C，可能的结果为1个红球2个白球或2个红球1个白球或3个均为红球，故C∩A＝A.（3）由事件C包括的可能结果有1个红球2个白球，2个红球1个白球，3个红球三种情况，故B C，E C，而事件F包括的可能结果有1个白球2个红球，2个白球1个红球，3个白球，所以C∩F＝{1个红球2个白球，2个红球1个白球}＝D.＠课时作业 一、选择题1.（多选）从一批产品（既有正品也有次品）中取出三件产品，设A＝{三件产品全不是次品}，B＝{三件产品全是次品}，C＝{三件产品有次品，但不全是次品}，则下列结论中正确的是（ ABC ）A.A与C互斥 B.B与C互斥C.任何两个都互斥 D.A与B对立2.（多选）对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A＝{两弹都击中飞机}，事件B＝{两弹都没击中飞机}，事件C＝{恰有一弹击中飞机}，事件D＝{至少有一弹击中飞机}，下列关系正确的是（ ABC ）A.A D B.B∩D＝ C.A∪C＝D D.A∪C＝B∪D解析：“恰有一弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没中或第一枚没中第二枚击中，“至少有一弹击中”包含两种情况：一种是恰有一弹击中，一种是两弹都击中，∴A∪C≠B∪D，故D不正确，A，B，C正确.3.奥林匹克会旗中央有5个互相套连的圆环，颜色自左至右，上方依次为蓝、黑、红，下方依次为黄、绿，象征着五大洲.在手工课上，老师将这5个环发给甲、乙、丙、丁、戊五位同学制作，每人分得1个，则事件“甲分得红色”与“乙分得红色”（ C ）A.是对立事件 B.互斥且对立C.互斥但不对立 D.不是互斥事件解析：甲、乙不能同时得到红色，因而这两个事件是互斥事件；又甲、乙可能都得不到红色；即“甲或乙分得红色”的事件不是必然事件，所以这两个事件不是对立事件.故选C.4.一箱产品有正品4件、次品3件，从中任取2件，有如下事件：①“恰有1件次品”和“2件都是次品”②“至少有1件次品”和“都是次品”；③“至少有1件正品”和“至少有1件次品”；④“至少有1件次品”和“都是正品”.其中互斥事件有（ B ）A.1组 B.2组 C.3组 D.4组解析：对于①，“恰有1件次品”就是“1件正品，1件次品”，与“2件都是次品”显然是互斥事件；对于②，“至少有1件次品”包括“恰有1件次品”和“2件都是次品”，与“都是次品”可能同时发生，因此这两个事件不是互斥事件；对于③，“至少有1件正品”包括“恰有1件正品”和“2件都是正品”，与“至少有1件次品”可能同时发生，因此这两个事件不是互斥事件；对于④“至少有1件次品”包括“恰有1件次品”和“2件都是次品”，与“都是正品”显然是互斥事件，故①④是互斥事件.5.（多选）下列各组事件中是互斥事件的是（ ACD ）A.一个射手进行一次射击，命中环数大于8与命中环数小于6B.统计一个班的数学成绩，平均分不低于90分与平均分不高于90分C.播种100粒菜籽，发芽90粒与发芽80粒D.检验某种产品，合格率高于70％与合格率低于70％解析：对于A，一个射手进行一次射击，命中环数大于8与命中环数小于6，不可能同时发生，故A中两事件为互斥事件；对于B，设事件A1为平均分不低于90分，事件A2为平均分不高于90分，则A1∩A2为平均分等于90分，A1，A2可能同时发生，故它们不是互斥事件；对于C，播种菜籽100粒，发芽90粒与发芽80粒，不可能同时发生，故C中两事件为互斥事件；对于D，检验某种产品，合格率高于70％与合格率低于70％，不可能同时发生，故D中两事件为互斥事件.二、填空题6.打靶三次，事件Ai表示“击中i次”，i＝0，1，2，3，则“至少有一次击中靶子”这一事件用事件的交、并运算应表示为 A1∪A2∪A3（或A1＋A2＋A3） .解析：因A0，A1，A2，A3彼此互斥，“至少有一次击中”包含击中一次A1，击中二次A2或击中三次A3这三个事件的并事件，应表示为A1∪A2∪A3（或A1＋A2＋A3）.7.把红、黑、蓝、白四张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四个人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”的关系是 互斥但不对立 .解析：因为红牌只有1张，甲、乙不能同时得到红牌，所以两事件为互斥事件，但甲、乙可能都得不到红牌，即两事件有可能都不发生，故两事件互斥但不对立.8.抛掷一枚质地均匀的骰子，记事件A为“落地时向上一面的数是奇数”，B为事件“落地时向上一面的数是偶数”，C为事件“落地时向上一面的数是3的倍数”.其中是互斥事件的是 A，B ，是对立事件的是 A，B .解析：A，B既是互斥事件，也是对立事件.9.在抛掷骰子的试验中，可以得到以下事件：A＝{出现1点}；B＝{出现2点}；C＝{出现3点}；D＝{出现4点}；E＝{出现5点}；F＝{出现6点}；G＝{出现的点数不大于1}；H＝{出现的点数小于5}；I＝{出现奇数点}；J＝{出现偶数点}.请根据这些事件，判断下列事件的关系：（1）B H；（2）D J；（3）E I；（4）A ＝ G.解析：当事件B发生时，H必然发生，故B H；同理D J，E I，而事件A与G相等，即A＝G.三、解答题10.从1，2，…，9中任取两数：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个数都是奇数；③至少有一个奇数和两个都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数.在上述事件中，是对立事件的有几对？并指出是哪几对.解：①，②，④可同时发生，不是对立事件；对于③至少有一个奇数包括有一个偶数一个奇数和两个数都是奇数，显然与两个都是偶数是对立事件.故对立事件有1对，是③.11.抛掷3枚硬币，观察结果.（1）用集合A表示事件“至少一枚反面朝上”；（2）用集合B表示事件“至少2枚反面朝上”；（3）用集合C表示事件“恰好2枚反面朝上”；（4）计算A∩C，Ω\A，并解释含义.解：用H表示正面朝上，T表示反面朝上，则Ω＝{HHH，HHT，HTH，THH，HTT，THT，TTH，TTT}.（1）A＝{HHT，HTH，THH，HTT，THT，TTH，TTT}.（2）B＝{HTT，THT，TTH，TTT}.（3）C＝{HTT，THT，TTH}.（4）A∩C＝C＝{HTT，THT，TTH}，恰好2枚反面朝上；Ω\A＝{HHH}，3枚都正面朝上.12.一个袋中有2个红球，2个白球，从中摸出两个球，记“摸出的两球是红球”为事件A，“摸出的两球是白球”为事件B，“摸出的两球是一红一白”为事件C，“摸出的两球至少有一个是红球”为事件D，“摸出的两球至少有一个是白球”为事件E.则（1）若事件A发生，事件D发生吗？它们是什么关系？（2）若事件C发生，则事件D会发生吗？事件A，C，D之间有何关系？（3）若事件C发生，那么事件E会发生吗？事件C，D，E又有何关系？（4）事件A与事件B能同时发生吗？事件A与事件E能同时发生吗？事件A与事件E的并事件是什么事件？交事件又是什么事件？解：（1）事件A发生，则事件D一定发生；它们是包含关系.（2）事件C发生，则事件D一定会发生；事件D包含事件A和事件C两个事件.（3）若事件C发生，那么事件E一定会发生；事件D、事件E均包含事件C.（4）事件A与事件B不能同时发生；事件A与事件E也不能同时发生；A∪E是必然事件；A∩E是不可能事件.【标题】5.2 概率及运算【标题】5.2.1 古典概型[新课程标准] [新学法解读]1.结合具体实例，理解古典概型. 2.能计算古典概型中简单随机事件的概率. 1.能够掌握古典概型的基本特征，根据实际问题构建概率模型，解决简单的实际问题. 2.会用求古典概型的公式方法求解概率问题.＠课前精梳理 笔记 教材知识点1 古典概型1.概念（1）有限性： 样本空间的样本点只有有限个 ；（2）等可能性： 每个样本点发生的可能性相等 .将具有以上两个特征的试验称为 古典概型试验 ，其数学模型称为 古典概率模型 ，简称 古典概型 .2.古典概型的概率公式一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P（A）＝ .其中，n（A）和n（Ω）分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数. 知识点2 概率的基本性质一般地，概率有如下性质：性质1：对任意的事件A，都有P（A）≥0.性质2：必然事件的概率为 1 ，不可能事件的概率为 0 ，即 P（Ω）＝1 ， P（ ）＝0 . 重点 理解1.随机试验E中的样本点（1）任何两个样本点都是互斥的；（2）任何事件（除不可能事件）都可以表示成某些样本点的和.2.求解古典概型问题的一般思路（1）明确试验的条件及要观察的结果，用适当的符号（字母、数字、数组等）表示试验的样本点（借助图表可以帮助我们不重不漏地列出所有样本点）；（2）根据实际问题情景判断样本点的等可能性；（3）计算样本点总个数及事件A包含的样本点个数，求出事件A的概率. 自我 排查1.下列试验中，属于古典概型的是（ C ）A.种下一粒种子，观察它是否发芽B.从规格直径为250 mm±0.6 mm的一批合格产品中任意抽一根，测量其直径dC.抛掷一枚硬币，观察其出现正面或反面D.某人射击中靶或不中靶解析：依据古典概型的特点判断，只有C项满足：①样本空间的样本点只有有限个；②每个样本点发生的可能性相等.2.某班准备到郊外野营，为此向商店定了帐篷，如果下雨与不下雨是等可能的，能否准时收到帐篷也是等可能的，只要帐篷如期收到，他们就不会淋雨，则下列说法正确的是（ D ）A.一定不会淋雨B.淋雨的可能性为C.淋雨的可能性为D.淋雨的可能性为解析：所有可能的事件有“下雨帐篷到”，“下雨帐篷未到”，“不下雨帐篷到”，“不下雨帐篷未到”4种情况，而只有“下雨帐篷未到”时会淋雨，故淋雨的可能性为，故选D.3.从甲、乙、丙三人中任选两人担任课代表，甲被选中的概率为 （ C ）A. B. C. D.1解析：从甲、乙、丙三人中任选两人有：（甲，乙），（甲，丙），（乙，丙），共3种情况，其中，甲被选中的情况有2种，故甲被选中的概率为P＝.4.从1，2，3，4这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率为 .解析：从1，2，3，4中一次随机地取两个数，此试验的样本空间共有以下6种取法：（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）.其中一个数是另一个数的两倍的共有（1，2），（2，4）两种.所以所求概率为.＠课堂强研习 研习1 古典概型的判断[典例1] 判断下列概率模型中哪些是古典概型，为什么？①从区间[1，10]内任意取出一个数，求取到1的概率；②从含有1的10个整数中任意取出一个数，求取到1的概率；③向一个正方形ABCD内投掷一点P，求P恰好与A点重合的概率；④向上抛掷一枚不均匀的旧硬币，求正面朝上的概率.[解] 根据古典概型的特征进行考虑，①③中样本点有无限多个，因此不属于古典概型.④中硬币不均匀，则“正面朝上”“反面朝上”出现的可能性不相等，不是古典概型.②从含有1的10个整数中任取1个整数，其样本点总数为10，是有限的，且每个数取到的可能性相等，故②为古典概型. 巧归纳判断一个实验是不是古典概型要抓住两点：一是有限性；二是等可能性.[练习1] 某同学随机地向一靶心进行射击，这一试验的结果只有有限个：命中10环、命中9环、……、命中5环和不中环.你认为这是古典概型吗？为什么？解：不是古典概型，因为试验的所有可能结果只有7个，而命中10环、命中9环、……、命中5环和不中环的出现不是等可能的，即不满足古典概型的第二个特征. 研习2 样本点的计数问题[典例2] （1）4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的所有样本点个数为（ C ）A.2 B.3 C.4 D.6[解析] 用列举法列举出“数字之和为奇数”的可能结果为：（1，2），（1，4），（2，3），（3，4），共4种可能.（2）连续掷3枚质地均匀的硬币，观察这3枚硬币落在地面上时是正面朝上还是反面朝上.①写出这个试验的所有样本点；②求这个试验的样本点的总数；③“恰有两枚硬币正面朝上”这一事件包含哪些样本点？[解] ①这个试验包含的样本点有：（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正），（正，反，反），（反，正，反），（反，反，正），（反，反，反）.②这个试验包含的样本点的总数是8.③“恰有两枚硬币正面朝上”这一事件包含以下3个样本点：（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正）. 巧归纳随机试验中样本点的探求方法(1)列举法：把试验的全部结果一一列举出来．此方法适合于较为简单的试验问题.(2)树状图法：树状图法是使用树状的图形把样本点列举出来的一种方法，树状图法便于分析样本点间的关系，对于较复杂的问题，可以作为一种分析问题的主要手段，树状图法适用于较复杂的试验的题目[练习2] 将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次，“出现的点数之和大于8”包含几个样本点？解：（树状图法）一枚骰子先后抛掷两次的所有可能结果用树状图表示.如图所示： “点数之和大于8”包含10个样本点（已用“√”标出）. 研习3 简单的古典概型的概率计算[典例3] 袋中有6个大小质地完全相同的球，其中4个白球，2个红球，从袋中任意取出两球，求下列事件的概率：（1）A：取出的两球都是白球；（2）B：取出的两球一个是白球，另一个是红球.[解] 设4个白球的编号为1，2，3，4，2个红球的编号为5，6.从袋中的6个球中任取2个球的样本空间Ω＝{（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6）}，共有15个样本点.（1）因为A＝{（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）}，所以n（A）＝6，从而P（A）＝.（2）因为B＝{（1，5），（1，6），（2，5），（2，6），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6）}，所以n（B）＝8，从而P（B）＝. 巧归纳求解古典概型的概率“四步”法[练习3] 生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标.若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为（ B ）A. B. C. D.解析：设5只兔子中测量过某项指标的3只为a1，a2，a3，未测量过这项指标的2只为b1，b2，则从5只兔子中随机取出3只的所有可能情况为（a1，a2，a3），（a1，a2，b1），（a1，a2，b2），（a1，a3，b1），（a1，a3，b2），（a1，b1，b2），（a2，a3，b1），（a2，a3，b2），（a2，b1，b2），（a3，b1，b2），共10种可能.其中恰有2只测量过该指标的情况为（a1，a2，b1），（a1，a2，b2），（a1，a3，b1），（a1，a3，b2），（a2，a3，b1），（a2，a3，b2），共6种可能.故恰有2只测量过该指标的概率为.故选B. 研习4 含“有放回”抽取的古典概型问题[典例4] 小李在做一份调查问卷，共有5道题，其中有两种题型，一种是选择题，共3道，另一种是填空题，共2道.（1）小李从中任选2道题解答，每一次选1题（不放回），求所选的题不是同一种题型的概率；（2）小李从中任选2道题解答，每一次选1题（有放回），求所选的题不是同一种题型的概率.[解] 将3道选择题依次编号为1，2，3，2道填空题依次编号为4，5.（1）从5道题中任选2道题解答，每一次选1题（不放回），则样本空间Ω1＝{（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，1），（2，3），（2，4），（2，5），（3，1），（3，2），（3，4），（3，5），（4，1），（4，2），（4，3），（4，5），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4）}，共20个样本点，而且这些样本点发生的可能性是相等的.设事件A＝“所选的题不是同一种题型”，则事件A＝{（1，4），（1，5），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，1），（4，2），（4，3），（5，1），（5，2），（5，3）}，共12个样本点，所以P（A）＝＝0.6.（2）从5道题中任选2道题解答，每一次选1题（有放回），则样本空间Ω2＝{（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5）}，共25个样本点，而且这些样本点发生的可能性是相等的.设事件B＝“所选的题不是同一种题型”，由（1）知所选的题不是同一种题型的样本点共12个，所以P（B）＝＝0.48. 巧归纳解决有序和无序问题应注意两点(1)关于不放回抽样，计算样本点个数时，既可以看做是有顺序的，也可以看做是无顺序的，其最后结果是一致的．但不论选择哪一种方式，观察的角度必须一致，否则会产生错误.(2)关于有放回抽样,应注意在连续取出两次的过程中,因为先后顺序不同，所以(a,ｂ），（ｂ,a）不是同一个样本点.解题的关键是要清楚无论是“不放回抽取”还是“有放回抽取”，每一件产品被取出的机会都是均等的. [练习4] 从含有两件正品a1，a2和一件次品b的三件产品中，每次任取一件.（1）若每次取出后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率；（2）若每次取出后放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率.解：（1）每次取出一个，取出后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的样本点有6个，即（a1，a2），（a1，b），（a2，a1），（a2，b），（b，a1），（b，a2）.其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品.总的事件个数为6，而且可以认为这些样本点是等可能的.设事件A＝“取出的两件中恰有一件次品”，所以A＝{（a1，b），（a2，b），（b，a1），（b，a2）}，所以n（A）＝4，从而P（A）＝.（2）有放回地连续取出两件，其所有可能的结果为（a1，a1），（a1，a2），（a1，b），（a2，a1），（a2，a2），（a2，b），（b，a1），（b，a2），（b，b），共9个样本点组成.由于每一件产品被取到的机会均等，因此可以认为这些样本点的出现是等可能的.设事件B＝“恰有一件次品”，则B＝{（a1，b），（a2，b），（b，a1），（b，a2）}，所以n（B）＝4，从而P（B）＝.＠课后提素养 1.下列关于古典概型的说法中正确的是（ B ）①样本空间的样本点只有有限个；②每个事件出现的可能性相等；③每个样本点发生的可能性相等；④样本点的总数为n，随机事件A若包含k个样本点，则P（A）＝.A.②④ B.①③④ C.①④ D.③④解析：根据古典概型的特征与公式进行判断，①③④正确，②不正确，故选B.2.某袋中有9个大小相同的球，其中有5个红球，4个白球，现从中任意取出1个，则取出的球恰好是白球的概率为（ C ）A. B. C. D.解析：袋中有9个大小相同的球，从中任意取出1个，共有9种取法.取出的球恰好是白球，共有4种取法.故取出的球恰好是白球的概率为.故选C.3.从1，2，3，4，5中任意取出两个不同的数，则其和为5的概率是 0.2 .解析：两数之和等于5有两种情况（1，4）和（2，3），总的样本点有：（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5），共10种，所以P＝＝0.2.＠课时作业 一、选择题1.下列是古典概型的是（ C ）A.任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为样本点B.求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为样本点时C.从甲地到乙地共n条路线，求某人正好选中最短路线的概率D.抛掷一枚质地不均匀硬币首次出现正面为止解析：A项中由于点数的和出现的可能性不相等，故A不是；B项中的样本点是无限的，故B不是；C项中满足古典概型的有限性和等可能性，故C是；D项中样本点既不是有限个也不具有等可能性，故D不是.2.甲、乙、丙三名学生随机站成一排，则甲站在边上的概率为（ B ）A. B. C. D.解析：甲、乙、丙三名学生随机站成一排，共有6种结果；甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲，其中甲站在边上的结果有4个，故所求的概率为.3.（多选）下列概率模型是古典概型的为（ ABD ）A.从6名同学中选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性大小B.同时掷两枚质地均匀的骰子，点数和为6的概率C.近三天中有一天降雨的概率D.10人站成一排，其中甲、乙相邻的概率解析：因为A、B、D符合古典概型的特征，所以A、B、D是古典概型；在C中，每天是否降雨受多方面因素影响，不具有等可能性，不是古典概型.故选ABD.4.在国庆阅兵中，某兵种A，B，C三个方阵按一定次序通过主席台，若先后次序是随机排定的，则B先于A，C通过的概率为（ B ）A. B. C. D.解析：用（A，B，C）表示A，B，C通过主席台的次序，则所有可能的次序有（A，B，C），（A，C，B），（B，A，C），（B，C，A），（C，A，B），（C，B，A），共6种，其中B先于A，C通过的有（B，C，A）和（B，A，C），共2种，故所求概率为.5.从数字1，2，3，4，5中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于40的概率是（ B ）A. B. C. D.解析：从数字1，2，3，4，5中任取两个不同的数字，一共能构成20个两位数：12，13，14，15，23，24，25，34，35，45，21，31，41，51，32，42，52，43，53，54，其中大于40的有8个，故所求的概率为.6.先后抛掷两枚质地均匀的正方体骰子（它们的六个面分别标有点数1，2，3，4，5，6），骰子朝上的面的点数分别为x，y，则log2xy＝1的概率为（ C ）A. B. C. D.解析：所有样本点的个数为6×6＝36.由log2xy＝1得2x＝y，其中x，y∈{1，2，3，4，5，6}，所以故事件“log2xy＝1”包含3个样本点，所以所求的概率为P＝.7.一次掷两枚质地均匀的正方体骰子，得到的点数为m和n，则关于x的方程x2＋（m＋n）x＋4＝0有实数根的概率是（ C ）A. B. C. D.解析：样本点共有36个.因为方程有实数根，所以Δ＝（m＋n）2－16≥0.所以m＋n≥4，其对立事件是m＋n＜4，其中有（1，1），（1，2），（2，1），共3个样本点.所以所求概率为1－.故选C.8.从{1，2，3，4，5}中随机选取一个数a，从{2，3，4}中随机选取一个数b，则b＞a的概率是（ C ）A. B. C. D.解析：此试验的样本空间Ω＝{（1，2），（1，3），（1，4），（2，2），（2，3），（2，4），（3，2），（3，3），（3，4），（4，2），（4，3），（4，4），（5，2），（5，3），（5，4）}，其中共有15个样本点.设事件A为“b＞a”，则A＝{（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）}，所以n（A）＝6，故所求的概率为P（A）＝.故选C.9.古代“五行”学说认为：“物质分金、木、水、火、土五种属性，金克木、木克土、土克水、水克火、火克金.”从五种不同属性的物质中随机抽取两种，则抽取的两种物质不相克的概率为（ C ）A. B. C. D.解析：从五种不同属性的物质中随机抽取两种，则样本空间Ω＝{（金，木），（金，水），（金，火），（金，土），（木，水），（木，火），（木，土），（水，火），（水，土），（火，土）}，共10个样本点.其中金克木，木克土，土克水，水克火，火克金，即相克的有5种，则不相克的也是5种，所以抽取的两种物质不相克的概率为.故选C.二、填空题10.在5瓶饮料中，有2瓶已经过了保质期，从中任取2瓶，取到的全是已过保质期的饮料的概率为 .解析：设过保质期的2瓶记为a，b，没过保质期的3瓶用1，2，3表示，试验的样本空间Ω＝{（1，2），（1，3），（1，a），（1，b），（2，3），（2，a），（2，b），（3，a），（3，b），（a，b）}，共10个样本点，2瓶都过保质期的样本点只有1个，∴P＝.11.从长度分别为2，3，4，5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是 .解析：此试验的样本空间Ω＝{（2，3，4），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5）}，共有4个样本点，设事件A“可构成三角形”，则A＝{（2，3，4），（2，4，5），（3，4，5）}，共有3个样本点，故P（A）＝.12.从3男3女共6名同学中任选2名（每名同学被选中的机会均等），这2名都是女同学的概率等于 .解析：设3名男同学分别为a1，a2，a3，3名女同学分别为b1，b2，b3，则试验的样本空间Ω＝{a1a2，a1a3，a2a3，a1b1，a1b2，a1b3，a2b1，a2b2，a2b3，a3b1，a3b2，a3b3，b1b2，b1b3，b2b3}，其中共有15个样本点.设事件A为“都是女同学”，则A＝{b1b2，b1b3，b2b3}，所以n（A）＝3.故P（A）＝.13.已知在两个袋内，分别装着写有0，1，2，3，4，5六个数字的6张卡片，从每个袋中各任取一张卡片，则两张卡片上数字之和等于7的概率为 .解析：试验结果如表所示：0 1 2 3 4 50 0 1 2 3 4 51 1 2 3 4 5 62 2 3 4 5 6 73 3 4 5 6 7 84 4 5 6 7 8 95 5 6 7 8 9 10由表可知，此试验的样本空间共有36个样本点，其中和为7的有4个样本点，∴所求事件的概率为.14.从1，2，3，4，5这5个数字中不放回地任取两数，则两数都是奇数的概率是 ，若有放回地任取两数，则两数都是偶数的概率是 .解析：从5个数字中不放回地任取两数，样本点有（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5），共10个.因为都为奇数的样本点有（1，3），（1，5），（3，5），共3个，所以所求概率P＝.从5个数字中有放回地任取两数，样本点共有25个，都为偶数的样本点有（2，4），（4，2），（2，2），（4，4）共4个，故概率P＝.三、解答题15.某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采取分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查.（1）求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；（2）若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析：①列出所有可能的抽取结果；②求抽取的2所学校均为小学的概率.解：（1）由分层抽样的定义知，从小学抽取的学校数目为6×＝3所，从中学抽取的学校数目为6×＝2所，从大学抽取的学校数目为6×＝1所.（2）①在抽取到的6所学校中，3所小学分别记为A1，A2，A3，2所中学分别记为A4，A5，1所大学记为A6，则抽取2所学校的样本空间Ω＝{（A1，A2），（A1，A3），（A1，A4），（A1，A5），（A1，A6），（A2，A3），（A2，A4），（A2，A5），（A2，A6），（A3，A4），（A3，A5），（A3，A6），（A4，A5），（A4，A6），（A5，A6）}，共15个样本点.②“抽取的2所学校均为小学”记为事件B，则B＝{（A1，A2），（A1，A3），（A2，A3）}，共3个样本点，所以P（B）＝.16.一个袋中装有四个形状、大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4.（1）从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；（2）先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n＜m＋2的概率.解：（1）从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有：1和2，1和3，1和4，2和3，2和4，3和4，共6个.从袋中取出的两个球的编号之和不大于4的事件有：1和2，1和3，共2个，因此所求事件的概率为P＝.（2）先从袋中随机取一个球，记下编号为m，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n，其一切可能的结果（m，n）有：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），共16个.又满足条件n＜m＋2的有（1，1），（1，2），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），共13个.所以满足条件n＜m＋2的事件的概率为P＝.17.海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量（单位：件）如表所示.工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.地区 A B C数量 50 150 100（1）求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量；（2）若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率.解：（1）因为样本量与总体中的个体数的比是，所以样本中包含三个地区的个体数量分别是50×＝1件，150×＝3件，100×＝2件，所以A，B，C三个地区的商品被抽取的件数分别为1，3，2.（2）设6件来自A，B，C三个地区的样品分别为A1；B1，B2，B3；C1，C2，则此试验的样本空间：Ω＝{（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，C1），（A1，C2），（B1，B2），（B1，B3），（B1，C1），（B1，C2），（B2，B3），（B2，C1），（B2，C2），（B3，C1），（B3，C2），（C1，C2）}.每个样品被抽到的机会均等，因此这些样本点出现的可能性相等.设事件D“抽取的这2件商品来自相同地区”，则D＝{（B1，B2），（B1，B3），（B2，B3），（C1，C2）}，所以n（D）＝4，从而P（D）＝，即这2件商品来自相同地区的概率为.【标题】5.2.2 概率的运算[新课程标准] [新学法解读]1.掌握互斥事件（概率加法公式）、对立事件概率的运算法则. 2.掌握一般概率加法公式. 1.掌握互斥事件、对立事件概率求法. 2.通过互斥事件概率加法公式的推广及对立事件概率的意义，培养学生的化归转化思想，提升数学运算核心素养.＠课前精梳理 笔记 教材知识点 概率的运算1.概率加法公式：如果Ω中的事件A与事件B互斥，那么 P（A∪B）＝P（A）＋P（B） .如果事件A1，A2，…，Am两两互斥，那么事件A1∪A2∪…∪Am发生的概率等于这m个事件分别发生的概率之和，即P（A1∪A2∪…∪Am）＝ P（A1）＋P（A2）＋…＋P（Am） .2.对立事件概率：如果A是样本空间Ω的事件，则P（）＝ 1－P（A） .一般概率加法公式：设A，B是一个随机试验中的两个事件，有P（A∪B）＝ P（A）＋P（B）－P（A∩B） .注意：概率加法公式是一般概率加法公式的特殊情况. 重点 理解1.概率的加法公式（1）当A与B互斥（即AB＝ ）时，有P（A∪B）＝P（A）＋P（B），这称为互斥事件的概率加法公式.（2）一般地，如果A1，A2，…，Am是两两互斥的事件，则P（A1∪A2∪…∪Am）＝P（A1）＋P（A2）＋…＋P（Am）.（3）P（A）＋P（）＝1.2.求复杂事件的概率的两种方法（1）将所求事件转化成彼此互斥事件的并事件；（2）先求其对立事件的概率，再求所求事件的概率. 自我 排查1.若A，B是互斥事件，P（A）＝0.2，P（A∪B）＝0.5，则P（B）等于（ A ）A.0.3 B.0.7 C.0.1 D.1解析：∵A，B是互斥事件，∴P（A∪B）＝P（A）＋P（B）＝0.5，∵P（A）＝0.2，∴P（B）＝0.5－0.2＝0.3.故选A.2.一个袋子里有4个红球，2个白球，6个黑球，若随机地摸出一个球，记A＝{摸出黑球}，B＝{摸出红球}，C＝{摸出白球}，则事件A∪B及B∪C的概率分别为（ A ）A. B.C. D.解析：P（A）＝，P（B）＝，P（C）＝.P（A∪B）＝P（A）＋P（B）＝.P（B∪C）＝P（B）＋P（C）＝.故选A.3.若事件A和B是互斥事件，且P（A）＝0.1，则P（B）的取值范围是（ A ）A.[0，0.9] B.[0.1，0.9]C.（0，0.9] D.[0，1]解析：由于事件A和B是互斥事件，则P（A∪B）＝P（A）＋P（B）＝0.1＋P（B），又0≤P（A∪B）≤1，所以0≤0.1＋P（B）≤1，所以0≤P（B）≤0.9.故选A.4.掷一枚均匀的正六面体骰子，设A表示事件“出现3点”，B表示事件“出现偶数点”，则P（A∪B）等于 .解析：显然事件A与事件B互斥，所以P（A∪B）＝P（A）＋P（B）＝.5.某城市2022年的空气质量状况如下表所示：污染指数T 30 60 100 110 130 140概率P其中污染指数T≤50时，空气质量为优；50＜T≤100时，空气质量为良；100＜T≤150时，空气质量为轻微污染.该城市2022年空气质量达到良或优的概率为 .解析：所求概率为P＝.＠课堂强研习 研习1 互斥事件、对立事件的概率[典例1] 某射击运动员在一次射击中射中10环、9环、8环、7环、7环以下的概率分别为0.1，0.2，0.3，0.3，0.1.计算这个运动员在一次射击中：（1）射中10环或9环的概率；（2）至少射中7环的概率.[解] 设“射中10环”“射中9环”“射中8环”“射中7环”“射中7环以下”的事件分别为A，B，C，D，E，（1）P（A∪B）＝P（A）＋P（B）＝0.1＋0.2＝0.3.所以射中10环或9环的概率为0.3.（2）因为射中7环以下的概率为0.1，所以由对立事件的概率公式得，至少射中7环的概率为1－0.1＝0.9. 巧归纳含“至多”至少”等词语的概率的计算(1)互斥事件的概率加法公式P(A∪B)=P(A)+P(B).(2）当求解的问题中有“至多”至少”最少”等关键词语时,常常考虑其反面,通过求其反面,然后转化为所求问题.[练习1] 经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数及相应的概率如下：排队人数 0 1 2 3 4 5人及5人以上概率 0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04求：（1）至多2人排队等候的概率是多少？（2）至少3人排队等候的概率是多少？解：记“无人排队等候”为事件A，“1人排队等候”为事件B，“2人排队等候”为事件C，“3人排队等候”为事件D，“4人排队等候”为事件E，“5人及5人以上排队等候”为事件F，则事件A，B，C，D，E，F互斥.（1）记“至多2人排队等候”为事件G，则G＝A∪B∪C，所以P（G）＝P（A∪B∪C）＝P（A）＋P（B）＋P（C）＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.（2）解法一：记“至少3人排队等候”为事件H，则H＝D∪E∪F，所以P（H）＝P（D∪E∪F）＝P（D）＋P（E）＋P（F）＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44.解法二：记“至少3人排队等候”为事件H，则其对立事件为事件G，所以P（H）＝1－P（G）＝0.44. 研习2 互斥事件与对立事件概率的综合问题[典例2] 在数学考试中，小明的成绩在90分（含90分）以上的概率是0.18，在80分～89分（包括89分，下同）的概率是0.51，在70分～79分的概率是0.15，在60分～69分的概率是0.09，在60分以下的概率是0.07，计算：（1）小明在数学考试中取得80分以上的成绩的概率；（2）小明数学考试及格的概率.[解] 分别记小明的数学成绩“在90分以上”“在80分～89分”“在70分～79分”“在60分～69分”为事件B，C，D，E，这四个事件彼此互斥，根据互斥事件的概率加法公式，得（1）小明的数学成绩在80分以上的概率是P（B∪C）＝P（B）＋P（C）＝0.18＋0.51＝0.69.（2）解法一：小明数学考试及格的概率是P（B∪C∪D∪E）＝P（B）＋P（C）＋P（D）＋P（E）＝0.18＋0.51＋0.15＋0.09＝0.93.解法二：小明数学考试不及格的概率是0.07，所以小明数学考试及格的概率是1－0.07＝0.93. 巧归纳化归转化思想的应用(1)互斥事件的概率加法公式P（A∪B)=P(A)十P（B)是一个非常重要的公式,运用公式解题时，首先要分清事件问是否互斥,同时要学会把一个事件拆分为几个互斥事件，然后求出各事件的概率,用加法公式得出结果.(2)当直接计算复合条件的事件的概率比较麻烦时，可间接地计算出其对立事件的概率,求得对立事件的概率，然后再用对立事件的概率公式求解. [练习2] （1）[变结论]本例条件不变，求小明在数学考试中取得80分以下的成绩的概率.（2）一盒中装有大小、质地完全相同的各种色球12个，其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球.从中随机取出1球，求：①取出的1球是红球或黑球的概率；②取出的1球是红球或黑球或白球的概率.解：（1）分别记小明的数学成绩“在90分以上”“在80～89分”“在70～79分”“在60～69分”“在60分以下”为事件A，B，C，D，E，则这五个事件彼此互斥.根据互斥事件的概率加法公式，小明的数学成绩在80分以下的概率是P（C∪D∪E）＝0.15＋0.09＋0.07＝0.31.（2）解法一：（利用互斥事件求概率）记事件A1＝{任取1球为红球}，A2＝{任取1球为黑球}，A3＝{任取1球为白球}，A4＝{任取1球为绿球}，则P（A1）＝，P（A2）＝，P（A3）＝，P（A4）＝. 根据题意知，事件A1，A2，A3，A4彼此互斥，由互斥事件的概率加法公式，得①取出的1球为红球或黑球的概率为P（A1∪A2）＝P（A1）＋P（A2）＝.②取出的1球为红球或黑球或白球的概率为P（A1∪A2∪A3）＝P（A1）＋P（A2）＋P（A3）＝.解法二：（利用对立事件求概率）①由解法一知，取出的1球为红球或黑球的对立事件为取出的1球为白球或绿球，即A1∪A2的对立事件为A3∪A4，所以取出的1球为红球或黑球的概率为P（A1∪A2）＝1－P（A3∪A4）＝1－P（A3）－P（A4）＝1－.②A1∪A2∪A3的对立事件为A4.所以P（A1∪A2∪A3）＝1－P（A4）＝1－. 研习3 一般概率加法公式[典例3] 甲、乙等四人参加4×100米接力赛，求甲跑第一棒或乙跑第四棒的概率.[解] 设事件A，B分别为“甲跑第一棒”，“乙跑第四棒”，则P（A）＝，P（B）＝.记x，y分别为甲，乙跑的棒数，记为（x，y），则共有可能结果12种：（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3）.则P（A∩B）＝.∴甲跑第一棒或乙跑第四棒的概率为P（A∪B）＝P（A）＋P（B）－P（A∩B）＝. 巧归纳（1)概率的一般加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P（B)－P（A∩B).公式使用中要注意：（1）公式的作用是求A∪B的概率，当A∩B＝ 必时, A、B互斥,此时P(A∩B)＝0.所以P(A∪B)＝P(A)＋P（B)；（2）要计算P(A∪B)，需要求P(A)、P（B),更重要的是把握事件A∩B,并求其概率；（3）该公武可以看作一个方程，知三可求一.[练习3] 从1，2，3，…，10中任选一个数，求下列事件的概率：（1）它是偶数；（2）它能被3整除；（3）它是偶数且能被3整除；（4）它是偶数或能被3整除.解：基本事件空间Ω＝{1，2，3，…，10}，设“是偶数”为事件A，“能被3整除”为事件B，“是偶数且能被3整除”为事件C，“是偶数或能被3整除”为事件D，（1）∵A＝{2，4，6，8，10}，∴P（A）＝.（2）∵B＝{3，6，9}，∴P（B）＝.（3）∵C＝A∩B＝{6}，∴P（C）＝.（4）∵D＝A∪B，∴P（D）＝P（A∪B）＝P（A）＋P（B）－P（A∩B）＝.＠课后提素养 1.某产品分为甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，若生产中出现乙级品的概率为0.03，出现丙级品的概率为0.01，则对产品抽查一次抽得正品的概率是（ D ）A.0.09 B.0.98 C.0.97 D.0.96解析：抽查一次抽得正品与抽得次品是对立事件，而抽得次品的概率为0.03＋0.01＝0.04，故抽得正品的概率为1－0.04＝0.96.故选D.2.某公务员去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为0.3，0.2，0.1，0.4.（1）求他乘火车或乘飞机去的概率；（2）求他不乘轮船去的概率；（3）如果他乘交通工具的概率为0.5，请问他有可能乘哪种交通工具？解：（1）记“他乘火车”为事件A，“他乘轮船”为事件B，“他乘汽车”为事件C，“他乘飞机”为事件D.这四个事件两两不可能同时发生，故它们彼此互斥，所以P（A∪D）＝P（A）＋P（D）＝0.3＋0.4＝0.7.即他乘火车或乘飞机去的概率为0.7.（2）设他不乘轮船去的概率为p，则p＝1－P（B）＝1－0.2＝0.8，所以他不乘轮船去的概率为0.8.（3）由于P（A）＋P（B）＝0.3＋0.2＝0.5，P（C）＋P（D）＝0.1＋0.4＝0.5，故他可能乘火车或乘轮船去，也有可能乘汽车或乘飞机去.＠课时作业 一、选择题1.4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（ D ）A. B. C. D.解析：由题意知4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，有16种不同的选法，周六、周日都有同学参加公益活动有16－2＝14（种）不同的选法，所以所求的概率为P＝.2.（多选）在一个试验模型中，设A表示一个随机事件，表示A的对立事件.以下结论正确的是（ BCD ）A.P（A）＝P（）B.P（A＋）＝1C.若P（A）＝1，则P（）＝0D.P（A）＝0解析：选项A，P（A）＝P（）错误；由对立事件的概念得A＋＝Ω，即P（A＋）＝P（Ω）＝1，B正确；由对立事件的性质P（A）＋P（）＝1知，P（A）＝1－P（），故若P（A）＝1，则P（）＝0，C正确；由对立事件的概念得A ＝ ，即P（A ）＝P（ ）＝0，D正确.故选BCD.3.下列四种说法：①对立事件一定是互斥事件；②若A，B为两个事件，则P（A＋B）＝P（A）＋P（B）；③若事件A，B，C彼此互斥，则P（A）＋P（B）＋P（C）＝1；④若事件A，B满足P（A）＋P（B）＝1，则A，B是对立事件.其中错误的个数是（ D ）A.0 B.1 C.2 D.3解析：对立事件一定是互斥事件，故①对；只有A，B为互斥事件时才有P（A＋B）＝P（A）＋P（B），故②错；因A，B，C并不一定包括随机试验中的全部样本点，故P（A）＋P（B）＋P（C）并不一定等于1，故③错；若A，B不互斥，尽管P（A）＋P（B）＝1，但A，B不是对立事件，故④错.4.口袋中有若干个大小形状完全相同的红球、黄球与蓝球，随机摸出一球，是红球的概率为0.45，是红球或黄球的概率为0.64，则摸出是红球或蓝球的概率是（ C ）A.0.19 B.0.28 C.0.81 D.0.75解析：由题意，得摸出是黄球的概率为0.64－0.45＝0.19，∴摸出是红球或蓝球的概率为1－0.19＝0.81.故选C.5.中国乒乓球队甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率为，乙夺得冠军的概率为，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为（ A ）A. B. C. D.解析：由题意知事件“甲夺得冠军”与“乙夺得冠军”互斥，故所求事件的概率为P＝.故选A.6.向三个相邻的军火库投一枚炸弹，炸中第一个军火库的概率为0.025，炸中第二、三个军火库的概率均为0.1，只要炸中一个，另两个也会发生爆炸，三个军火库都爆炸的概率为（ A ）A.0.225 B.0.025 C.0.035 D.0.055解析：设A，B，C分别表示炸弹炸中第一、第二、第三个军火库这三个事件，D表示三个军火库都爆炸，则P（A）＝0.025，P（B）＝0.1，P（C）＝0.1，其中A，B，C互斥，故P（D）＝P（A∪B∪C）＝P（A）＋P（B）＋P（C）＝0.025＋0.1＋0.1＝0.225.故选A.7.已知A＝{1，2，3}，B＝{x∈R｜x2－ax＋b＝0，a∈A，b∈A}，则A∩B＝B的概率是（ C ）A. B. C. D.1解析：因为a∈A，b∈A，所以可用列表法得到样本点的总个数为9（如表所示）. a b 1 2 31 （1，1） （1，2） （1，3）2 （2，1） （2，2） （2，3）3 （3，1） （3，2） （3，3）因为A∩B＝B，所以B可能为 ，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}.当B＝ 时，a2－4b＜0，满足条件的a，b为a＝1，b＝1，2，3；a＝2，b＝2，3；a＝3，b＝3.当B＝{1}时，满足条件的a，b为a＝2，b＝1.当B＝{2}，{3}时，没有满足条件的a，b.当B＝{1，2}时，满足条件的a，b为a＝3，b＝2.当B＝{2，3}，{1，3}时，没有满足条件的a，b.综上，符合条件的结果有8种.故所求概率为.8.若随机事件A，B互斥，A，B发生的概率均不等于0，且P（A）＝2－a，P（B）＝4a－5，则实数a的取值范围是（ D ）A.（，2） B.（）C.［］ D.（］解析：由题意可得即解得＜a≤.故选D.二、填空题9.一商店有奖促销活动中只有一等奖与二等奖两个奖项，其中中一等奖的概率为0.1，中二等奖的概率为0.25，则不中奖的概率为 0.65 .解析：中奖的概率为0.1＋0.25＝0.35，中奖与不中奖互为对立事件，所以不中奖的概率为1－0.35＝0.65.10.口袋内装有一些大小质地完全相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是 0.3 .解析：摸出红球、白球、黑球是互斥事件，所以摸出黑球的概率是1－0.42－0.28＝0.3.11.掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率均为，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件表示事件B的对立事件）的概率为P（）＝ ，事件A＋发生的概率为 .解析：由题意知，表示“大于或等于5的点数出现”，则P（）＝，事件A与事件互斥，由概率的加法计算公式可得P（A＋）＝P（A）＋P（）＝.12.若P（A）＝0.4，P（A∩B）＝0.2，P（A∪B）＝0.7，则P（B）＝ 0.5 .解析：∵P（A∪B）＝P（A）＋P（B）－P（A∩B），∴P（B）＝P（A∪B）－P（A）＋P（A∩B）＝0.7－0.4＋0.2＝0.5.13.甲、乙两人下围棋，已知甲获胜的概率为0.45，两人平局的概率为0.1，则甲不输的概率为 0.55 ，乙获胜的概率为 0.45 .解析：记事件A＝{甲获胜}，事件B＝{甲、乙平局}，事件C＝{甲不输}，则C＝A＋B，而事件A，B是互斥事件，故P（C）＝P（A＋B）＝P（A）＋P（B）＝0.55.设事件D＝{乙获胜}，则D＝，∴P（D）＝P（）＝1－P（C）＝0.45.三、解答题14.甲、乙两人各射击一次，命中率分别为0.8和0.5，两人同时命中的概率为0.4，求甲、乙两人至少有一人命中的概率.解：设事件A，B分别为“甲命中”“乙命中”，则“甲、乙两人至少有一人命中”为事件A∪B.∴P（A∪B）＝P（A）＋P（B）－P（A∩B）＝0.8＋0.5－0.4＝0.9.15.某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.一次购物量 1至4件 5至8件 9至12件 13至16件 17件及以上顾客数（人） x 30 25 y 10结算时间 （分钟/人） 1 1.5 2 2.5 3已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55％.（1）确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；（2）求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率.（将频率视为概率）解：（1）由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为＝1.9分钟.（2）记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A1，A2分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为2.5分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为3分钟”，将频率视为概率，得P（A1）＝，P（A2）＝.P（A）＝1－P（A1）－P（A2）＝1－.故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为.16.袋中有12个大小质地完全相同的小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率是，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率也是，试求得到黑球、黄球、绿球的概率各是多少？解：从袋中任取一球，记事件“得到红球”“得到黑球”“得到黄球”“得到绿球”分别为A，B，C，D，则P（A）＝，P（B∪C）＝P（B）＋P（C）＝，P（C∪D）＝P（C）＋P（D）＝，P（B∪C∪D）＝P（B）＋P（C）＋P（D）＝1－P（A）＝1－.联立解得P（B）＝，P（C）＝，P（D）＝，故得到黑球、黄球、绿球的概率分别为.【标题】5.3 用频率估计概率[新课程标准] [新学法解读]结合具体实例，会用频率估计概率. 1.了解随机事件发生频率的随机性与概率的稳定性以及频率与概率含义上的区别. 2.会通过大量的重复试验，用这个事件的频率近似地作为它的概率.＠课前精梳理 笔记 教材知识点 用频率估计概率1.频率：设Ω是某个试验的样本空间，A是Ω的事件，在相同条件下将该试验独立地重复n次，则称Fn（A）＝是n次独立重复试验中事件A发生的 频率 .2.频率估计概率：在相同条件下，将一试验独立重复n次，若用Fn（A）表示事件A在这n次试验中发生的频率，则当n增加时，Fn（A）将向一个固定的数值p靠近，这个数值p就可看作事件A发生的概率P（A），即Fn（A）是P（A）的 估计 . 重点 理解1.概率的统计定义（1）对频率随机性的理解在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性.（2）对频率稳定性的理解随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率Fn（A）会逐渐稳定于事件A发生的概率P（A）.我们称频率的这个性质为频率的稳定性.如果在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率为，当n很大时，可以认为事件A发生的概率P（A）的估计值为，且0≤P（A）≤1.2.频率与概率的关系概率可以通过频率来“测量”或者说频率是概率的一个近似值，概率从数量上反映了一个事件发生的可能性的大小.说明：（1）频率本身是随机的，在试验前不能确定，做同样次数的重复试验得到事件的频率会不同.而概率是一个确定的常数，是客观存在的，与每次试验无关.（2）频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率. 自我 排查1.气象台预测“本市明天降雨的概率是90％”，对预测的正确理解是（ D ）A.本市明天将有90％的地区降雨B.本市明天将有90％的时间降雨C.明天出行不带雨具肯定会淋雨D.明天出行不带雨具可能会淋雨解析：“本市明天降雨的概率是90％”即为“本市明天降雨的可能性为90％”.故选D.2.某人将一枚质地均匀的硬币连抛20次，正面朝上的情况出现了12次，若用A表示事件“正面向上”，则A的（ A ）A.频率为 B.概率为C.频率为12 D.概率接近解析：抛硬币20次，正面朝上出现了12次，记事件A＝“正面向上”，所以A的频率为P＝.3.经过市场抽检，质检部门得知市场上食用油合格率为80％，经调查，某市市场上的食用油大约有80个品牌，则不合格的食用油品牌大约有（ C ）A.64个 B.640个C.16个 D.160个解析：由题意知，经抽检市场上食用油的合格率为80％，则不合格率为20％.已知市场上的食用油大约有80个品牌.用频率估计概率可得80×20％＝16个，故市场上不合格的食用油大约有16个品牌.4.如果袋中装有数量差别很大而大小相同的白球和黄球（只是颜色不同）若干个，从中任取1球，取了10次有7个白球，估计袋中数量较多的是 白 球.解析：取10次球有7次是白球，则取出白球的频率是0.7，故可估计袋中数量较多的是白球.5.某家具厂为足球比赛场馆生产观众座椅.质检人员对该厂所生产的2 500套座椅进行抽检，共抽检了100套，发现有2套次品，则该厂所生产的2 500套座椅中大约有 50 套次品.解析：设有n套次品，由概率的统计定义，知，解得n＝50，所以该厂所生产的2 500套座椅中大约有50套次品.＠课堂强研习 研习1 概率的定义[典例1] 解释下列概率的含义：（1）某厂生产产品的合格率为0.9；（2）一次抽奖活动中，中奖的概率为0.2.[解] （1）“某厂生产产品的合格率为0.9”.说明该厂产品合格的可能性为90％，也就是说100件该厂的产品中大约有90件是合格的.（2）“中奖的概率为0.2”.说明参加抽奖的人中有20％的人可能中奖，也就是说，若有100人参加抽奖，约有20人中奖. 巧归纳三个方面理解概率(1)概率是随机事件发生可能性大小的度量,是随机事件A的本质属性，随机事件A发生的概率是大量重复试验中事件A发生的频率的近似值.(2）由概率的定义我们可以知道随机事件A在一次试验中发生与否是随机的，但随机中含有规律性,而概率就是其规律性在数量上的反映.(3)正确理解概率的意义,要清楚与频率的区别与联系，对具体的问题要从全局和整体上去看待，而不是局限于某一次试验或某一个具体的事件. [练习1] （1）下列说法正确的是（ D ）A.由生物学知道生男、生女的概率均约为0.5，一对夫妇先后生两个小孩，则一定为一男一女B.一次摸奖活动中，中奖概率为0.2，则摸5张票，一定有一张中奖C.10张票中有1张奖票，10人去摸，谁先摸则谁摸到奖票的可能性大D.10张票中有1张奖票，10人去摸，无论谁先摸，摸到奖票的概率都是0.1解析：一对夫妇生两个小孩可能是（男，男），（男，女），（女，男），（女，女），所以A不正确；中奖概率为0.2是说中奖的可能性为0.2，当摸5张票时，可能都中奖，也可能中一张、两张、三张、四张、五张，或者都不中奖，所以B不正确；10张票中有1张奖票，10人去摸，每人摸到的可能性是相同的，即无论谁先摸，摸到奖票的概率都是0.1，所以C不正确，D正确.（2）某射击教练评价一名运动员时说：“你射中的概率是90％.”你认为下面两个解释中能代表教练的观点的为 ② （填序号）.①该射击运动员射击了100次，恰有90次击中目标；②该射击运动员射击一次，中靶的机会是90％. 研习2 利用频率估计概率[典例2] （1）下表中列出了10次抛掷硬币的试验结果.n为抛掷硬币的次数，m为硬币正面朝上的次数，计算每次试验中“正面朝上”这一事件的频率，并估算它的概率.试验序号 抛掷的次数n 正面朝上的次数m “正面朝上”出现的频率1 500 2512 500 2493 500 2564 500 2535 500 2516 500 2457 500 2448 500 2589 500 26210 500 247（2）某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1 000支，该公司对这些灯管的使用寿命（单位：小时）进行了统计，统计结果如表所示：分组 频数 频率[500，900） 48[900，1 100） 121[1 100，1 300） 208[1 300，1 500） 223[1 500，1 700） 193[1 700，1 900） 165[1 900，＋∞） 42①求各组的频率；②根据上述统计结果，估计灯管使用寿命不足1 500小时的概率.[解] （1）由fn（A）＝可得出这10次试验中“正面朝上”这一事件出现的频率依次为0.502，0.498，0.512，0.506，0.502，0.49，0.488，0.516，0.524，0.494，这些数字在0.5左右摆动，由概率的统计定义可得，“正面朝上”的概率为0.5.（2）①频率依次是：0.048，0.121，0.208，0.223，0.193，0.165，0.042.②样本中寿命不足1 500小时的频数是48＋121＋208＋223＝600，所以样本中寿命不足1 500小时的频率是＝0.6.即灯管使用寿命不足1 500小时的概率约为0.6. 巧归纳（1）频率是事件A发生的次数m与试验总次数n的比值，利用此公式可求出它们的频率．频率本身是随机变量，当n很大时,频率总是在一个稳定值附近摆动,这个稳定值就是概率．(2）解此类题目的步骤：先利用频率的计算公式依次计算频率,然后用频率估计概率.[练习2] 国家乒乓球比赛的用球有严格标准，下面是有关部门对某乒乓球生产企业某批次产品的抽样检测，结果如表所示：抽取球数目 50 100 200 500 1 000 2 000优等品数目 45 92 194 470 954 1 902优等品频率（1）计算表中优等品的各个频率；（2）从这批产品中任取一个乒乓球，质量检测为优等品的概率约是多少？解：（1）如表所示：抽取球数目 50 100 200 500 1 000 2 000优等品数目 45 92 194 470 954 1 902优等品频率 0.9 0.92 0.97 0.94 0.954 0.951（2）根据频率与概率的关系，可以认为从这批产品中任取一个乒乓球，质量检测为优等品的概率约是0.95.＠课后提素养 1.若在同等条件下进行n次重复试验得到某个事件A发生的频率f（n），则随n的逐渐增大，有（ D ）A.f（n）与某个常数相等B.f（n）与某个常数的差逐渐减小C.f（n）与某个常数差的绝对值逐渐减小D.f（n）在某个常数的附近摆动并趋于稳定解析：随着n的增大，频率f（n）会在概率附近摆动并趋于稳定，这也是频率与概率的关系.2.某位同学进行投球练习，连投了10次，恰好投进了8次.若用A表示“投进球”这一事件，则事件A发生的（ B ）A.概率为 B.频率为C.频率为8 D.概率接近0.8解析：投球一次即进行一次试验，投球10次，投进8次，即事件A发生的频数为8，所以事件A发生的频率为.3.对某厂生产的某种产品进行抽样检查，数据如下表所示：抽查件数 50 100 200 300 500合格件数 47 92 192 285 478根据表中所提供的数据，若要从该厂生产的此种产品中抽到950件合格品，大约需抽查 1 000 件产品.解析：由表中数据，知抽查5次，产品合格的频率依次为0.94，0.92，0.96，0.95，0.956，可见频率在0.95附近摆动，故可估计该厂生产的此种产品合格的概率约为0.95.设大约调查n件产品，则≈0.95，所以n≈1 000.4.某制造商2022年8月份生产了一批乒乓球，随机抽取100个进行检查，测得每个乒乓球的直径（单位：mm），将数据分组如下表：分组 频数 频率[39.95，39.97） 10[39.97，39.99） 20[39.99，40.01） 50[40.01，40.03] 20合计 100（1）请将上表补充完整；（2）已知标准乒乓球的直径为40.00 mm，试估计这批乒乓球的直径误差不超过0.03 mm的概率.解：（1）分组 频数 频率[39.95，39.97） 10 0.1[39.97，39.99） 20 0.2[39.99，40.01） 50 0(共15张PPT)第5章 概 率章末总结网络 构建专题1 古典概型古典概型及其解法1. 古典概型是一种最基本的概率模型，也是学习其他概率模型的基础，在高考题中， 经常出现此种概率模型的题目.解题时要紧紧抓住古典概型的两个基本特点，即有 限性和等可能性.2. 在求古典概型问题的概率时，往往需要我们将所有样本点一一列举出来，以便确定 样本点总数及事件所包含的样本点数.这就是我们常说的列举法.在列举时应注意按 一定的规律、标准，不重不漏.[典例1] 2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教 育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位 老、中、青员工分别有72，108，120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工 中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况.（1）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？（2）抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为 A ， B ， C ， D ， E ， F . 享受情况如下表，其中“○”表示享受，“×”表示不享受.现 从这6人中随机抽取2人接受采访. 员工项目 A B C D E F子女教育 ○ ○ × ○ × ○继续教育 × × ○ × ○ ○大病医疗 × × × ○ × ×住房贷款利息 ○ ○ × × ○ ○住房租金 × × ○ × × ×赡养老人 ○ ○ × × × ○①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；②设 M 为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件 M 发生的概率.[解] （1）由已知得老、中、青员工人数之比为6∶9∶10，由于采用分层抽样的方法从中抽取25位员工，因此应从老、中、青员工中分别抽取6人、9人、10人.（2）①从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为{ A ， B }，{ A ， C }，{ A ，D }，{ A ， E }，{ A ， F }，{ B ， C }，{ B ， D }，{ B ， E }，{ B ， F }，{ C ，D }，{ C ， E }，{ C ， F }，{ D ， E }，{ D ， F }，{ E ， F }，共15种.②由表格知，符合题意的所有结果为{ A ， B }，{ A ， D }，{ A ， E }，{ A ，F }，{ B ， D }，{ B ， E }，{ B ， F }，{ C ， E }，{ C ， F }，{ D ， F }，{ E ，F }，共11种.D解析：设两位男同学分别为 A ， B ，两位女同学分别为 a ， b ，则用“树形图”表示四位同学排成一列所有可能的结果如图所示.由图，知共有24种等可能的结果，其中两位女同学相邻的结果（画“√”的情况）共专题2 互斥事件（对立事件）、独立事件的概率2. 事件 A ， B 相互独立 P （ AB ）＝ P （ A ） P （ B） .[解] 设甲、乙、丙当选的事件分别为 A ， B ， C ，（1）因为事件 A ， B ， C 相互独立，所以三人中恰有一名同学当选的概率为（2）三人中至多有两人当选的概率为1－ P （ ABC ）＝1－ P （ A ） P （ B ） P （C）D解析：设 A 发生的概率为 P （ A ）， B 发生的概率为 P （B）.设 P （ A ）＝ x ， P （ B ）＝ y ， 展开更多...... 收起↑ 资源列表 湘教版高中数学必修第二册第5章概率章末总结课件.ppt 湘教版高中数学必修第二册第5章概率课时学案.docx
资源列表
